Zásobník modulů hlavních svazků - Moduli stack of principal bundles

V algebraické geometrii, vzhledem k hladký projektivní křivka X přes konečné pole ${ displaystyle mathbf {F} _ {q}}$ a hladký afinní skupinové schéma G nad tím zásobník hlavních svazků přes X, označeno ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$, je algebraický zásobník dána:^[1] pro všechny ${ displaystyle mathbf {F} _ {q}}$-algebra R,

${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X) (R) =}$ kategorie ředitel školy G- svazky přes relativní křivku ${ displaystyle X times _ { mathbf {F} _ {q}} operatorname {Spec} R}$.

Zejména kategorie ${ displaystyle mathbf {F} _ {q}}$-bodů ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$, to znamená, ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X) ( mathbf {F} _ {q})}$, je kategorie G- svazky X.

Podobně, ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$ lze také definovat, když je křivka X je nad polem komplexních čísel. Zhruba v komplexním případě lze definovat ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$ jako zásobník kvocientů prostoru holomorfních spojů na X podle měřicí skupina. Nahrazení kvocientu (který není topologickým prostorem) znakem a homotopický kvocient (což je topologický prostor) dává homotopický typ z ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$.

V případě konečného pole není běžné definovat typ homotopy ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$. Ale stále lze definovat (hladký ) cohomologie a homologie ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$.

Základní vlastnosti

Je známo že ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$ je hladký stoh dimenze ${ displaystyle (g (X) -1) dim G}$ kde ${ displaystyle g (X)}$ je rod X. Není konečného typu, ale místně konečného typu; jeden tedy obvykle používá stratifikaci otevřenými dílčími zásobami konečného typu (srov Tvrdší – Narasimhanova stratifikace.) Pokud G je rozdělená redukční skupina, pak sada připojených komponent ${ displaystyle pi _ {0} ( operatorname {Bun} _ {G} (X))}$ je v přirozené bijekci se základní skupinou ${ displaystyle pi _ {1} (G)}$.^[2]

Atiyah – Bottův vzorec

Behrendův stopový vzorec

Toto je (domnělá) verze Lefschetzův sledovací vzorec pro ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$ když X je přes konečné pole, které zavedl Behrend v roce 1993.^[3] Uvádí:^[4] -li G je hladký afinní skupinové schéma s polovičním připojením generické vlákno, pak

${ displaystyle # operatorname {Bun} _ {G} (X) ( mathbf {F} _ {q}) = q ^ { dim operatorname {Bun} _ {G} (X)} operatorname { tr} ( phi ^ {- 1} | H ^ {*} ( operatorname {Bun} _ {G} (X); mathbb {Z} _ {l}))}$

kde (viz také Behrendův stopový vzorec pro podrobnosti)

• l je prvočíslo, které není p a prsten ${ displaystyle mathbb {Z} _ {l}}$ z l-adická celá čísla je zobrazen jako podřetězec z ${ displaystyle mathbb {C}}$.
• ${ displaystyle phi}$ je geometrický Frobenius.
• ${ displaystyle # operatorname {Bun} _ {G} (X) ( mathbf {F} _ {q}) = součet _ {P} {1 nad # operatorname {Aut} (P)} }$, součet běžící přes všechny třídy izomorfismu G-svazky na X a konvergentní.
• ${ displaystyle operatorname {tr} ( phi ^ {- 1} | V _ {*}) = součet _ {i = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {i} operatorname {tr} ( phi ^ {- 1} | V_ {i})}$ pro odstupňovaný vektorový prostor ${ displaystyle V _ {*}}$, za předpokladu, že série vpravo absolutně konverguje.

A priori, levá ani pravá strana ve vzorci konverguje. Vzorec tedy uvádí, že obě strany konvergují k konečným číslům a že se tato čísla shodují.

Poznámky

Reference

• J. Heinloth, Přednášky o zásobníku modulů vektorových svazků na křivce, Předběžná verze 2009
• J. Heinloth, A.H.W. Schmitt, The Cohomology Ring of Moduli Stacks of Principal Bundles over Curves, 2010 preprint, available at http://www.uni-essen.de/~hm0002/.
• Gaitsgory, D; Lurie, J .; Weilova domněnka pro funkční pole. 2014, [1]

Další čtení

• Číslo Tamagawa pro funkční pole
• C. Sorger, Přednášky o modulech hlavních G-svazků nad algebraickými křivkami

Viz také

• Geometrické Langlandsovy domněnky
• Běžel prostor
• Zásobník modulů vektorových svazků