Čtvrtletně imaginární základna - Quater-imaginary base

The kvartér-imaginární číselná soustava byl poprvé navržen uživatelem Donald Knuth v roce 1960. Je to nestandardní poziční číselný systém který používá imaginární číslo 2i jako jeho základna. Je schopen (téměř ) jednoznačně představují všechny komplexní číslo používající pouze číslice 0, 1, 2 a 3.^[1] (Čísla menší než nula, která jsou běžně reprezentována znaménkem mínus, jsou reprezentovatelná jako řetězce číslic v kvartér-imaginární; například číslo −1 je reprezentováno jako „103“ v kvart-imaginární notaci.)

Rozložte kvartér-imaginární

${ displaystyle ldots d_ {3} d_ {2} d_ {1} d_ {0} .d _ {- 1} d _ {- 2} d _ {- 3} ldots}$ prostředek

${ displaystyle ldots + d_ {3} cdot b ^ {3} + d_ {2} cdot b ^ {2} + d_ {1} cdot b + d_ {0} + d _ {- 1} cdot b ^ {- 1} + d _ {- 2} cdot b ^ {- 2} + d _ {- 3} cdot b ^ {- 3} ldots}$

${ displaystyle b = 2i}$.

jak víme,

${ displaystyle (2i) ^ {2} = - 4}$.

tak,

${ displaystyle ldots + d_ {3} cdot (2i) ^ {3} + d_ {2} cdot (2i) ^ {2} + d_ {1} cdot (2i) + d_ {0} + d_ {-1} cdot (2i) ^ {- 1} + d _ {- 2} cdot (2i) ^ {- 2} + d _ {- 3} cdot (2i) ^ {- 3} ldots}$

${ displaystyle = [... d_ {4} cdot (-4) ^ {2} + d_ {2} cdot (-4) ^ {1} + d_ {0} + d _ {- 2} cdot (-4) ^ {- 1} + ldots] + 2i cdot [... + d_ {5} cdot (-4) ^ {2} + d_ {3} cdot (-4) ^ {1 } + d_ {1} + d _ {- 1} cdot (-4) ^ {- 1} + d _ {- 3} cdot (-4) ^ {- 2} + ldots]}$.

Skutečné a imaginární části tohoto komplexního čísla jsou tedy snadno vyjádřeny v základu −4 as ${ displaystyle ldots d_ {4} d_ {2} d_ {0} .d _ {- 2} ldots}$ a ${ displaystyle 2 cdot ( ldots d_ {5} d_ {3} d_ {1} .d _ {- 1} d _ {- 3} ldots)}$ resp.

Konverze ze čtveřice imaginárních

Chcete-li převést číslicový řetězec ze čtveřice imaginárního systému na desetinnou soustavu, lze použít standardní vzorec pro systémy pozičních čísel. To říká, že číselný řetězec ${ displaystyle ldots d_ {3} d_ {2} d_ {1} d_ {0}}$ v základně b lze převést na desetinné číslo pomocí vzorce

${ displaystyle cdots + d_ {3} cdot b ^ {3} + d_ {2} cdot b ^ {2} + d_ {1} cdot b + d_ {0}}$

Pro quater-imaginární systém, ${ displaystyle b = 2i}$.

Navíc pro daný řetězec ${ displaystyle d}$ ve formě ${ displaystyle d_ {w-1}, d_ {w-2}, ... d_ {0}}$, lze pro danou délku řetězce použít níže uvedený vzorec ${ displaystyle w}$ v základně ${ displaystyle b}$

${ displaystyle Q2D_ {w} { vec {d}} ekviv součet _ {k = 0} ^ {w-1} d_ {k} cdot b ^ {k}}$

Příklad

Chcete-li převést řetězec ${ displaystyle 1101_ {2i}}$ na desetinné číslo, vyplňte vzorec výše:

