Zásobník eliptických křivek - Moduli stack of elliptic curves

v matematika, zásobník eliptických křivek, označeno jako ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ nebo ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {ell}}$ , je algebraický zásobník přes ${ displaystyle { text {specifikace}} ( mathbb {Z})}$ klasifikace eliptických křivek. Všimněte si, že se jedná o speciální případ Zásobník modulů algebraických křivek ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g, n}}$ . Zejména jeho body s hodnotami v nějakém poli odpovídají eliptickým křivkám nad polem a obecněji morfismům ze schématu ${ displaystyle S}$ odpovídá eliptickým křivkám ${ displaystyle S}$ . Konstrukce tohoto prostoru trvá více než jedno století kvůli různým zevšeobecněním eliptických křivek, jak se pole vyvíjelo. Všechna tato zevšeobecnění jsou obsažena v ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ .

Vlastnosti

Hladký zásobník Deligne-Mumford

Zásobník modulů eliptických křivek je hladce oddělen Deligne – Mumford stack konečného typu ${ displaystyle { text {specifikace}} ( mathbb {Z})}$ , ale nejde o schéma, protože eliptické křivky mají netriviální automorfismy.

j-invariantní

Existuje správný morfismus ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ k afinní linii, prostor hrubých modulů eliptických křivek, daný j-invariantní eliptické křivky.

Konstrukce nad komplexními čísly

Je to klasické pozorování, že každá eliptická křivka končí ${ displaystyle mathbb {C}}$ je klasifikován podle období. Daný základ pro jeho integrální homologii ${ displaystyle alpha, beta v H_ {1} (E, mathbb {Z})}$ a globální holomorfní diferenciální forma ${ displaystyle omega in gama (E, Omega _ {E} ^ {1})}$ (který existuje, protože je plynulý a rozměr prostoru takových diferenciálů je stejný jako rod, 1), integrály

${ displaystyle { begin {bmatrix} int _ { alpha} omega & int _ { beta} omega end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} omega _ {1} & omega _ {2} end {bmatrix}}}$

dát generátory pro a ${ displaystyle mathbb {Z}}$ -lattice pořadí 2 uvnitř ${ displaystyle mathbb {C}}$ ^[1] ^{str. 158}. Naopak, vzhledem k integrální mřížce ${ displaystyle Lambda}$ hodnosti ${ displaystyle 2}$ uvnitř ${ displaystyle mathbb {C}}$ , je zde zakotvení komplexního torusu ${ displaystyle E _ { Lambda} = mathbb {C} / Lambda}$ do ${ displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$ z Funkce Weierstrass P.^[1] ^{str. 165}. Toto je izomorfní korespondence ${ displaystyle phi: mathbb {C} / Lambda až E ( mathbb {C})}$ darováno

${ displaystyle z mapsto [ wp (z, Lambda), wp '(z, Lambda), 1] in mathbb {P} ^ {2} ( mathbb {C})}$

a drží až homotety mřížky ${ displaystyle Lambda}$ , což je vztah ekvivalence

${ displaystyle z Lambda sim Lambda}$ pro ${ displaystyle z in mathbb {C} - {0 }}$

Je standardní psát mřížku ve formě ${ displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z} cdot tau}$ pro ${ displaystyle tau v { mathfrak {h}}}$ , prvek horní polorovina, protože mříž ${ displaystyle Lambda}$ lze vynásobit ${ displaystyle omega _ {1} ^ {- 1}}$ , a ${ displaystyle tau, - tau}$ oba generují stejnou sublattice. Poté horní polorovina poskytuje prostor parametrů všech eliptických křivek ${ displaystyle mathbb {C}}$ . Existuje další ekvivalence křivek daná působením

${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) = left {{ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} v { text {Mat} } _ {2,2} ( mathbb {Z}): ad-bc = 1 vpravo }}$

kde eliptická křivka definovaná mřížkou ${ displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z} cdot tau}$ je izomorfní vůči křivkám definovaným mřížkou ${ displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z} cdot tau '}$ dané modulární akce

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} cdot tau & = { frac {a tau + b} {c tau + d}} & = tau ' end {zarovnáno}}}$

Pak moduli eliptických křivek ${ displaystyle mathbb {C}}$ je dán kvocientem zásobníku

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1} cong [{ text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) zpětné lomítko { mathfrak {h}}]}$

Všimněte si, že někteří autoři konstruují tento moduli prostor pomocí akce Modulární skupina ${ displaystyle { text {PSL}} _ {2} ( mathbb {Z}) = { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) / { pm I }}$ . V tomto případě body v ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ mít jen triviální stabilizátory jsou husté.

