Komplexní konjugovaný vektorový prostor - Complex conjugate vector space
v matematika, komplexní konjugát a komplex vektorový prostor je komplexní vektorový prostor , který má stejné prvky a strukturu aditivní skupiny jako , ale jehož skalární násobení zahrnuje konjugaci skalárů. Jinými slovy, skalární násobení splňuje
kde je skalární násobení a je skalární násobení .Dopis znamená vektor v , je komplexní číslo a označuje komplexní konjugát z .[1]
Přesněji řečeno, komplexní konjugovaný vektorový prostor je stejný podklad nemovitý vektorový prostor (stejná sada bodů, stejné sčítání vektorů a skutečné skalární násobení) s konjugátem lineární komplexní struktura J (různé násobení i).
Motivace
Li a jsou komplexní vektorové prostory, funkce je antilineární -li
S využitím vektorového prostoru konjugátu , antilineární mapa lze považovat za obyčejný lineární mapa typu . Linearita se kontroluje poznámkou:
Naopak každá lineární mapa definovaná na dává vzniknout antilineární mapě na .
Jedná se o stejný základní princip jako při definování protilehlý prsten takže právo -modul lze považovat za levici -modul, nebo ten z opačná kategorie takže a kontravariantní funktor lze považovat za běžného funktora typu .
Komplexní funktor konjugace
Lineární mapa dává vzniknout odpovídající lineární mapě který má stejnou akci jako . Všimněte si, že zachovává skalární násobení, protože
Komplexní konjugace a definovat a funktor z kategorie komplexních vektorových prostorů.
Li a jsou konečně-dimenzionální a mapa je popsán komplexem matice s respektem k základny z a z , pak mapa je popsán komplexním konjugátem vzhledem k základnám z a z .
Struktura konjugátu
Vektorový prostor a mít stejné dimenze přes komplexní čísla, a proto jsou izomorfní jako složité vektorové prostory. Neexistuje však žádný přirozený izomorfismus z na .
Dvojitý konjugát je totožný s .
Komplexní konjugát Hilbertova prostoru
Vzhledem k tomu, Hilbertův prostor (konečný nebo nekonečný rozměrný), jeho komplexní konjugát je stejný vektorový prostor jako jeho nepřetržitý duální prostor .Existuje individuální antilineární korespondence mezi spojitými lineárními funkcionály a vektory, jinými slovy libovolná spojitost lineární funkční na je vnitřní násobení nějakého fixního vektoru a naopak.[Citace je zapotřebí ]
Komplex tedy konjuguje s vektorem , zejména v případě konečné dimenze, lze označit jako (v-star, a řádek vektor který je konjugovat transponovat na vektor sloupce V kvantové mechanice je konjugát s a ket vektor je označen jako - a podprsenka vektor (vidět braketová notace ).
Viz také
Reference
- ^ K. Schmüdgen (11. listopadu 2013). Neomezené operátorské algebry a teorie reprezentace. Birkhäuser. p. 16. ISBN 978-3-0348-7469-4.
Další čtení
- Budinich, P. a Trautman, A. Spinorial šachovnice. Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (složité konjugované vektorové prostory jsou popsány v části 3.3, strana 26).