${ displaystyle 1 cdot (2i) ^ {3} +1 cdot (2i) ^ {2} +0 cdot (2i) ^ {1} +1 cdot (2i) ^ {0} = - 8i- 4 + 0 + 1 = -3-8i}$

Další, delší příklad: ${ displaystyle 1030003_ {2i}}$ v základně 10 je

${ displaystyle 1 cdot (2i) ^ {6} +3 cdot (2i) ^ {4} +3 cdot (2i) ^ {0} = - 64 + 3 cdot 16 + 3 = -13}$

Přeměna na čtveřice-imaginární

Je také možné převést desítkové číslo na číslo v kvartérně imaginárním systému. Každý komplexní číslo (každé číslo formuláře A+bi) má čtvercově imaginární zastoupení. Většina čísel má jedinečnou čtvercově imaginární reprezentaci, ale stejně jako 1 má dvě reprezentace 1 = 0.9... v desítkové soustavě, takže 1/5 má dvě kvarteto-imaginární reprezentace 1.0300…_2i = 0.0003…_2i.

Chcete-li převést libovolné komplexní číslo na čtveřici-imaginární, stačí rozdělit číslo na jeho skutečnou a imaginární složku, převést každou z nich samostatně a poté přidat výsledky prokládáním číslic. Například od −1 + 4i se rovná -1 plus 4i, čtveřice-imaginární reprezentace −1 + 4i je kvarteto-imaginární reprezentace −1 (konkrétně 103) plus kvarteto-imaginární reprezentace 4i (konkrétně 20), což dává konečný výsledek −1 + 4i = 123_2i.

Chcete-li najít čtvercovou imaginární reprezentaci imaginární složky, stačí tuto složku vynásobit 2i, což dává skutečné číslo; pak najděte kvarteto-imaginární reprezentaci tohoto reálného čísla a nakonec posuňte reprezentaci o jedno místo doprava (tedy dělením 2i). Například čtveřice-imaginární reprezentace 6i se vypočítá vynásobením 6i × 2i = −12, což je vyjádřeno jako 300_2ia poté posun o jedno místo doprava, čímž se získá: 6i = 30_2i.

Nalezení kvartérně imaginární reprezentace libovolného reálného celé číslo číslo lze provést ručně řešením systému simultánní rovnice, jak je uvedeno níže, ale existují rychlejší metody pro reálná i imaginární celá čísla, jak je uvedeno v záporný základ článek.

Příklad: reálné číslo

Jako příklad celočíselného čísla se můžeme pokusit najít kvarteto-imaginární protějšek desetinného čísla 7 (nebo 7₁₀ od základna desetinné soustavy je 10). Vzhledem k tomu, že je těžké přesně předpovědět, jak dlouhý bude řetězec číslic pro dané desetinné číslo, je bezpečné předpokládat poměrně velký řetězec. V tomto případě lze zvolit řetězec šesti číslic. Když se počáteční odhad velikosti řetězce nakonec ukáže jako nedostatečný, lze použít větší řetězec.

Chcete-li najít reprezentaci, nejprve napište obecný vzorec a skupinové výrazy:

${ displaystyle { begin {aligned} 7_ {10} & = d_ {0} + d_ {1} cdot b + d_ {2} cdot b ^ {2} + d_ {3} cdot b ^ {3 } + d_ {4} cdot b ^ {4} + d_ {5} cdot b ^ {5} & = d_ {0} + 2id_ {1} -4d_ {2} -8id_ {3} + 16d_ {4} + 32id_ {5} & = d_ {0} -4d_ {2} + 16d_ {4} + i (2d_ {1} -8d_ {3} + 32d_ {5}) end end {zarovnáno }}}$

Vzhledem k tomu, že 7 je reálné číslo, je možné to učinit závěrem d₁, d₃ a d₅ by měla být nula. Nyní hodnota koeficientů d₀, d₂ a d₄, musí být nalezen. Protože d₀ - 4 d₂ + 16 d₄ = 7 a protože - podle povahy čtveřice imaginárního systému - mohou být koeficienty pouze 0, 1, 2 nebo 3, lze najít hodnotu koeficientů. Možná konfigurace může být: d₀ = 3, d₂ = 3 a d₄ = 1. Tato konfigurace dává výsledný řetězec číslic pro 7₁₀.