Stacky / Orbifold body

Obecně platí, že body v ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ jsou izomorfní vůči klasifikačnímu zásobníku ${ displaystyle B ( mathbb {Z} / 2)}$ protože každá eliptická křivka odpovídá dvojitému krytu ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ , takže ${ displaystyle mathbb {Z} / 2}$ -akce na bodě odpovídá involuci těchto dvou větví krytiny. Existuje několik zvláštních bodů^[2] ^{str. 10-11} odpovídající eliptickým křivkám s ${ displaystyle j}$ -invariantní rovná ${ displaystyle 1728}$ a ${ displaystyle 0}$ kde automorfické skupiny jsou řádu 4, 6, v daném pořadí^[3] ^{str. 170}. Jeden bod v Základní doména se stabilizátorem objednávky ${ displaystyle 4}$ odpovídá ${ displaystyle tau = i}$ a body odpovídající stabilizátoru objednávky ${ displaystyle 6}$ odpovídají ${ displaystyle tau = e ^ {2 pi i / 3}, e ^ { pi i / 3}}$ ^[4]^{str. 78}.

Představující involuce rovinných křivek

Vzhledem k tomu, že rovinná křivka je jeho Weierstrassova rovnice

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + sekera + b}$

a řešení ${ displaystyle (t, s)}$ , obecně pro j-invariantní ${ displaystyle j neq 0,1728}$ , tam je ${ displaystyle mathbb {Z} / 2}$ - zasílání revoluce ${ displaystyle (t, s) mapsto (t, -s)}$ . Ve zvláštním případě křivky s komplexní násobení

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + sekera}$

tam ${ displaystyle mathbb {Z} / 4}$ - zasílání revoluce ${ displaystyle (t, s) mapsto (-t, { sqrt {-1}} cdot s)}$ . Druhým zvláštním případem je kdy ${ displaystyle a = 0}$ , takže křivka formuláře

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + b}$

tam je ${ displaystyle mathbb {Z} / 6}$ - zasílání revoluce ${ displaystyle (t, s) mapsto ( zeta _ {3} s, -t)}$ kde ${ displaystyle zeta _ {3}}$ je třetí kořen jednoty ${ displaystyle e ^ {2 pi i / 3}}$ .

Základní doména a vizualizace

Existuje podmnožina roviny horní poloviny, která se nazývá Základní doména který obsahuje všechny třídy izomorfismu eliptických křivek. Je to podmnožina

${ displaystyle D = {z v { mathfrak {h}}: | z | geq 1 { text {a}} { text {Re}} (z) leq 1/2 }}$

Je užitečné zvážit tento prostor, protože pomáhá vizualizovat zásobník ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ . Z kvocientové mapy

${ displaystyle { mathfrak {h}} na { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) zpětné lomítko { mathfrak {h}}}$

obraz ${ displaystyle D}$ je surjektivní a jeho vnitřek je injektivní^[4]^{str. 78}. Body na hranici lze také identifikovat pomocí jejich zrcadlového obrazu pod odesláním involuce ${ displaystyle { text {Re}} (z) mapsto - { text {Re}} (z)}$ , tak ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ lze vizualizovat jako projektivní křivku ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ s bodem odstraněným v nekonečnu^[5]^{str. 52}.

Řádkové svazky a modulární funkce

Existují svazky řádků ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { další k}}$ přes moduli stack ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ jejichž oddíly odpovídají modulární funkce ${ displaystyle f}$ v horní polovině letadla ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ . Na ${ displaystyle mathbb {C} krát { mathfrak {h}}}$ existují ${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ -akce kompatibilní s akcí na ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ dána

${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) times { displaystyle mathbb {C} times { mathfrak {h}}} až { displaystyle mathbb {C } times { mathfrak {h}}}}$

Titul ${ displaystyle k}$ akce je dána

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} :( z, tau) mapsto left ((c tau + d) ^ {k} z, { frac {a tau + b} {c tau + d}} vpravo)}$

tedy triviální svazek řádků ${ displaystyle mathbb {C} krát { mathfrak {h}} do { mathfrak {h}}}$ s titulem ${ displaystyle k}$ akce sestupuje do jedinečného označeného svazku řádků ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { další k}}$ . Všimněte si akce na faktoru ${ displaystyle mathbb {C}}$ je zastoupení z ${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ na ${ displaystyle mathbb {Z}}$ proto lze takové reprezentace společně tenzorovat, ukazovat ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { otimes k} otimes { mathcal {L}} ^ { otimes l} cong { mathcal {L}} ^ { otimes (k + l)} }$ . Sekce ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { další k}}$ jsou pak sekce funkcí ${ displaystyle f in Gamma ( mathbb {C} times { mathfrak {h}})}$ kompatibilní s akcí ${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ nebo ekvivalentně funguje ${ displaystyle f: { mathfrak {h}} do mathbb {C}}$ takhle

${ displaystyle f left ({ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} cdot tau right) = (c tau + d) ^ {k} f ( tau)}$

To je přesně podmínka modulární funkce holomorfní funkce.

Modulární formy

Modulární formy jsou modulární funkce, které lze rozšířit na zhutnění

${ displaystyle { overline {{ mathcal {L}} ^ { otimes k}}} do { overline { mathcal {M}}} _ {1,1}}$

je to proto, aby se komprimoval stoh ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ , musí být přidán bod v nekonečnu, což se provádí procesem lepení lepením ${ displaystyle q}$ -disk (kde má modulární funkce své ${ displaystyle q}$ -expanze)^[2]^{str. 29-33}.

