Pronásledování hromádek - Pursuing Stacks

Pronásledování hromádek (francouzština: À la Poursuite des Champs) je vlivný matematický rukopis 1983 Alexander Grothendieck^[1]. Slovo "zásobník "odkazuje na možné zobecnění systém, ústřední předmět studia v Liberci algebraická geometrie.

Mezi koncepty zavedené v rukopisu patří deriváty a testovací kategorie.

Některé části rukopisu byly později vyvinuty v:

Georges Maltsiniotis (2005), „La théorie de l'homotopie de Grothendieck“ [Grothendieckova homotopická teorie] (PDF), Astérisque, 301, PAN 2200690
Denis-Charles Cisinski (2006), „Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie“ [Předvrtá se jako modely pro homotopické typy] (PDF), Astérisque, 308, ISBN 978-2-85629-225-9, PAN 2294028

Přehled rukopisu

I. Dopis Danielovi Quillenovi

Pronásledování hromádek začalo jako dopis od Grothendiecka Danielovi Quillenovi. V tomto dopise pojednává o Quillenově pokroku^[2] na základech pro teorie homotopy a od té doby poznamenal nedostatečný pokrok. Poznamenává, jak studovali někteří jeho přátelé na univerzitě v Bangoru, včetně Ronnieho Browna vyšší základní grupoidy ${ displaystyle Pi _ {n} (X)}$ pro topologický prostor ${ displaystyle X}$ a jak by bylo možné položit a relativizovat základy takového tématu pomocí teorie topos, která by umožnila vyšší gerbes. Kromě toho kritizoval použití přísných grupoidů k položení těchto základů, protože by to nestačilo pro rozvoj úplné teorie, kterou si představoval.

Položil své představy o tom, jak by takový nekonečný grupoid měl vypadat, a dal nějaké axiomy, které načrtly, jak si je představoval. V podstatě se jedná o kategorie s objekty, šipkami, šipkami mezi šipkami atd., Obdobně jako u vyšších homotopů. Předpokládá se, že by toho bylo možné dosáhnout pohledem na postupnou posloupnost kategorií a funktorů

${ displaystyle C_ {0} do C_ {1} do cdots do C_ {n} do C_ {n + 1} do cdots}$

které jsou univerzální ve vztahu k jakémukoli druhu vyšších grupoidů To umožňuje indukční definici nekonečného grupoidu, která závisí na objektech ${ displaystyle C_ {0}}$ a funktory začlenění ${ displaystyle C_ {n} až C_ {n + 1}}$ kde kategorie ${ displaystyle C_ {n}}$ sledovat vyšší homotopické informace až na úroveň ${ displaystyle n}$ . Taková struktura byla později nazývána a Koherátor protože sleduje všechny vyšší koherence. Tuto strukturu formálně studoval George Malsiniotis^[3] dosažení určitého pokroku při zakládání těchto základů a předvádění homotopická hypotéza.

II. Zkušební kategorie a testovací funktory

Grothendieckova motivace pro vyšší stacky

Ve skutečnosti je popis formálně analogický a téměř totožný s popisem homologických skupin řetězového komplexu - a zdá se tedy, že tyto komíny (konkrétněji Gr-komíny) jsou v jistém smyslu nejbližší možná nekomutativní generalizace řetězových komplexů, homologické skupiny řetězového komplexu se stávají homotopickými skupinami „nekomutativního řetězového komplexu“ nebo zásobníku - Grothendieck^[1]^str

Toto je později vysvětleno kvůli intuici poskytované Dold – Kan korespondence: zjednodušené abelianské skupiny odpovídají řetězovým komplexům, zatímco vyšší zásobník modelovaný jako zjednodušená skupina by měl odpovídat „neabelovskému“ řetězovému komplexu ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { odrážka}}$ . Kromě toho by měla mít abelianizaci danou homologií a kohomologií, psanou sugestivně jako ${ displaystyle H ^ {k} (X, { mathcal {F}} _ { bullet})}$ nebo ${ displaystyle mathbf {R} F _ {*} ({ mathcal {F}} _ { bullet})}$ , protože by měl existovat přidružený formalismus šesti funktorů^[1]^str. Kromě toho by měla existovat související teorie Lefschetzových operací, podobná té z Raynaud^[4]Protože Grothendieck předpokládal alternativní formulaci vyšších komínů pomocí globulárních grupoidů a bylo pozorováno, že by měla existovat odpovídající teorie využívající kubické množiny, přišel s myšlenkou testovacích kategorií a testovacích funktorů^[1]^{str. 42}. V podstatě, testovací kategorie by měly být kategorie ${ displaystyle M}$ s třídou slabých ekvivalentů ${ displaystyle W}$ takové, že existuje geometrická realizace