Weierstrassova transformace - Weierstrass transform

v matematika, Weierstrassova transformace^[1] a funkce $F : R \to R$ , pojmenoval podle Karl Weierstrass, je "vyhlazená" verze $F (X)$ získáno zprůměrováním hodnot $F$ , vážený Gaussianem se středem naX.

Graf funkce F(X) (černá) a její zobecněné Weierstrassovy transformace pro pět šířek (t) parametry. Standardní Weierstrassova transformace

F (X)

je dána případem t = 1 (zeleně)

Konkrétně se jedná o funkci $F$ definován

{ displaystyle F (x) = { frac {1} { sqrt {4 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} f (y) ; e ^ {- { frac {(xy) ^ {2}} {4}}} ; dy = { frac {1} { sqrt {4 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} f (xy ) ; e ^ {- { frac {y ^ {2}} {4}}} ; dy ~,}

the konvoluce z $F$ s Gaussova funkce

{ displaystyle { frac {1} { sqrt {4 pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4} ~.}

Faktor 1 / √ (4π ) je vybráno tak, aby Gaussian měl celkový integrál 1, takže Weierstrassova transformace nemění konstantní funkce.

Namísto $F (X)$ jeden také píše $Ž [F](X)$ . Všimněte si, že $F (X)$ nemusí existovat pro každé reálné číslo $X$ , když se definující integrál nedokáže sblížit.

Weierstrassova transformace úzce souvisí s rovnice tepla (nebo ekvivalentně difúzní rovnice s konstantním difúzním koeficientem). Pokud je funkce $F$ popisuje počáteční teplotu v každém bodě nekonečně dlouhé tyče, která má konstantní hodnotu tepelná vodivost rovna 1, pak teplotní rozložení tyče t = 1 časová jednotka později bude dána funkcí F. Pomocí hodnot t odlišné od 1, můžeme definovat zobecněná Weierstrassova transformace z $F$ .

Zobecněná Weierstrassova transformace poskytuje prostředek k aproximaci dané integrovatelné funkce $F$ libovolně dobře analytické funkce.

Jména

Weierstrass použil tuto transformaci ve svém původním důkazu o Weierstrassova věta o aproximaci. To je také známé jako Gaussova transformace nebo Gauss – Weierstrassova transformace po Carl Friedrich Gauss a jako Hilleova transformace po Einar Carl Hille kdo to hodně studoval. Zobecnění Ž_t níže je známa v analýza signálu jako Gaussův filtr a v zpracování obrazu (při implementaci dne R²) jako Gaussovské rozostření.

Transformace některých důležitých funkcí

Jak již bylo zmíněno výše, každá konstantní funkce je vlastní Weierstrassovou transformací. Weierstrassova transformace jakékoli polynomiální je polynom stejného stupně a ve skutečnosti stejného vedoucího koeficientu ( asymptotický růst se nemění). Opravdu, pokud $H n$ označuje (fyzikův) poustevnický polynom stupně n, pak Weierstrassova transformace $H n$ ( $X$ / 2) je jednoduše $X n$ . To lze prokázat využitím skutečnosti, že generující funkce pro Hermitovy polynomy úzce souvisí s gaussovským jádrem použitým při definici Weierstrassovy transformace.

Weierstrassova transformace funkce E^sekera (kde A je libovolná konstanta) je E^A² E^sekera. Funkce E^sekera je tedy vlastní funkce Weierstrassovy transformace. (To ve skutečnosti obecně platí pro Všechno konvoluční transformace.)

Nastavení A=bi kde i je imaginární jednotka a přihlašování Eulerova identita, jeden vidí, že Weierstrassova transformace funkce cos (bx) je E^−b² cos (bx) a Weierstrassova transformace funkce sin (bx) je E^−b² hřích(bx).

Weierstrassova transformace funkce E^sekera² je

{ displaystyle { frac {1} { sqrt {1-4a}}} e ^ { frac {ax ^ {2}} {1-4a}}}

-li A <1/4 a nedefinováno, pokud A ≥ 1/4.

Zejména výběrem A negativní, je evidentní, že Weierstrassova transformace Gaussovy funkce je opět Gaussovou funkcí, ale „širší“.

Obecné vlastnosti

Weierstrassova transformace je přiřazena každé funkci F nová funkce F; toto zadání je lineární. Je také překladově invariantní, což znamená transformaci funkce F(X + A) je F(X + A). Obě tyto skutečnosti obecně platí pro jakoukoli integrální transformaci definovanou konvolucí.

Pokud transformace F(X) existuje pro reálná čísla X = A a X = b, pak také existuje pro všechny skutečné hodnoty mezi nimi a tvoří analytická funkce tam; navíc, F(X) bude existovat pro všechny komplex hodnoty X s A ≤ Re (X) ≤ b a tvoří a holomorfní funkce na tom pruhu složité letadlo. Toto je formální prohlášení o „hladkosti“ F zmíněno výše.

