Korelace (projektivní geometrie) - Correlation (projective geometry) - Wikipedia

Tento článek je o korelaci v projektivní geometrii. Pro další použití viz Korelace (disambiguation).

v projektivní geometrie, a korelace je transformace a d-dimenzionální projektivní prostor že mapy podprostory dimenze k do podprostorů dimenze d − k − 1couvání zařazení a zachování výskyt. Korelace se také nazývají vzájemnosti nebo vzájemné transformace.

Ve dvou rozměrech

V skutečná projektivní rovina, body a čáry jsou dvojí navzájem. Jak vyjádřil Coxeter,

Korelace je transformace mezi dvěma body a mezi dvěma body, která zachovává vztah výskytu v souladu s principem duality. Tak se transformuje rozsahy do tužky, tužky do rozsahů, čtyřúhelníky do čtyřúhelníků atd.[1]

Vzhledem k linii m a P bod není zapnutý m, základní korelace se získá takto: pro každou Q na m tvoří linii PQ. The inverzní korelace začíná zapnutou tužkou P: pro jakoukoli linku q v této tužce vezměte bod m ∩ q. The složení dvou korelací, které sdílejí stejnou tužku, je a perspektiva.

Ve třech rozměrech

V trojrozměrném projektivním prostoru korelace mapuje bod na a letadlo. Jak je uvedeno v jedné učebnici:[2]

Li κ je taková korelace, každý bod P se tím transformuje do roviny π′ = κPa naopak každý bod P vzniká z jedinečné roviny π′ Inverzní transformací κ−1.

Trojrozměrné korelace také transformují čáry na čáry, takže je lze považovat za kolineace ze dvou mezer.

Ve vyšších dimenzích

Obecně n-dimenzionální projektivní prostor, korelace bere bod k a nadrovina. Tento kontext popsal Paul Yale:

Korelace projektivního prostoru P(PROTI) je permutace reverzního začlenění správných podprostorů P(PROTI).[3]

Dokazuje teorém o tom, že je to korelace φ křižovatky spojení a křižovatky a pro jakýkoli projektivní podprostor Ž z P(PROTI), rozměr obrazu Ž pod φ je (n - 1) - dim Ž, kde n je rozměr vektorový prostor PROTI slouží k výrobě projektivního prostoru P(PROTI).

Existence korelací

Korelace mohou existovat, pouze pokud je prostor sebe-duální. U dimenzí 3 a vyšších je self-dualita snadno testovatelná: koordinace skewfield existuje a sebe-dualita selže právě tehdy, když skewfield není izomorfní s jeho opakem.

Speciální typy korelací

Polarita

Pokud je korelace φ je involuce (to znamená, že dvě aplikace korelace se rovnají identitě: φ2(P) = P pro všechny body P) pak se nazývá a polarita. Polarita projektivních prostor vede k polární prostory, které jsou definovány převzetím kolekce všech podprostorů, které jsou obsaženy v jejich obrazu, pod polaritou.

Přirozená korelace

Mezi projektivním prostorem je indukována přirozená korelace P(PROTI) a jeho duální P(PROTI∗) podle přirozené párování ⟨⋅,⋅⟩ mezi podkladovými vektorovými prostory PROTI a jeho dvojí PROTI∗, kde každý podprostor Ž z PROTI∗ je mapován na jeho ortogonální doplněk Ž⊥ v PROTI, definováno jako Ž⊥ = {proti ∈ PROTI | ⟨w, proti⟩ = 0, ∀w ∈ Ž}.[4]

Skládání této přirozené korelace s izomorfismem projektivních prostorů vyvolaných semilineární mapou vytváří korelaci P(PROTI) pro sebe. Tímto způsobem každá nedegenerovaná semilineární mapa PROTI → PROTI∗ indukuje vzájemnou korelaci projektivního prostoru.

Reference

  1. ^ H. S. M. Coxeter (1974) Projektivní geometrie, druhé vydání, strana 57, University of Toronto Press ISBN  0-8020-2104-2
  2. ^ J. G. Semple a G. T. Kneebone (1952) Algebraická projektivní geometrie, str. 360, Clarendon Press
  3. ^ Paul B. Yale (1968, 1988, 2004) Geometrie a symetrie, kapitola 6.9 Korelace a polobilineární formy, Dover Publications ISBN  0-486-43835-X
  4. ^ Irving Kaplansky (1974) [1969], Lineární algebra a geometrie (2. vyd.), S. 104
  • Robert J. Bumcroft (1969), Moderní projektivní geometrie, Holt, Rinehart a Winston, Kapitola 4.5 Korelace str. 90
  • Robert A. Rosenbaum (1963), Úvod do projektivní geometrie a moderní algebry, Addison-Wesley, str. 198