Riemann – Stieltjesův integrál - Riemann–Stieltjes integral

v matematika, Riemann – Stieltjesův integrál je zobecněním Riemannův integrál, pojmenoval podle Bernhard Riemann a Thomas Joannes Stieltjes. Definice tohoto integrálu byla poprvé publikována v roce 1894 Stieltjesem.^[1] Slouží jako poučný a užitečný předchůdce Lebesgueův integrál a neocenitelným nástrojem při sjednocování ekvivalentních forem statistických vět, které platí pro diskrétní a spojitou pravděpodobnost.

Formální definice

Riemann – Stieltjes integrální a funkce se skutečnou hodnotou ${ displaystyle f}$ reálné proměnné na intervalu ${ displaystyle [a, b]}$ s ohledem na jinou funkci real-to-real ${ displaystyle g}$ je označen

${ displaystyle int _ {x = a} ^ {b} f (x) , mathrm {d} g (x).}$

Jeho definice používá posloupnost oddíly ${ displaystyle P}$ intervalu ${ displaystyle [a, b]}$

${ displaystyle P = {a = x_ {0}$

Integrál je tedy definován jako limit jako norma (délka nejdelšího podintervalu) oddílů se blíží ${ displaystyle 0}$, přibližného součtu

${ displaystyle S (P, f, g) = součet _ {i = 0} ^ {n-1} f (c_ {i}) doleva [g (x_ {i + 1}) - g (x_ { i}) vpravo]}$

kde ${ displaystyle c_ {i}}$ je v i-tý podinterval [X_i, X_i+1]. Tyto dvě funkce ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ se nazývají integrand a integrátor. Typicky ${ displaystyle g}$ se považuje za monotónní (nebo alespoň ohraničená variace ) a pravý polokontinuální (toto je však v zásadě konvence). Konkrétně to nevyžadujeme ${ displaystyle g}$ být spojitý, což umožňuje integrály, které mají termíny hromadné hmotnosti.

„Limitem“ se zde rozumí číslo A (hodnota integrálu Riemann – Stieltjes) taková, že pro každého ε > 0, existuje δ > 0 takové, že pro každý oddíl P s normou (P) < δ, a za každou volbu bodů C_i v [X_i, X_i+1],

${ displaystyle | S (P, f, g) -A | < varepsilon. ,}$

Vlastnosti

Riemann – Stieltjesův integrál připouští integrace po částech ve formě

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , mathrm {d} g (x) = f (b) g (b) -f (a) g (a) - int _ {a} ^ {b} g (x) , mathrm {d} f (x)}$

a existence jednoho integrálu implikuje existenci druhého.^[2]

Na druhou stranu klasický výsledek^[3] ukazuje, že integrál je dobře definovaný, pokud F je α-Hölder kontinuální a G je β-Hölder kontinuální s α + β > 1 .

Aplikace na teorii pravděpodobnosti

Li G je funkce distribuce kumulativní pravděpodobnosti a náhodná proměnná X který má funkce hustoty pravděpodobnosti s ohledem na Lebesgueovo opatření, a F je jakákoli funkce, pro kterou očekávaná hodnota ${ displaystyle operatorname {E} left [, left | f (X) right | , right]}$ je konečný, pak funkce hustoty pravděpodobnosti X je derivát G a máme

${ displaystyle operatorname {E} [f (X)] = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) g '(x) , mathrm {d} x.}$

Tento vzorec však nefunguje, pokud X nemá funkci hustoty pravděpodobnosti s ohledem na Lebesgueovu míru. Zejména to nefunguje, pokud je distribuce X je diskrétní (tj. veškerá pravděpodobnost je započítána hmotami bodů) ai když je kumulativní distribuční funkce G je spojitý, nefunguje, pokud G není absolutně kontinuální (opět Funkce Cantor může sloužit jako příklad tohoto selhání). Ale identita

${ displaystyle operatorname {E} [f (X)] = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , mathrm {d} g (x)}$

platí pokud G je žádný funkce kumulativní distribuce pravděpodobnosti na reálné linii, bez ohledu na to, jak špatně vychovaný. Zejména bez ohledu na to, jak špatně se chovala kumulativní distribuční funkce G náhodné proměnné X, pokud okamžik E(Xⁿ) existuje, pak se rovná

${ displaystyle operatorname {E} left [X ^ {n} right] = int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {n} , mathrm {d} g (x). }$

Aplikace na funkční analýzu

Riemann – Stieltjesův integrál se objevuje v původní formulaci Věta F. Riesze který představuje dvojí prostor z Banachův prostor C[A,b] spojitých funkcí v intervalu [A,b] jako integrály Riemann – Stieltjes proti funkcím ohraničená variace. Později byla tato věta přeformulována z hlediska opatření.