${ displaystyle { begin {aligned} 7_ {10} = 010303_ {2i} = 10303_ {2i}. end {aligned}}}$

Příklad: Imaginární číslo

Nalezení čtveřice imaginární reprezentace čistě imaginárního celého čísla ∈ iZ je analogický s metodou popsanou výše pro reálné číslo. Například k nalezení reprezentace 6i, je možné použít obecný vzorec. Pak musí být všechny koeficienty reálné části nulové a složitá část by měla činit 6. Avšak pro 6i je to snadno vidět při pohledu na vzorec, že ​​pokud d₁ = 3 a všechny ostatní koeficienty jsou nulové, dostaneme požadovaný řetězec pro 6i. To je:

${ displaystyle { begin {aligned} 6i_ {10} = 30_ {2i} end {aligned}}}$

Další metoda převodu

U reálných čísel je kvartér-imaginární reprezentace stejná jako negativní kvartér (základ −4). Složité číslo X+iy lze převést na čtveřice-imaginární převedením X a y/ 2 samostatně do záporného kvartéru. Pokud obojí X a y jsou konečné binární zlomky můžeme použít následující algoritmus pomocí opakování Euklidovské dělení:

Například: 35 + 23i = 121003.2_2i

                35 23i ÷ 2i = 11,5 11 = 12-0,5 35 ÷ (-4) = - 8, zbytek 3 12 ÷ (-4) = - 3, zbytek 0 (-0,5) * (- 4) = 2-8 ÷ ( -4) = 2, zbytek 0 -3 ÷ (-4) = 1, zbytek 1 2 ÷ (-4) = 0, zbytek 2 1 ÷ (-4) = 0, zbytek 1 20003                    +              101000                         + 0,2 = 121003,2 32i + 16 * 2-8i-4 * 0 + 2i * 0 + 1 * 3-2 * i / 2 = 35 + 23i

Radix point "."

A bod radixu v desítkové soustavě je obvyklé . (tečka), která označuje oddělení mezi celé číslo část a zlomek část čísla. V kvaterimaginárním systému lze také použít radixový bod. Pro číselný řetězec ${ displaystyle ... d_ {5} d_ {4} d_ {3} d_ {2} d_ {1} d_ {0} .d _ {- 1} d _ {- 2} d _ {- 3} ...}$ bod radix označuje oddělení mezi nezápornými a zápornými silami b. Pomocí bodu radix se stane obecný vzorec:

${ displaystyle d_ {5} b ^ {5} + d_ {4} b ^ {4} + d_ {3} b ^ {3} + d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0} + d _ {- 1} b ^ {- 1} + d _ {- 2} b ^ {- 2} + d _ {- 3} b ^ {- 3}}$

nebo

${ displaystyle 32id_ {5} + 16d_ {4} -8id_ {3} -4d_ {2} + 2id_ {1} + d_ {0} + { frac {1} {2i}} d _ {- 1} + { frac {1} {- 4}} d _ {- 2} + { frac {1} {- 8i}} d _ {- 3}}$

${ displaystyle = 32id_ {5} + 16d_ {4} -8id_ {3} -4d_ {2} + 2id_ {1} + d_ {0} - { frac {i} {2}} d _ {- 1} - { frac {1} {4}} d _ {- 2} + { frac {i} {8}} d _ {- 3}}$

Příklad

Pokud je čtvercovo-imaginární znázornění komplexní jednotky i musí být nalezen, vzorec bez bodu radix nebude stačit. Proto by měl být použit výše uvedený vzorec. Proto:

