Ortogonální trajektorie - Orthogonal trajectory

Soustředné kruhy s ortogonálními trajektoriemi (1. příklad)

Paraboly s ortogonálními trajektoriemi (2. příklad)

v matematika an ortogonální trajektorie je

• křivka, která protíná jakoukoli křivku dané tužky (rovinných) křivek kolmo.

Například ortogonální trajektorie tužky soustředné kruhy jsou čáry procházející jejich společným středem (viz obrázek).

Vhodnými metodami pro určení ortogonálních trajektorií jsou řešení diferenciální rovnice. Standardní metoda stanoví první objednávku obyčejná diferenciální rovnice a řeší to oddělení proměnných. Oba kroky mohou být obtížné nebo dokonce nemožné. V takových případech je nutné použít numerické metody.

Ortogonální trajektorie se používají v matematice například jako zakřivené souřadnicové systémy (tj. eliptické souřadnice ) nebo se ve fyzice objeví jako elektrická pole a jejich ekvipotenciální křivky.

Pokud trajektorie protne dané křivky o libovolný (ale pevný) úhel, dostane se izogonální trajektorie.

Určení ortogonální trajektorie

V kartézských souřadnicích

Obecně se předpokládá, že tužka křivek je implicitně dané rovnicí

(0) ${ displaystyle: F (x, y, c) = 0, qquad}$ 1. příklad ${ displaystyle: x ^ {2} + y ^ {2} -c = 0 , qquad}$ 2. příklad ${ displaystyle y = cx ^ {2} leftrightarrow y-cx ^ {2} = 0 ,}$

kde ${ displaystyle c}$ je parametr tužky. Pokud je uvedena tužka výslovně rovnicí ${ displaystyle y = f (x, c)}$, lze změnit reprezentaci na implicitní: ${ displaystyle y-f (x, c) = 0}$. Pro zvážení níže se předpokládá, že existují všechny potřebné deriváty.

Krok 1.

Implicitně rozlišovat pro ${ displaystyle x}$ výnosy

(1) ${ displaystyle: F_ {x} (x, y, c) + F_ {y} (x, y, c) ; y '= 0, qquad}$ v 1. příkladu ${ displaystyle: 2x + 2rr '= 0 , qquad}$ 2. příklad ${ displaystyle: y'-2cx = 0 .}$

Krok 2.

Nyní se předpokládá, že pro parametr lze vyřešit rovnici (0) ${ displaystyle c}$, což lze tedy vyloučit z rovnice (1). Jeden dostane diferenciální rovnici prvního řádu

(2) ${ displaystyle: y '= f (x, y), qquad}$ v 1. příkladu ${ displaystyle: y '= - { frac {x} {y}} , qquad}$ 2. příklad ${ displaystyle: y '= 2 { frac {y} {x}} ,}$

což je splněno danou tužkou křivek.

Krok 3.

Protože sklon ortogonální trajektorie v bodě ${ displaystyle (x, y)}$ je negativní multiplikativní inverzní hodnota sklonu dané křivky v tomto bodě splňuje ortogonální trajektorie diferenciální rovnici prvního řádu

(3) ${ displaystyle: y '= - { frac {1} {f (x, y)}} , qquad}$ v 1. příkladu ${ displaystyle: y '= y / x , qquad}$ 2. příklad ${ displaystyle: y '= - { frac {x} {2y}} .}$

Krok 4.

Tuto diferenciální rovnici lze (doufejme) vyřešit vhodnou metodou.
Pro oba příklady oddělení proměnných je vhodný. Řešení jsou:
v příkladu 1 řádky ${ displaystyle y = mx, m v mathbb {R}}$ a
v příkladu 2 elipsy ${ displaystyle x ^ {2} + 2y ^ {2} = d, d> 0 .}$

V polárních souřadnicích

Pokud je tužka křivek implicitně znázorněna v polární souřadnice podle

(0p) ${ displaystyle: F (r, varphi, c) = 0}$

jeden určuje, stejně jako kartézský případ, parametr bez diferenciální rovnice

(1p) ${ displaystyle: F_ {r} (r, varphi, c) + F _ { varphi} (r, varphi, c) ; varphi '= 0, qquad}$

(2p) ${ displaystyle: varphi '= f (r, varphi)}$

tužky. Diferenciální rovnice ortogonálních trajektorií je než (viz Redheffer & Port str. 65, Heuser, str. 120)

(3p) ${ displaystyle: varphi '= - { frac {1} {{ color {red} r ^ {2}} f (r, varphi)}} .}$