Riemann-Stieltjesův integrál se také objevuje ve formulaci spektrální věta pro (nekompaktní) samoadjungující (nebo obecněji normální) operátory v Hilbertově prostoru. V této větě se o integrálu uvažuje s ohledem na spektrální rodinu projekcí.^[4]

Existence integrálu

Nejlepší věta o jednoduché existenci uvádí, že pokud F je spojitý a G je z ohraničená variace na [A, b], pak integrál existuje.^[5][6][7] Funkce G je omezené variace právě tehdy, když se jedná o rozdíl mezi dvěma (omezenými) monotónními funkcemi. Li G není omezené variace, pak budou existovat spojité funkce, které nelze integrovat s ohledem na G. Obecně platí, že integrál není dobře definován, pokud F a G sdílet jakékoli body z diskontinuita, ale existují i ​​jiné případy.

Zobecnění

Důležitým zevšeobecněním je Lebesgue – Stieltjes integrál, který zobecňuje Riemann – Stieltjesův integrál způsobem analogickým tomu, jak Lebesgueův integrál zobecňuje Riemannův integrál. Li nevhodný Riemann-Stieltjesovy integrály jsou povoleny, potom Lebesgueův integrál není striktně obecnější než Riemann-Stieltjesův integrál.

Riemann-Stieltjesův integrál také zobecňuje^{[Citace je zapotřebí ]} k případu, kdy buď integrand ƒ nebo integrátor G vezměte hodnoty v a Banachův prostor. Li G : [A,b] → X bere hodnoty v Banachově prostoru X, pak je přirozené předpokládat, že jde o silně ohraničená variace, znamenající, že

${ displaystyle sup sum _ {i} | g (t_ {i-1}) - g (t_ {i}) | _ {X} < infty}$

supremum je převzato nad všemi konečnými oddíly

${ displaystyle a = t_ {0} leq t_ {1} leq cdots leq t_ {n} = b}$

intervalu [A,b]. Toto zobecnění hraje roli při studiu poloskupiny prostřednictvím Laplaceova-Stieltjesova transformace.

The Je to integrální rozšiřuje Riemann-Stietjesův integrál tak, aby zahrnoval celá čísla a integrátory, které jsou stochastické procesy spíše než jednoduché funkce; viz také stochastický počet.

Zobecněný Riemann – Stieltjesův integrál

Mírné zobecnění^[8] je zvážit ve výše uvedené definici oddíly P že vylepšit jiný oddíl P_ε, znamenající, že P vzniká z P_ε přidáním bodů, spíše než z oddílů s jemnější sítí. Konkrétně zobecněný Riemann – Stieltjesův integrál z F s ohledem na G je číslo A tak, že pro každého ε > 0 existuje oddíl P_ε tak, že pro každý oddíl P to zjemňuje P_ε,

${ displaystyle | S (P, f, g) -A | < varepsilon ,}$

za každou volbu bodů C_i v [X_i, X_i+1].

Toto zevšeobecnění vykazuje Riemann – Stieltjesův integrál jako Moore-Smithův limit na řízená sada oddílů [A, b] .^[9][10]

Důsledkem je, že s touto definicí je integrál ${ textstyle int _ {a} ^ {b} f (x) , mathrm {d} g (x)}$ stále lze definovat v případech, kdy F a G mají společný bod diskontinuity.

Sumy Darboux

Riemann-Stieltjesův integrál lze efektivně zpracovat pomocí vhodného zobecnění Sumy Darboux. Pro oddíl P a neklesající funkce G na [A, b] definovat horní součet Darboux ve výši F s ohledem na G podle

${ displaystyle U (P, f, g) = součet _ {i = 1} ^ {n} , , [, g (x_ {i}) - g (x_ {i-1}) , ] , sup _ {x v [x_ {i-1}, x_ {i}]} f (x)}$

a spodní částka o

${ displaystyle L (P, f, g) = součet _ {i = 1} ^ {n} , , [, g (x_ {i}) - g (x_ {i-1}) , ] , inf _ {x v [x_ {i-1}, x_ {i}]} f (x).}$

Pak zobecněný Riemann – Stieltjes z F s ohledem na G existuje právě tehdy, když pro každé ε> 0 existuje oddíl P takhle

${ displaystyle U (P, f, g) -L (P, f, g) < varepsilon.}$

Dále F je Riemann – Stieltjes integrovatelný s ohledem na G (v klasickém smyslu), pokud

${ displaystyle lim _ { operatorname {mesh} (P) až 0} [, U (P, f, g) -L (P, f, g) ,] = 0. quad}$^[11]

Příklady a zvláštní případy

Diferencovatelné G(X)

Vzhledem k ${ displaystyle g (x)}$ který je neustále rozlišitelný přes ${ displaystyle mathbb {R}}$ lze ukázat, že existuje rovnost

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , mathrm {d} g (x) = int _ {a} ^ {b} f (x) g '(x) , mathrm {d} x}$

kde integrál na pravé straně je standardní Riemannův integrál, za předpokladu, že ${ displaystyle f}$ lze integrovat pomocí Riemann – Stieltjesova integrálu.