Li F je integrovatelný přes celou skutečnou osu (tj. F ∈ L¹(R) ), pak také jeho Weierstrassova transformace F, a pokud dále F(X) ≥ 0 pro všechny X, pak také F(X) ≥ 0 pro všechny X a integrály F a F jsou rovny. To vyjadřuje fyzický fakt, že celková tepelná energie resp teplo je konzervováno tepelnou rovnicí, nebo tím, že celkové množství difundujícího materiálu je konzervováno difuzní rovnicí.

Pomocí výše uvedeného lze ukázat, že pro 0 <p ≤ ∞ a F ∈ L^p(R), my máme F ∈ L.^p(R) a ||F||_p ≤ ||F||_p. Weierstrassova transformace následně přináší a ohraničený operátor Ž: L^p(R) → L^p(R).

Li F je dostatečně hladký, pak Weierstrassova transformace k-th derivát z F se rovná k-tý derivát Weierstrassovy transformaceF.

Existuje vzorec týkající se Weierstrassovy transformace Ž a oboustranná Laplaceova transformace L. Pokud definujeme

{ displaystyle g (x) = e ^ {- { frac {x ^ {2}} {4}}} f (x)}

pak

{ displaystyle W [f] (x) = { frac {1} { sqrt {4 pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4} L [g] left (- { frac {x} {2}} vpravo).}

Nízkoprůchodový filtr

Nahoře jsme viděli, že Weierstrassova transformace cos (bx) je E^−b² cos (bx) a analogicky za hřích (bx). Ve smyslu analýza signálu, to naznačuje, že pokud je signál F obsahuje frekvenci b (tj. obsahuje summand, který je kombinací hříchu (bx) a cos (bx)), pak transformovaný signál F bude obsahovat stejnou frekvenci, ale s amplituda vynásobený faktorem E^−b². To má za následek, že vyšší frekvence jsou redukovány více než nižší a Weierstrassova transformace tedy funguje jako a dolní propust. To lze také zobrazit pomocí spojitá Fourierova transformace, jak následuje. Fourierova transformace analyzuje signál z hlediska jeho frekvencí, transformuje konvoluce na produkty a transformuje Gaussian na Gaussians. Weierstrassova transformace je konvoluce s Gaussianem, a proto je násobení Fourierova transformovaného signálu s Gaussianem, následovaná aplikací inverzní Fourierovy transformace. Toto násobení s Gaussianem ve frekvenčním prostoru spojuje vysoké frekvence, což je další způsob, jak popsat „vyhlazovací“ vlastnost Weierstrassovy transformace.

Inverzní transformace

Následující vzorec úzce souvisí s Laplaceova transformace Gaussovy funkce a skutečný analog k Hubbard-Stratonovichova transformace, je relativně snadné stanovit:

{ displaystyle e ^ {u ^ {2}} = { frac {1} { sqrt {4 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- uy} e ^ {-y ^ {2} / 4} ; dy.}

Nyní vyměňte u s operátorem formální diferenciace D = d/dx a využít Lagrange operátor směny

{ displaystyle e ^ {- yD} f (x) = f (x-y)}

,

(důsledek Taylor série vzorec a definice exponenciální funkce ), získat

{ displaystyle { begin {aligned} e ^ {D ^ {2}} f (x) & = { frac {1} { sqrt {4 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- yD} f (x) e ^ {- y ^ {2} / 4} ; dy & = { frac {1} { sqrt {4 pi}}}} int _ {- infty} ^ { infty} f (xy) e ^ {- y ^ {2} / 4} ; dy = W [f] (x) end {zarovnáno}}}

tak získat následující formální výraz pro Weierstrassovu transformaci Ž,

${ displaystyle W = e ^ {D ^ {2}} ~,}$

kde operátor vpravo má být chápán jako jednající na funkci F(X) tak jako

{ displaystyle e ^ {D ^ {2}} f (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {D ^ {2k} f (x)} {k!}} ~ .}

Výše uvedená formální derivace vysvětluje podrobnosti konvergence a vzorec Ž = E^D² není tedy všeobecně platný; existuje několik funkcí F které mají dobře definovanou Weierstrassovu transformaci, ale pro kterou E^D²F(X) nelze smysluplně definovat.

Pravidlo je přesto stále docela užitečné a lze jej například použít k odvození Weierstrassových transformací polynomů, exponenciálních a trigonometrických funkcí uvedených výše.

Formální inverze Weierstrassovy transformace je tedy dána vztahem

{ displaystyle W ^ {- 1} = e ^ {- D ^ {2}} ~.}

Tento vzorec opět není všeobecně platný, ale může sloužit jako vodítko. Je možné ukázat, že je to správné pro určité třídy funkcí, pokud je operátor na pravé straně správně definován.^[2]

Alternativně se můžeme pokusit převrátit Weierstrassovu transformaci trochu jiným způsobem: vzhledem k analytické funkci

{ displaystyle F (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} x ^ {n} ~,}

aplikovat Ž⁻¹ získat

{ displaystyle f (x) = W ^ {- 1} [F (x)] = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} W ^ {- 1} [x ^ {n} ] = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} H_ {n} (x / 2)}

ještě jednou pomocí základní vlastnosti (fyziků) Hermitovy polynomy $H n$ .

