Komplexní základní systém - Complex-base system

v aritmetický, a komplexní systém je poziční číselná soustava jehož základ je imaginární (navrhl Donald Knuth v roce 1955^[1]^[2]) nebo komplexní číslo (navrhl S. Khmelnik v roce 1964^[3] a Walter F. Penney v roce 1965^[4]^[5]^[6]).

Obecně

Nechat ${displaystyle D}$ být integrální doména ${displaystyle podmnožina mathbb {C}}$ , a ${displaystyle | cdot |}$ the (Archimedean) absolutní hodnota na to.

Číslo ${displaystyle Xin D}$ v pozičním číselném systému je reprezentován jako expanze

{displaystyle X = pm součet _ {u} ^ {} x_ {u} ho ^ {u},}

kde

${displaystyle ho in D}$		je základ (nebo základna) s ${displaystyle \| ho \|> 1}$ ,
${displaystyle u in mathbb {Z}}$		je exponent (pozice nebo místo),
${displaystyle x_ {u}}$		jsou číslice z konečný sada číslic ${displaystyle Zsubset D}$ , obvykle s ${displaystyle \| x_ {u} \| <\| ho \|.}$

The mohutnost ${displaystyle R: = | Z |}$ se nazývá úroveň rozkladu.

Systém pozičních čísel nebo kódovací systém je pár

{displaystyle leftlangle ho, Zightangle}

s radixem ${displaystyle ho}$ a sada číslic ${displaystyle Z}$ a standardní sadu číslic zapíšeme pomocí ${displaystyle R}$ číslice jako

{displaystyle Z_ {R}: = {0,1,2, dotsc, {R-1}}.}

Žádoucí jsou kódovací systémy s funkcemi:

Každé číslo v ${displaystyle D}$ , e. G. celá čísla ${displaystyle mathbb {Z}}$ , Gaussova celá čísla ${displaystyle mathbb {Z} [mathrm {i}]}$ nebo celá čísla ${displaystyle mathbb {Z} [{frac {-1 + mathrm {i} {sqrt {7}}} {2}}]}$ , je jedinečně reprezentativní jako konečný kód, případně s podepsat ±.
Každé číslo v pole zlomků ${displaystyle K: = operatorname {Quot} (D)}$ , což možná je dokončeno pro metrický dána ${displaystyle | cdot |}$ poddajný ${displaystyle K: = mathbb {R}}$ nebo ${displaystyle K: = mathbb {C}}$ , je reprezentovatelný jako nekonečná řada ${displaystyle X}$ který konverguje pod ${displaystyle | cdot |}$ pro ${displaystyle u o -infty}$ a opatření množiny čísel s více než jedním vyjádřením je 0. Druhá vyžaduje, aby množina ${displaystyle Z}$ být minimální, tj. ${displaystyle R = | ho |}$ pro reálná čísla a ${displaystyle R = | ho | ^ {2}}$ pro komplexní čísla.

V reálných číslech

V této notaci je naše standardní dekadické kódovací schéma označeno

{displaystyle leftlangle 10, Z_ {10} ightangle,}

standardní binární systém je

{displaystyle leftlangle 2, Z_ {2} ightangle,}

the negabinární systém je

{displaystyle leftlangle -2, Z_ {2} ightangle,}

a vyvážený ternární systém^[2] je

{displaystyle leftlangle 3, {- 1,0,1} ightangle.}

Všechny tyto kódovací systémy mají zmíněné vlastnosti pro ${displaystyle mathbb {Z}}$ a ${displaystyle mathbb {R}}$ a poslední dva znak nevyžadují.

Ve složitých číslech

Známé systémy pozičních čísel pro komplexní čísla zahrnují následující ( ${displaystyle mathrm {i}}$ být imaginární jednotka ):

${displaystyle leftlangle {sqrt {R}}, Z_ {R} ightangle}$ , např. ${displaystyle leftlangle pm mathrm {i} {sqrt {2}}, Z_ {2} ightangle}$ ^[1] a

{displaystyle leftlangle pm 2mathrm {i}, Z_ {4} ightangle}

,^[2] the čtveřice-imaginární základna, navrhl Donald Knuth v roce 1955.

${displaystyle leftlangle {sqrt {2}} e ^ {pm {frac {pi} {2}} mathrm {i}} = pm mathrm {i} {sqrt {2}}, Z_ {2} ightangle}$ a

{displaystyle leftlangle {sqrt {2}} e ^ {pm {frac {3pi} {4}} mathrm {i}} = - 13:00 mathrm {i}, Z_ {2} ightangle}

^[3]^[5] (viz také část Základna -1 ± i níže).

