Stacky křivka - Stacky curve - Wikipedia

V matematice, a skládaná křivka je objekt v algebraická geometrie to je zhruba algebraická křivka s potenciálně tzv. zlomkovými body hromádkové body. Stohová křivka je typ zásobník používá se při studiu Teorie Gromov – Witten, enumerativní geometrie, a prstence modulárních forem.

Stacky křivky jsou hluboce spojené s 1-dimenzionální orbifolds a proto někdy volal orbifold křivky nebo orbicurves.

Definice

Skládaná křivka ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ přes pole k je hladký správně geometricky spojené Deligne – Mumford stack z dimenze 1 nad k který obsahuje hustý otevřený podsystém.^[1][2][3]

Vlastnosti

Kompaktní křivka je jedinečně určena (až do izomorfismu) svým hrubým prostorem X (hladký kvazi-projektivní zakřivit k), konečná sada bodů X_i (jeho skládané body) a celá čísla n_i (jeho rozvětvovací příkazy) větší než 1.^[3] The kanonický dělitel z ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ je lineárně ekvivalentní k součtu kanonického dělitele X a dělitel rozvětvení R:^[1]

${ displaystyle K _ { mathfrak {X}} sim K_ {X} + R.}$

Pronájem G být rod hrubého prostoru X, stupeň kanonický dělitel z ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ je tedy:^[1]

${ displaystyle d = deg K _ { mathfrak {X}} = 2-2g- součet _ {i = 1} ^ {r} { frac {n_ {i} -1} {n_ {i}}} .}$

Stacky křivka se nazývá sférický -li d je pozitivní, Euklidovský -li d je nula a hyperbolický -li d je negativní.^[3]

Ačkoli odpovídající prohlášení o Riemann – Rochova věta nedrží se na křivkách,^[1] existuje zobecnění Riemannova věta o existenci který dává rovnocennost kategorií mezi kategorie skládaných křivek nad komplexní čísla a kategorie složitých oběžných křivek.^[1][2][4]

Aplikace

Zobecnění GAGA pro skládané křivky se používá při odvození teorie algebraické struktury prstenů modulárních forem.^[2]

Studium skládaných křivek se hojně používá v ekvivariantní teorii Gromov – Witten a v enumerativní geometrii.^[1][5]

Reference