Opět tento vzorec pro F(X) je přinejlepším formální, protože člověk nekontroloval, zda finální řada konverguje. Ale pokud například F ∈ L.²(R), pak znalost všech derivátů F na X = 0 stačí k získání koeficientů A_n; a tak rekonstruovat $F$ jako série Hermitovy polynomy.

Třetí metoda převrácení Weierstrassovy transformace využívá jeho připojení k Laplaceově transformaci zmíněné výše a dobře známého inverzního vzorce pro Laplaceovu transformaci. Výsledek je u distribucí uveden níže.

Zobecnění

Můžeme použít konvoluci s Gaussovým jádrem ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {4 pi t}}} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ (s nějakým t > 0) místo ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {4 pi}}} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {4}}}}$ , čímž definuje operátora $Ž t$ , zobecněná Weierstrassova transformace.

Pro malé hodnoty $t, Ž t [F]$ je velmi blízko $F$ , ale hladký. Větší $t$ , tím více tento operátor zprůměruje a změní $F$ . Fyzicky, $Ž t$ odpovídá následující rovnici tepla (nebo difúze) pro $t$ časové jednotky, a to je aditivní,

{ displaystyle W_ {s} circ W_ {t} = W_ {s + t},}

odpovídající "rozptylující pro $t$ tedy časové jednotky $s$ časové jednotky, je ekvivalentní rozptylu pro $s + t$ lze to prodloužit na t = 0 nastavením $Ž 0$ být operátorem identity (tj. konvoluce s Diracova delta funkce ), a ty pak tvoří a jednoparametrická poloskupina operátorů.

Jádro ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {4 pi t}}} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ používaný pro zobecněnou Weierstrassovu transformaci se někdy nazývá Gauss – Weierstrassovo jádro, a je Greenova funkce pro difúzní rovnici ${ displaystyle ( částečné _ {t} -D ^ {2}) (e ^ {tD ^ {2}} f (x)) = 0}$ na R.

$Ž t$ lze vypočítat z $Ž$ : dostal funkci $F (X)$ , definovat novou funkci $F t (X) = F (X \sqrt t)$ ; pak $Ž t [F](X) = Ž [F t](X /\sqrt t)$ , důsledek substituční pravidlo.

Weierstrassovu transformaci lze také definovat pro určité třídy distribuce nebo „zobecněné funkce“.^[3] Například Weierstrassova transformace Diracova delta je Gaussian ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {4 pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4}}$ .

V této souvislosti lze prokázat přísné inverzní vzorce, např.

{ displaystyle f (x) = lim _ {r to infty} { frac {1} {i { sqrt {4 pi}}}} int _ {x_ {0} -ir} ^ { x_ {0} + ir} F (z) e ^ { frac {(xz) ^ {2}} {4}} ; dz}

kde X₀ je jakékoli pevné reálné číslo, pro které $F (X 0)$ existuje, integrál se táhne přes svislou čáru v komplexní rovině se skutečnou částí X₀, a limit je třeba brát ve smyslu distribucí.

Weierstrassovu transformaci lze dále definovat pro funkce (nebo distribuce) s reálnými (nebo komplexními) hodnotami definované na Rⁿ. Používáme stejný konvoluční vzorec jako výše, ale interpretujeme integrál tak, že přesahuje všechny Rⁿ a výraz $(X - y) 2$ jako čtverec Euklidovská délka vektoru X − y; faktor před integrálem musí být upraven tak, aby Gaussian měl celkový integrál 1.

Obecněji lze Weierstrassovu transformaci definovat na jakémkoli Riemannovo potrubí: lze zde formulovat rovnici tepla (pomocí potrubí Operátor Laplace – Beltrami ) a Weierstrassova transformace $Ž [F]$ je pak dáno sledováním řešení rovnice tepla pro jednu časovou jednotku, počínaje počátečním "rozložením teploty" F.

Související transformace

Pokud vezmeme v úvahu konvoluci s jádrem $1 / (π (1 + X 2))$ místo Gaussian, jeden získá Poissonova transformace který vyhlazuje a zprůměruje danou funkci podobným způsobem jako Weierstrassova transformace.

Viz také

Reference

^ Ahmed I.Zayed, Handbook of Function and Generalized Function Transformations, Kapitola 18. CRC Press, 1996.
^ G. G. Bilodeau, “Weierstrassova transformace a Hermitovy polynomy ". Duke Mathematical Journal 29 (1962), str. 293-308
^ Yu A. Brychkov, A. P. Prudnikov. Integrální transformace zobecněných funkcí, Kapitola 5. CRC Press, 1989

[1] Ahmed I.Zayed, Handbook of Function and Generalized Function Transformations, Kapitola 18. CRC Press, 1996.

[2] G. G. Bilodeau, “Weierstrassova transformace a Hermitovy polynomy ". Duke Mathematical Journal 29 (1962), str. 293-308

[3] Yu A. Brychkov, A. P. Prudnikov. Integrální transformace zobecněných funkcí, Kapitola 5. CRC Press, 1989

[1]

[2]

[3]