${ displaystyle { begin {aligned} i & = 32id_ {5} + 16d_ {4} -8id_ {3} -4d_ {2} + 2id_ {1} + d_ {0} + { frac {1} {2i} } d _ {- 1} + { frac {1} {- 4}} d _ {- 2} + { frac {1} {- 8i}} d _ {- 3} & = i (32d_ {5} -8d_ {3} + 2d_ {1} - { frac {1} {2}} d _ {- 1} + { frac {1} {8}} d _ {- 3}) + 16d_ {4} -4d_ {2} + d_ {0} - { frac {1} {4}} d _ {- 2} end {zarovnáno}}}$

pro určité koeficienty d_k. Protože skutečná část musí být nulová: d₄ = d₂ = d₀ = d₋₂ = 0. Pro imaginární část, pokud d₅ = d₃ = d₋₃ = 0 a kdy d₁ = 1 a d₋₁ = 2 lze najít řetězec číslic. Výsledkem použití výše uvedených koeficientů v číslicovém řetězci je:

${ displaystyle { begin {aligned} i = 10.2_ {2i} end {aligned}}}$.

Sčítání a odčítání

Je možné přidat a odčítat čísla v kvarteto-imaginárním systému. Přitom je třeba mít na paměti dvě základní pravidla:

1. Kdykoli číslo přesáhne 3, odčítat 4 a „nést“ −1 o dvě místa vlevo.
2. Kdykoli číslo klesne pod 0, přidat 4 a „nést“ +1 dvě místa nalevo.

Nebo zkrátka: „Pokud ano přidat čtyři, nést +1. jestli ty odčítat čtyři, nést −1". Toto je opakem normálního dlouhého sčítání, ve kterém vyžaduje" carry "v aktuálním sloupci přidávání 1 do dalšího sloupce vlevo a „výpůjčka“ vyžaduje odečtení. Ve čtveřice-imaginární aritmetice je „nošení“ odečte ze sloupce další, ale jeden, a „půjčit“ dodává.

Příklad: Sčítání

Níže jsou uvedeny dva příklady přidání do čtveřice imaginárního systému:

   1 - 2i 1031 3 - 4i 1023 1 - 2i 1031 1 - 8i 1001 ------- + <=> ----- + ------- + <=> ----- + 2 - 4i 1022 4 - 12i 12320

V prvním příkladu začneme přidáním dvou 1s do prvního sloupce (sloupec „ones“), přičemž dáme 2. Potom přidáme dvě 3s do druhého sloupce („2is sloupec "), přičemž 6; 6 je větší než 3, takže odečteme 4 (ve výsledku ve druhém sloupci 2) a do čtvrtého sloupce přeneseme -1. Přidáním 0s ve třetím sloupci získáme 0; a nakonec sčítáním dvou 1s a neseného −1 ve čtvrtém sloupci se získá 1.

Ve druhém příkladu nejdříve přidáme 3 + 1, přičemž dáme 4; 4 je větší než 3, takže odečteme 4 (dává 0) a přeneseme -1 do třetího sloupce (sloupec −4s). Pak přidáme 2 + 0 do druhého sloupce, čímž dáme 2. Ve třetím sloupci máme 0 + 0 + (- 1), kvůli carry; −1 je menší než 0, takže přidáme 4 (ve třetím sloupci bude výsledkem 3) a do pátého sloupce „půjčíme“ +1. Ve čtvrtém sloupci je 1 + 1 2; a carry v pátém sloupci dává 1, za výsledek ${ displaystyle 12320_ {2i}}$.

Příklad: Odečtení

Odečtení je analogické sčítání v tom, že používá stejná dvě pravidla popsaná výše. Níže je uveden příklad:

         - 2 - 8i 1102 1 - 6i 1011 ------- - <=> ----- - - 3 - 2i 1131

V tomto příkladu musíme odečíst ${ displaystyle 1011_ {2i}}$ z ${ displaystyle 1102_ {2i}}$. Pravá číslice je 2−1 = 1. Druhá číslice zprava by se změnila na –1, takže přidáním 4 dejte 3 a poté vezměte +1 o dvě místa vlevo. Třetí číslice zprava je 1−0 = 1. Potom je číslice zcela vlevo 1−1 plus 1 z přenášení, což dává 1. To dává konečnou odpověď ${ displaystyle 1131_ {2i}}$.