${displaystyle leftlangle {sqrt {R}} e ^ {mathrm {i} varphi}, Z_ {R} ightangle}$ , kde ${displaystyle varphi = pm arccos {(- eta / (2 {sqrt {R}}))}}$ , ${displaystyle eta$ a ${displaystyle eta _ {} ^ {}}$ je kladné celé číslo, které může nabývat více hodnot současně ${displaystyle R}$ .^[7] Pro ${displaystyle eta = 1}$ a ${displaystyle R = 2}$ to je systém

{displaystyle leftlangle {frac {-1 + mathrm {i} {sqrt {7}}} {2}}, Z_ {2} ightangle.}

${displaystyle leftlangle 2e ^ {{frac {pi} {3}} mathrm {i}}, A_ {4}: = left {0,1, e ^ {{frac {2pi} {3}} mathrm {i}} , e ^ {- {frac {2pi} {3}} mathrm {i}} ight} ightangle}$ .^[8]
${displaystyle leftlangle -R, A_ {R} ^ {2} ightangle}$ , kde je soubor ${displaystyle A_ {R} ^ {2}}$ sestává z komplexních čísel ${displaystyle r_ {u} = alpha _ {u} ^ {1} + alpha _ {u} ^ {2} mathrm {i}}$ a čísla ${displaystyle alpha _ {u} ^ {} v Z_ {R}}$ , např.

{displaystyle leftlangle -2, {0,1, mathrm {i}, 1 + mathrm {i}} ightangle.}

^[8]

${displaystyle leftlangle ho = ho _ {2}, Z_ {2} ightangle}$ , kde ${displaystyle ho _ {2} = {egin {cases} (- 2) ^ {frac {u} {2}} & {ext {if}} u {ext {even,}} (- 2) ^ {frac {u -1} {2}} mathrm {i} & {ext {if}} u {ext {odd.}} end {cases}}}$ ^[9]

Binární systémy

Binární kódovací systémy komplexních čísel, tj. systémy s číslicemi ${displaystyle Z_ {2} = {0,1}}$ , mají praktický význam.^[9]Níže jsou uvedeny některé kódovací systémy ${displaystyle langle ho, Z_ {2} úhel}$ (všechny jsou speciální případy výše uvedených systémů) a resp. kódy pro (desetinná) čísla $-1, 2, -2, i$ Standardní binární (který vyžaduje znaménko, první řádek) a "negabinární" systémy (druhý řádek) jsou také uvedeny pro srovnání. Nemají skutečnou expanzi pro $i$ .

Některé základy a některé reprezentace^[10]
Základ	–1 ←	2 ←	–2 ←	$i$ ←	Dvojčata a trojčata
2	–1	10	–10	$i$	1 ←	0.1 = 1.0
–2	11	110	10	$i$	1/3 ←	0.01 = 1.10
${displaystyle mathrm {i} {sqrt {2}}}$	101	10100	100	10.101010100...^[11]	${displaystyle {frac {1} {3}} + {frac {1} {3}} mathrm {i} {sqrt {2}}}$ ←	0.0011 = 11.1100
${displaystyle {frac {-1 + mathrm {i} {sqrt {7}}} {2}}}$	111	1010	110	11.110001100...^[11]	${displaystyle {frac {3 + mathrm {i} {sqrt {7}}} {4}}}$ ←	1.011 = 11.101 = 11100.110
${displaystyle ho _ {2}}$	101	10100	100	10	1/3 + 1/3 $i$ ←	0.0011 = 11.1100
–1+ $i$	11101	1100	11100	11	1/5 + 3/5 $i$ ←	0.010 = 11.001 = 1110.100
2 $i$	103	2	102	10.2	1/5 + 2/5 $i$ ←	0.0033 = 1.3003 = 10.0330 = 11.3300

Jako ve všech pozičních číselných systémech s Archimedean absolutní hodnota, existuje několik čísel s více reprezentací. Příklady takových čísel jsou uvedeny v pravém sloupci tabulky. Všichni jsou opakující se zlomky s opakováním označeným vodorovnou čarou nad ním.

Pokud je sada číslic minimální, sada takových čísel má a opatření 0. To je případ všech zmíněných kódovacích systémů.

Téměř binární kvarteto-imaginární systém je uveden pro účely srovnání ve spodním řádku. Skutečná a imaginární část se tam navzájem proplétají.

Základna $-1 \pm i$

Složitá čísla s celočíselnou částí všechny nuly v základně

i - 1

Systém

Obzvláště zajímavé jsou čtveřice-imaginární základna (základna $2 i$ ) a základna $-1 \pm i$ níže diskutované systémy, z nichž oba mohou být použity k definitivní reprezentaci Gaussova celá čísla bez znamení.