Obecněji se Riemannův integrál rovná Riemannovu – Stieltjesovu integrálu, pokud ${ displaystyle g}$ je Lebesgueův integrál jeho derivátu; v tomto případě ${ displaystyle g}$ se říká, že je absolutně kontinuální.

Může to tak být ${ displaystyle g}$ má skokové diskontinuity nebo může mít derivační nulu téměř všude a přitom stále kontinuální a rostoucí (například ${ displaystyle g}$ může být Funkce Cantor nebo „Ďáblovo schodiště“), v obou případech není Riemann – Stieltjesův integrál zachycen žádným výrazem zahrnujícím deriváty G.

Riemannův integrál

Standardní Riemannův integrál je speciálním případem Riemannova – Stieltjesova integrálu kde ${ displaystyle g (x) = x}$.

Usměrňovač

Zvažte funkci ${ displaystyle g (x) = max {0, x }}$ použitý při studiu neuronové sítě, nazvaný a usměrněná lineární jednotka (ReLU). Potom lze Riemann – Stieltjes vyhodnotit jako

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , mathrm {d} g (x) = int _ {g (a)} ^ {g (b)} f (x) , mathrm {d} x}$

kde integrál na pravé straně je standardní Riemannův integrál.

Integrace Cavaliere

Vizualizace Cavaliereova integrálu pro funkci ${ displaystyle f (x) = (2x + 8) ^ {3}}$

Cavalieriho princip lze použít k výpočtu ploch ohraničených křivkami pomocí integrálů Riemann – Stieltjes.^[12] Integrační proužky integrace Riemann jsou nahrazeny proužky, které nemají obdélníkový tvar. Metodou je transformace „oblasti Cavaliere“ pomocí transformace ${ displaystyle h}$, nebo použít ${ displaystyle g = h ^ {- 1}}$ jako integrand.

Pro danou funkci ${ displaystyle f (x)}$ v intervalu ${ displaystyle [a, b]}$„překladová funkce“ ${ displaystyle a (y)}$ musí se protínat ${ displaystyle (x, f (x))}$ přesně jednou pro jakýkoli posun v intervalu. „Oblast Cavaliere“ je poté ohraničena ${ displaystyle f (x), a (y)}$, ${ displaystyle x}$- osa a ${ displaystyle b (y) = a (y) + (b-a)}$. Rozloha regionu je tedy

${ displaystyle int _ {a (y)} ^ {b (y)} f (x) , dx = int _ {a '} ^ {b'} f (x) , dg (x ),}$ kde ${ displaystyle a '}$ a ${ displaystyle b '}$ jsou ${ displaystyle x}$-hodnoty kde ${ displaystyle a (y)}$ a ${ displaystyle b (y)}$ protínají ${ displaystyle f (x)}$.

Poznámky

Reference

• Graves, Lawrence (1946). Teorie funkcí reálných proměnných. McGraw-Hill.CS1 maint: ref = harv (odkaz) přes HathiTrust
• Hildebrandt, T.H. (1938). "Definice Stieltjesových integrálů typu Riemann". Americký matematický měsíčník. 45 (5): 265–278. ISSN  0002-9890. JSTOR  2302540. PAN  1524276.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974). Funkční analýza a poloskupiny. Providence, RI: Americká matematická společnost. PAN  0423094.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Johnsonbaugh, Richard F.; Pfaffenberger, William Elmer (2010). Základy matematické analýzy. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  978-0-486-47766-4.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kolmogorov, Andrey; Fomin, Sergej V. (1975) [1970]. Úvodní skutečná analýza. Přeložil Silverman, Richard A. (přepracované anglické vydání). Dover Press. ISBN  0-486-61226-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• McShane, E. J. (1952). „Částečné objednávky a limit Moore-Smith“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 59: 1–11. doi:10.2307/2307181. JSTOR  2307181. Citováno 2. listopadu 2010.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Pollard, Henry (1920). "Stieltjesův integrál a jeho zobecnění". Čtvrtletní deník čisté a aplikované matematiky. 49.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Riesz, F .; Sz. Nagy, B. (1990). Funkční analýza. Dover Publications. ISBN  0-486-66289-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Rudin, Walter (1964). Principy matematické analýzy (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Shilov, G. E .; Gurevich, B.L. (1978). Integral, Measure, and Derivative: A unified approach. Přeložil Silverman, Richard A. Dover Publications. Bibcode:1966imdu.book ..... S. ISBN  0-486-63519-8.
• Stieltjes, Thomas Jan (1894). „Obnovení sur les frakcí pokračuje“. Ann. Fac. Sci. Toulouse. VIII: 1–122. PAN  1344720.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Stroock, Daniel W. (1998). Stručný úvod do teorie integrace (3. vyd.). Birkhauser. ISBN  0-8176-4073-8.
• Young, L.C. (1936). „Nerovnost Hölderova typu spojená s integrací Stieltjes“. Acta Mathematica. 67 (1): 251–282. doi:10.1007 / bf02401743.CS1 maint: ref = harv (odkaz)