Násobení

Pro dlouhé násobení v kvaterimaginárním systému se používají také dvě výše uvedená pravidla. Při vynásobení čísel vynásobte první řetězec každou číslicí ve druhém řetězci a přidejte výsledné řetězce. Při každém násobení se číslice ve druhém řetězci znásobí s prvním řetězcem. Násobení začíná číslicí zcela vpravo ve druhém řetězci a poté se pohybuje doleva o jednu číslici, přičemž každou číslici se vynásobí prvním řetězcem. Potom se přidají výsledné dílčí produkty, kde se každá posune o jednu číslici doleva. Příklad:

              11201 20121 x -------- 11201 <--- 1 x 11201 12002 <--- 2 x 11201 11201 <--- 1 x 11201 00000 <--- 0 x 11201 12002 + <--- 2 x 11201 ------------ 120231321

To odpovídá násobení ${ displaystyle (9-8i) cdot (29 + 4i) = 293-196i}$.

Tabulkové převody

Níže je tabulka některých desetinných a komplexních čísel a jejich čtvercově imaginárních protějšků.

Příklady

Níže uvádíme několik dalších příkladů převodu z desítkových čísel na čtveřice imaginárních čísel.

${ displaystyle 5 = 16 + (3 cdot -4) + 1 = 10301_ {2i}}$

${ displaystyle i = 2i + 2 left (- { frac {1} {2}} i right) = 10.2_ {2i}}$

${ displaystyle 7 { frac {3} {4}} - 7 { frac {1} {2}} i = 1 (16) +1 (-8i) +2 (-4) +1 (2i) + 3 left (- { frac {1} {2}} i right) +1 left (- { frac {1} {4}} right) = 11210.31_ {2i}}$

Křivka pořadí Z

Zastoupení

${ displaystyle z = sum _ {k geq n} z_ {k} cdot (2i) ^ {- k}}$

libovolného komplexního čísla ${ displaystyle z in mathbb {C}}$ s ${ displaystyle z_ {k} v {0,1,2,3 }}$ vede k injekční mapování

${ displaystyle textstyle { begin {pole} {llcl} varphi colon & mathbb {C} & to & mathbb {R} & sum _ {k geq n} z_ {k} cdot (2i) ^ {- k} & mapsto & sum _ {k geq n} z_ {k} cdot r ^ {- k} end {pole}}}$

s některými vhodnými ${ displaystyle r in mathbb {Z}}$. Tady ${ displaystyle r = 4}$ nelze brát jako základ, protože

${ displaystyle textstyle sum _ {k> 0} 3 cdot (2i) ^ {- k} = { tfrac {-3-6i} {5}} ; ; ; ; neq ; ; ; ; 1 = součet _ {k> 0} 3 cdot 4 ^ {- k}.}$

The obraz ${ displaystyle varphi ( mathbb {C}) podmnožina mathbb {R}}$ je Cantor set což umožňuje lineární uspořádání ${ displaystyle mathbb {C}}$ podobný a Křivka pořadí Z. Tudíž, ${ displaystyle varphi}$ není kontinuální.

Viz také

• Kvartérní číselná soustava
• Komplexní základní systém
• Negativní základna

Reference

Další čtení

• Knuth, Donald Ervin. "Systémy pozičních čísel". Umění počítačového programování. 2 (3. vyd.). Addison-Wesley. str. 205.
• Warren Jr., Henry S. (2013) [2002]. Hacker's Delight (2. vyd.). Addison Wesley - Pearson Education, Inc. str. 309. ISBN  978-0-321-84268-8. 0-321-84268-5.