Cassini ovál - Cassini oval

A Cassini ovál je křivka kvartické roviny definován jako soubor (nebo místo ) bodů v letadlo tak, že součin vzdáleností ke dvěma pevným bodům je konstantní. To může být v kontrastu s elipsa, pro kterésoučet vzdálenosti je spíše konstantní než produkt. Oválky Cassini jsou zvláštním případem polynomiální lemniskáty když má použitý polynom stupeň 2.
Oválky Cassini jsou pojmenovány po astronomovi Giovanni Domenico Cassini který je studoval v roce 1680.[1] Cassini věřil, že Slunce cestovalo kolem Země na jednom z těchto oválů, přičemž Země byla v jednom ohnisku oválu.[Citace je zapotřebí ]Jiná jména zahrnují Kasinské ovály, Cassinian křivky a ovály Cassini.
Formální definice

- A Cassini ovál je množina bodů, která platí pro jakýkoli bod sady, produkt vzdáleností do dvou pevných bodů , je konstantní, obvykle označeno :
Stejně jako u elipsy, pevné body se nazývají ohniska oválu Cassini.
Rovnice
Pokud jsou ohniska (A, 0) a (-A, 0), pak je rovnice křivky
Po rozbalení se to stane
Ekvivalentní polární rovnice je
Tvar

Křivka závisí až do podobnosti na E = b/A. Když E <1, křivka se skládá ze dvou odpojených smyček, z nichž každá obsahuje fokus. Když E = 1, křivka je lemniscate z Bernoulli mající tvar osmičky do strany s a dvojitý bod (konkrétně a crunode ) v místě původu.[2][3] Když E > 1, křivka je jedna spojená smyčka obklopující obě ohniska. Má tvar arašídů a konvexní pro .[4] Omezující případ A → 0 (tedy E → ), přičemž v tomto případě se ložiska shodují, je a kruh.
Křivka vždy měla X-koncepty při ±C kde C2 = A2 + b2. Když E <1 existují dva další skutečné X-koncepty a kdy E > 1 existují dva skutečné y- koncepty, všechny ostatní X a y-koncepty jsou imaginární.[5]
Křivka má dvojité body na kruhové body v nekonečnu, jinými slovy křivka je dvoukruhový. Tyto body jsou biflecnody, což znamená, že křivka má v těchto bodech dvě odlišné tečny a každá větev křivky tam má inflexní bod. Z těchto informací a Plückerovy vzorce je možné odvodit čísla Plückera pro případ E ≠ 1: stupeň = 4, třída = 8, počet uzlů = 2, počet vrcholů = 0, počet dvojitých tečen = 8, počet inflexních bodů = 12, rod = 1.[6]
Tečny v kruhových bodech jsou dány vztahem X ± iy = ± a které mají skutečné průsečíky v (± a, 0). Ohniska jsou tedy ve skutečnosti ohniska ve smyslu definovaném Plückerem.[7] Kruhové body jsou inflexní body, takže se jedná o trojitá ohniska. Když E ≠ 1 křivka má třídu osm, což znamená, že by zde mělo být celkem osm skutečných ohnisek. Šest z nich bylo zahrnuto ve dvou trojitých ohniskách a zbývající dva jsou v
Další ohniska jsou tedy na X-osa, když má křivka dvě smyčky a na y-osa, když má křivka jednu smyčku.[8]
Cassini ovály a ortogonální trajektorie

Ortogonální trajektorie daného tužka křivek jsou křivky, které protínají všechny dané křivky kolmo. Například ortogonální trajektorie tužky konfokální elipsy jsou konfokální hyperboly se stejnými ložisky. Pro ovály Cassini máme:
- The ortogonální trajektorie Cassiniho křivek s ložisky jsou rovnostranné hyperboly obsahující se stejným středem jako ovály Cassini (viz obrázek).
Důkaz:
Pro jednoduchost si člověk vybere .
- Ovály Cassini mají rovnici
- The rovnostranné hyperboly (jejich asymptoty jsou obdélníkové) obsahující se středem lze popsat rovnicí
Tyto kuželovité úseky nemají společné žádné body s osou y a protínají osu x v . Jejich diskriminující ukazují, že tyto křivky jsou hyperboly. Podrobnější vyšetřování odhalí, že hyperboly jsou obdélníkové. Aby bylo možné získat normály, které jsou nezávislé na parametru následující implicitní reprezentace je pohodlnější:
To ukazuje jednoduchý výpočet pro všechny . Proto se Cassiniho ovály a hyperboly protínají kolmo.
Poznámka:
Obrázek zobrazující Cassiniho ovály a hyperboly vypadá jako ekvipotenciální křivky dvou stejných bodové poplatky společně s linkami generovaného elektrického pole. Ale pro potenciál dvou stejných bodových nábojů jeden má . (Vidět implicitní křivka.)
Příklady
Druhý lemniscate sady Mandelbrot je Cassiniho ovál definovaný rovnicí . Jeho ohniska jsou v bodech C na komplexní rovině, které mají oběžné dráhy, kde každá druhá hodnota je z se rovná nule, což jsou hodnoty 0 a -1.
Cassini ovály na tori

(torus vpravo je a torus vřetena )
Ovály Cassini vypadají jako rovinné části Tori, ale pouze když
- rovina řezu je rovnoběžná s osou torusu a její vzdálenost k ose se rovná poloměru generující kružnice (viz obrázek).
Průsečík torusu s rovnicí
a letadlo výnosy
Po částečném vyřešení první závorky dostaneme rovnici
což je rovnice Cassiniho oválu s parametry .
Zobecnění
Cassiniho metodu lze snadno zobecnit na křivky a povrchy s libovolnou sadou definujících bodů:
popisuje v rovinném případě a implicitní křivka a ve 3prostoru implicitní povrch.
křivka se 3 určujícími body
povrch se 6 určujícími body
Viz také
Reference
- Bibliografie
- J. Dennis Lawrence (1972). Katalog speciálních rovinných křivek. Dover Publications. str.5, 153–155. ISBN 0-486-60288-5.
- R. C. Yates (1952). Příručka o křivkách a jejich vlastnostech. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. str. 8 a násl.
- A. B. Basset (1901). Základní pojednání o kubických a kvartických křivkách. London: Deighton Bell and Co. pp.162 ff.
- Lawden, D. F., "Rodiny oválů a jejich ortogonální dráhy", Matematický věstník 83, listopad 1999, 410–420.