Ortogonální kardioidy

Příklad: Kardioidy:

(0p) ${ displaystyle: F (r, varphi, c) = r-c (1+ cos varphi) = 0, c> 0 . }$ (ve schématu: modrá)

(1p) ${ displaystyle: F_ {r} (r, varphi, c) + F _ { varphi} (r, varphi, c) ; varphi '= 1 + c sin varphi ; varphi' = 0, qquad}$

Odstranění ${ displaystyle c}$ získá diferenciální rovnici dané tužky:

(2p) ${ displaystyle: varphi '= - { frac {1+ cos varphi} {r sin varphi}}}$

Proto je diferenciální rovnice ortogonálních trajektorií:

(3p) ${ displaystyle: varphi '= { frac { sin varphi} {r (1+ cos varphi)}}}$

Po vyřešení této diferenciační rovnice oddělení proměnných jeden dostane

${ displaystyle r = d (1- cos varphi) , d> 0 ,}$

který popisuje tužku kardioidů (červená v diagramu), symetrickou k dané tužce.

Isogonal trajektorie

• Křivka, která protíná jakoukoli křivku dané tužky (rovinných) křivek o pevný úhel ${ displaystyle alpha}$ je nazýván izogonální trajektorie.

Mezi svahem ${ displaystyle eta '}$ izogonální trajektorie a sklonu ${ displaystyle '$ křivky tužky v bodě ${ displaystyle (x, y)}$ platí následující vztah:

${ displaystyle eta '= { frac {y' + tan ( alpha)} {1-y ' tan ( alpha)}} .}$

Tento vztah je způsoben vzorcem pro ${ displaystyle tan ( alpha + beta)}$. Pro ${ displaystyle alpha rightarrow 90 ^ { circ}}$ jeden dostane podmínku pro ortogonální trajektorie.

Pro určení izogonální dráhy je třeba upravit 3. krok výše uvedené instrukce:

3. krok (isog. Traj.)

Diferenciální rovnice izogonální trajektorie je:

• (3i) ${ displaystyle: y '= { frac {f (x, y) + tan ( alpha)} {1-f (x, y) ; tan ( alpha)}} .}$

Izogonální trajektorie soustředných kruhů pro ${ displaystyle alpha = 45 ^ { circ}}$

Pro 1. příklad (soustředné kruhy) a úhel ${ displaystyle alpha = 45 ^ { circ}}$ jeden dostane

(3i) ${ displaystyle: y '= { frac {-x / y + 1} {1 + x / y}} .}$

Jedná se o speciální druh diferenciální rovnice, kterou lze transformovat substitucí ${ displaystyle z = y / x}$ do diferenciální rovnice, kterou lze vyřešit oddělení proměnných. Po obrácení substituce získáme rovnici řešení:

${ displaystyle arctan { frac {y} {x}} + { frac {1} {2}} ln (x ^ {2} + y ^ {2}) = C .}$

Zavedení polárních souřadnic vede k jednoduché rovnici

${ displaystyle C- varphi = ln (r) ,}$

který popisuje logaritmické spirály (s. diagram).

Numerické metody

V případě, že diferenciální rovnici trajektorií nelze vyřešit teoretickými metodami, je třeba ji vyřešit numericky, například Metody Runge – Kutta.

Viz také

• Cassini ovál
• Konfokální kuželovité řezy
• Trajektorie
• Apollonian kruhy, dvojice rodin kruhů, které jsou navzájem kolmé

Reference

• A. Jeffrey: Pokročilá inženýrská matematika, Hartcourt / Academic Press, 2002, ISBN  0-12-382592-X, str. 233.
• S. B. Rao: Diferenciální rovnice University Press, 1996, ISBN  81-7371-023-6, str. 95.
• R. M. Redheffer, D. Port: Diferenciální rovnice: Teorie a aplikace, Jones & Bartlett, 1991, ISBN  0-86720-200-9, str. 63.
• H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg + Teubner, 2009, ISBN  978-3-8348-0705-2, str. 120.
• Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (2012), Obyčejné diferenciální rovnice „Dover Books on Mathematics, Courier Dover, str. 115, ISBN  9780486134642.

externí odkazy

• Zkoumání ortogonálních trajektorií - applet umožňující uživateli kreslit rodiny křivek a jejich ortogonální trajektorie.
• mathcurve: POLE LINES, ORTHOGONAL LINES, DOUBLE ORTHOGONAL SYSTEM