Základna $-1 \pm i$ pomocí číslic $0$ a $1$ , navrhl S. Khmelnik v roce 1964^[3] a Walter F. Penney v roce 1965.^[4]^[6] Zaokrouhlovací oblast celého čísla - tj. Množina ${displaystyle S}$ komplexních (necelých čísel) čísel, která sdílejí celočíselnou část své reprezentace v tomto systému - má v komplexní rovině fraktální tvar: Twindragon (viz obrázek). Tato sada ${displaystyle S}$ jsou, podle definice, všechny body, které lze zapsat jako ${displaystyle extstyle součet _ {kgeq 1} x_ {k} (mathrm {i} -1) ^ {- k}}$ s ${displaystyle x_ {k} v Z_ {2}}$ . ${displaystyle S}$ lze rozložit na 16 kusů shodných s ${displaystyle {frac {1} {4}} S}$ . Všimněte si, že pokud ${displaystyle S}$ je otočen proti směru hodinových ručiček o 135 °, získáme dvě sousední sady shodné s ${displaystyle {frac {1} {sqrt {2}}} S}$ , protože ${displaystyle (mathrm {i} -1) S = Scup (S + 1)}$ . Obdélník ${displaystyle Rsubset S}$ ve středu protíná osy souřadnic proti směru hodinových ručiček v následujících bodech: ${displaystyle {frac {2} {15}} dostane 0. {overline {00001100}}}$ , ${displaystyle {frac {1} {15}} mathrm {i} dostane 0. {overline {00000011}}}$ , a ${displaystyle - {frac {8} {15}} dostane 0. {overline {11000000}}}$ , a ${displaystyle - {frac {4} {15}} mathrm {i} dostane 0. {overline {00110000}}}$ . Tím pádem, ${displaystyle S}$ obsahuje všechna komplexní čísla s absolutní hodnotou ≤1/15.^[12]

V důsledku toho existuje injekce komplexního obdélníku

{displaystyle [- {frac {8} {15}}, {frac {2} {15}}] imes [- {frac {4} {15}}, {frac {1} {15}}] mathrm {i }}

do interval ${displaystyle [0,1)}$ reálných čísel mapováním

{displaystyle extstyle součet _ {kgeq 1} x_ {k} (mathrm {i} -1) ^ {- k} mapa součet _ {kgeq 1} x_ {k} b ^ {- k}}

s ${displaystyle b> 2}$ .^[13]

Dále existují dvě mapování

{displaystyle {egin {array} {lll} Z_ {2} ^ {mathbb {N}} & o & S left (x_ {k} ight) _ {kin mathbb {N}} & mapsto & sum _ {kgeq 1} x_ { k} (mathrm {i} -1) ^ {- k} konec {pole}}}

a

{displaystyle {egin {array} {lll} Z_ {2} ^ {mathbb {N}} & o & [0,1) left (x_ {k} ight) _ {kin mathbb {N}} & mapsto & sum _ { kgeq 1} x_ {k} 2 ^ {- k} konec {pole}}}

oba surjektivní, které vedou k mapování surjektivu (tedy vyplňování prostoru)

{displaystyle [0,1) qquad o qquad S}

což však není kontinuální a tudíž ne A vyplňování prostoru křivka. Ale velmi blízký příbuzný, Davis-Knuth drak, je spojitá a křivka vyplňování prostoru.