Univerzální křivky

Konstrukce univerzálních křivek ${ displaystyle { mathcal {E}} až { mathcal {M}} _ {1,1}}$ je dvoustupňový proces: (1) sestrojení versální křivky ${ displaystyle { mathcal {E}} _ { mathfrak {h}} do { mathfrak {h}}}$ a poté (2) ukázat, že se to chová dobře vzhledem k ${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ -akce zapnuta ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ . Kombinace těchto dvou akcí dohromady získá kvocient zásob

${ displaystyle [({ text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z}) ltimes mathbb {Z} ^ {2}) zpětné lomítko mathbb {C} krát { mathfrak {h} }]}$

Versální křivka

Každá hodnost 2 ${ displaystyle mathbb {Z}}$ -lattice v ${ displaystyle mathbb {C}}$ vyvolává kanonický ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ -akce zapnuta ${ displaystyle mathbb {C}}$ . Stejně jako dříve, protože každá mřížka je homotetická k mřížce formy ${ displaystyle (1, tau)}$ pak akce ${ displaystyle (m, n)}$ pošle bod ${ displaystyle z in mathbb {C}}$ na

${ Displaystyle (m, n) cdot z mapsto z + m cdot 1 + n cdot tau}$

Protože ${ displaystyle tau}$ v ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ se může v této akci lišit, dochází k indukci ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ -akce zapnuta ${ displaystyle mathbb {C} krát { mathfrak {h}}}$

${ Displaystyle (m, n) cdot (z, tau) mapsto (z + m cdot 1 + n cdot tau, tau)}$

dávat kvocientový prostor

${ displaystyle { mathcal {E}} _ { mathfrak {h}} do { mathfrak {h}}}$

promítáním na ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ .

SL₂-akce na Z²

Tady je ${ displaystyle { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ -akce zapnuta ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ který je kompatibilní s akcí na ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ , což znamená daný bod ${ displaystyle z in { mathfrak {h}}}$ a a ${ displaystyle g in { text {SL}} _ {2} ( mathbb {Z})}$ , nová mříž ${ displaystyle g cdot z}$ a indukovaná akce od ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2} cdot g}$ , která se chová podle očekávání. Tato akce je dána

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} :( m, n) mapsto (m, n) cdot { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} }$

což je maticové násobení vpravo, takže

${ displaystyle (m, n) cdot { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} = (am + cn, bm + dn)}$

Viz také

Reference

^ ^A ^b Silverman, Joseph H., 1955- (2009). Aritmetika eliptických křivek (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09494-6. OCLC 405546184.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ ^A ^b Hain, Richard (25.03.2014). "Přednášky o modulových prostorech eliptických křivek". arXiv:0812.1803 [math.AG ].
^ Galbraith, Steven. „Eliptické křivky“ (PDF). Archivováno od originálu dne | archive-url = vyžaduje | archive-date = (Pomoc).
^ ^A ^b Serre, Jean-Pierre. (1973). Kurz aritmetiky. New York, NY: Springer New York. ISBN 978-1-4684-9884-4. OCLC 853266550.
^ "3: Zásobník eliptických křivek Moduli". Topologické modulární formy (PDF). Douglas, Christopher L. ,, Francis, John, 1982-, Henriques, André G. (André Gil), 1977-, Hill, Michael A. (Michael Anthony). Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-1884-7. OCLC 884782304. Archivovány od originál (PDF) dne 9. června 2020.CS1 maint: ostatní (odkaz)

Hain, Richard (2008), Přednášky o modulových prostorech eliptických křivek, arXiv:0812.1803, Bibcode:2008arXiv0812.1803H
Lurie, Jacob (2009), Průzkum eliptické kohomologie (PDF)
Olsson, Martin (2016), Algebraické prostory a komíny, Publikace kolokvia, 62Americká matematická společnost, ISBN 978-1470427986

externí odkazy

modulyi + stack + of + eliptické + křivky v nLab
"Zásobník modulů eliptických křivek", Stohy projekt

[:0-1] A ^b Silverman, Joseph H., 1955- (2009). Aritmetika eliptických křivek (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09494-6. OCLC 405546184.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[:2-2] A ^b Hain, Richard (25.03.2014). "Přednášky o modulových prostorech eliptických křivek". arXiv:0812.1803 [math.AG ].

[3] Galbraith, Steven. „Eliptické křivky“ (PDF). Archivováno od originálu dne | archive-url = vyžaduje | archive-date = (Pomoc).

[:1-4] A ^b Serre, Jean-Pierre. (1973). Kurz aritmetiky. New York, NY: Springer New York. ISBN 978-1-4684-9884-4. OCLC 853266550.

[5] "3: Zásobník eliptických křivek Moduli". Topologické modulární formy (PDF). Douglas, Christopher L. ,, Francis, John, 1982-, Henriques, André G. (André Gil), 1977-, Hill, Michael A. (Michael Anthony). Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-1884-7. OCLC 884782304. Archivovány od originál (PDF) dne 9. června 2020.CS1 maint: ostatní (odkaz)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]