Viz také

Dračí křivka

Reference

^ ^A ^b Knuth, D.E. (1960). "Imaginární číselný systém". Komunikace ACM. 3 (4): 245–247. doi:10.1145/367177.367233.
^ ^A ^b ^C Knuth, Donald (1998). "Systémy pozičních čísel". Umění počítačového programování. Svazek 2 (3. vydání). Boston: Addison-Wesley. str. 205. ISBN 0-201-89684-2. OCLC 48246681.
^ ^A ^b ^C Khmelnik, SI (1964). "Specializovaný digitální počítač pro operace se složitými čísly". Otázky rádiové elektroniky (v ruštině). XII (2).
^ ^A ^b W. Penney, „binární“ systém pro komplexní čísla, JACM 12 (1965) 247-248.
^ ^A ^b Jamil, T. (2002). "Složitý systém binárních čísel". Potenciály IEEE. 20 (5): 39–41. doi:10.1109/45.983342.
^ ^A ^b Duda, Jarek (2008-02-24). "Složité základní číselné systémy". arXiv:0712.1309 [math.DS ].
^ Khmelnik, SI (1966). "Poziční kódování komplexních čísel". Otázky rádiové elektroniky (v ruštině). XII (9).
^ ^A ^b Khmelnik, S.I. (2004). Kódování komplexních čísel a vektorů (v ruštině) (PDF). Izrael: Matematika v počítači. ISBN 978-0-557-74692-7.
^ ^A ^b Khmelnik, S.I. (2001). Metoda a systém zpracování komplexních čísel. Patent USA, US2003154226 (A1).
^ William J. Gilbert, „Aritmetika ve složitých základech“ Mathematics Magazine Vol. 57, č. 2, březen 1984
^ ^A ^b nekonečná neopakující se sekvence
^ Knuth 1998 str.206
^ Základna ${displaystyle b = 2}$ nelze vzít, protože obojí, ${displaystyle extstyle 2 ^ {- 1} = 0,1_ {ext {bin}} = 0,5_ {ext {dec}}}$ a ${displaystyle extstyle součet _ {kgeq 2} 2 ^ {- k} = 0,0 {overline {1}} _ {ext {bin}} = 0,1_ {ext {bin}} = 0,5_ {ext {dec}}}$ . Nicméně, ${displaystyle extstyle (mathrm {i} -1) ^ {- 1} = - 0,1_ {ext {bin}} - 0,1_ {ext {bin}} mathrm {i} = -0,5_ {ext {dec}} - 0,5_ {ext {dec}} mathrm {i}}$ je nerovné ${displaystyle extstyle součet _ {kgeq 2} (mathrm {i} -1) ^ {- k} = 0,1_ {ext {dec}} + 0,3_ {ext {dec}} mathrm {i}}$ .

externí odkazy

"Číselné systémy využívající komplexní základnu "Jarek Duda, Demonstrační projekt Wolfram
"Hranice systémů periodických iterovaných funkcí "Jarek Duda, Demonstrační projekt Wolfram
"Číselné systémy ve 3D "Jarek Duda, Demonstrační projekt Wolfram

[Knuth1-1] A ^b Knuth, D.E. (1960). "Imaginární číselný systém". Komunikace ACM. 3 (4): 245–247. doi:10.1145/367177.367233.

[Knuth2-2] A ^b ^C Knuth, Donald (1998). "Systémy pozičních čísel". Umění počítačového programování. Svazek 2 (3. vydání). Boston: Addison-Wesley. str. 205. ISBN 0-201-89684-2. OCLC 48246681.

[Khmelnik1-3] A ^b ^C Khmelnik, SI (1964). "Specializovaný digitální počítač pro operace se složitými čísly". Otázky rádiové elektroniky (v ruštině). XII (2).

[Penney0-4] A ^b W. Penney, „binární“ systém pro komplexní čísla, JACM 12 (1965) 247-248.

[Penney1-5] A ^b Jamil, T. (2002). "Složitý systém binárních čísel". Potenciály IEEE. 20 (5): 39–41. doi:10.1109/45.983342.

[Penney2-6] A ^b Duda, Jarek (2008-02-24). "Složité základní číselné systémy". arXiv:0712.1309 [math.DS ].

[Khmelnik2-7] Khmelnik, SI (1966). "Poziční kódování komplexních čísel". Otázky rádiové elektroniky (v ruštině). XII (9).

[Khmelnik3-8] A ^b Khmelnik, S.I. (2004). Kódování komplexních čísel a vektorů (v ruštině) (PDF). Izrael: Matematika v počítači. ISBN 978-0-557-74692-7.

[Khmelnik4-9] A ^b Khmelnik, S.I. (2001). Metoda a systém zpracování komplexních čísel. Patent USA, US2003154226 (A1).

[Gilbert-10] William J. Gilbert, „Aritmetika ve složitých základech“ Mathematics Magazine Vol. 57, č. 2, březen 1984

[infinite-11] A ^b nekonečná neopakující se sekvence

[12] Knuth 1998 str.206

[13] Základna ${displaystyle b = 2}$ nelze vzít, protože obojí, ${displaystyle extstyle 2 ^ {- 1} = 0,1_ {ext {bin}} = 0,5_ {ext {dec}}}$ a ${displaystyle extstyle součet _ {kgeq 2} 2 ^ {- k} = 0,0 {overline {1}} _ {ext {bin}} = 0,1_ {ext {bin}} = 0,5_ {ext {dec}}}$ . Nicméně, ${displaystyle extstyle (mathrm {i} -1) ^ {- 1} = - 0,1_ {ext {bin}} - 0,1_ {ext {bin}} mathrm {i} = -0,5_ {ext {dec}} - 0,5_ {ext {dec}} mathrm {i}}$ je nerovné ${displaystyle extstyle součet _ {kgeq 2} (mathrm {i} -1) ^ {- k} = 0,1_ {ext {dec}} + 0,3_ {ext {dec}} mathrm {i}}$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]