Orliczův prostor - Orlicz space - Wikipedia

v matematická analýza, a to zejména v nemovitý a harmonická analýza, an Orliczův prostor je typ funkčního prostoru, který zobecňuje L^str mezery. Jako L^str mezery, to jsou Banachovy prostory. Prostory jsou pojmenovány pro Władysław Orlicz, který je jako první definoval v roce 1932.

kromě L^str prostory, různé funkční prostory vznikající přirozeně při analýze jsou Orliczovy prostory. Jeden takový prostor L log⁺ L, který vzniká při studiu Hardy – Littlewood maximální funkce, se skládá z měřitelných funkcí F takový, že integrál

{ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} | f (x) | log ^ {+} | f (x) | , dx < infty.}

Zde se přihlaste⁺ je pozitivní část logaritmu. Ve třídě Orliczových prostorů je také mnoho z nejdůležitějších Sobolevovy prostory.

Terminologie

Tyto prostory drtivá většina matematiků a všechny monografie, které je studují, nazývají Orliczovy prostory, protože Władysław Orlicz byl první, kdo je představil, v roce 1932.^[1] Malá menšina matematiků, včetně Wojbora Woyczyńského, Edwin Hewitt a Vladimir Mazya - uveďte jméno Zygmunt Birnbaum také s odkazem na jeho dřívější společnou práci s Władysław Orlicz. V dokumentu Birnbaum – Orlicz však není Orliczův prostor zaveden, ani explicitně, ani implicitně, proto je tato konvence pojmenování nesprávná. Ze stejných důvodů byla tato konvence otevřeně kritizována dalším matematikem (a odborníkem na historii Orliczových prostorů), Lechem Maligrandou.^[2] Orlicz byl potvrzen jako osoba, která již zavedla Orliczovy prostory Stefan Banach ve své monografii z roku 1932.^[3]

Formální definice

Předpokládejme, že μ je a σ-konečná míra na setu Xa Φ: [0, ∞) → [0, ∞) je a Mladá funkce, tj. a konvexní funkce takhle

{ displaystyle { frac { Phi (x)} {x}} do infty, quad { text {as}} x do infty,}

{ displaystyle { frac { Phi (x)} {x}} až 0, quad { text {as}} x až 0,}

Nechat ${ displaystyle L _ { Phi} ^ { dagger}}$ být soubor měřitelných funkcí F : X → R takový, že integrál

{ displaystyle int _ {X} Phi (| f |) , d mu}

je konečný, kde, jako obvykle, funkce, které souhlasí téměř všude jsou identifikovány.

Tento nemusí být vektorový prostor (tj. může se stát, že nebude uzavřen pod skalárním násobením). The vektorový prostor funkcí překlenutých ${ displaystyle L _ { Phi} ^ { dagger}}$ je Orliczův prostor, označený ${ displaystyle L _ { Phi}}$ .

Definovat normu na ${ displaystyle L _ { Phi}}$ , nechť Ψ být Youngovým doplňkem Φ; to je

{ displaystyle Psi (x) = int _ {0} ^ {x} ( Phi ') ^ {- 1} (t) , dt.}

Všimněte si, že Youngova nerovnost pro výrobky drží:

{ displaystyle ab leq Phi (a) + Psi (b).}

Norma je pak dána

{ displaystyle | f | _ { Phi} = sup left { | fg | _ {1} mid int Psi circ | g | , d mu leq 1 vpravo }.}

Dále prostor ${ displaystyle L _ { Phi}}$ je přesně prostor měřitelných funkcí, pro které je tato norma konečná.

Ekvivalentní norma (Rao & Ren 1991, §3.3), nazývaná lucemburská norma, je definována na L_Φ podle

{ displaystyle | f | '_ { Phi} = inf vlevo {k v (0, infty) mid int _ {X} Phi (| f | / k) , d mu leq 1 right },}

a podobně L_Φ(μ) je prostor všech měřitelných funkcí, pro které je tato norma konečná.

Příklad

Zde je příklad, kde ${ displaystyle L _ { Phi} ^ { dagger}}$ není vektorový prostor a je přísně menší než ${ displaystyle L _ { Phi}}$ Předpokládejme, že X je interval otevřené jednotky (0,1), Φ (X) = exp (X) – 1 – X, a F(X) = log (X). Pak af je v prostoru ${ displaystyle L _ { Phi}}$ ale je pouze v sadě ${ displaystyle L _ { Phi} ^ { dagger}}$ pokud |A| < 1.

Vlastnosti

Orliczovy prostory se zobecňují L^str mezery (pro ${ displaystyle 1$ ) v tom smyslu, že pokud ${ displaystyle varphi (t) = t ^ {p}}$ , pak ${ displaystyle | u | _ {L ^ { varphi} (X)} = | u | _ {L ^ {p} (X)}}$ , tak ${ displaystyle L ^ { varphi} (X) = L ^ {p} (X)}$ .
Orliczův prostor ${ displaystyle L ^ { varphi} (X)}$ je Banachův prostor - a kompletní normovaný vektorový prostor.

Vztahy k Sobolevovým prostorům

Určitý Sobolevovy prostory jsou vloženy do prostorů Orlicz: pro ${ displaystyle X subseteq mathbb {R} ^ {n}}$ otevřeno a ohraničený s Hranice Lipschitz ${ displaystyle částečné X}$ ,

{ displaystyle W_ {0} ^ {1, p} (X) subseteq L ^ { varphi} (X)}

pro

{ displaystyle varphi (t): = exp left (| t | ^ {p / (p-1)} right) -1.}

Toto je analytický obsah Trudingerova nerovnost: Pro ${ displaystyle X subseteq mathbb {R} ^ {n}}$ otevřené a ohraničené hranicí Lipschitz ${ displaystyle částečné X}$ , zvažte prostor ${ displaystyle W_ {0} ^ {k, p} (X)}$ , ${ displaystyle kp = n}$ . Existují konstanty ${ displaystyle C_ {1}, C_ {2}> 0}$ takhle

{ displaystyle int _ {X} exp left ( left ({ frac {| u (x) |} {C_ {1} | mathrm {D} ^ {k} u | _ {L ^ {p} (X)}}} vpravo) ^ {p / (p-1)} vpravo) , mathrm {d} x leq C_ {2} | X |.}

Orliczova norma náhodné proměnné

Podobně orliczská norma a náhodná proměnná charakterizuje to takto:

{ displaystyle | X | _ { Psi} triangleq inf left {k in (0, infty) mid operatorname {E} [ Psi (| X | / k)] leq 1 vpravo }.}

Tato norma je homogenní a je definována pouze v případě, že tato sada není prázdná.

Když ${ displaystyle Psi (x) = x ^ {p}}$ , toto se shoduje s str-th moment náhodné proměnné. Další speciální případy v exponenciální rodině jsou brány s ohledem na funkce ${ displaystyle Psi _ {q} (x) = exp (x ^ {q}) - 1}$ (pro ${ displaystyle q geq 1}$ ). Náhodná proměnná s konečností ${ displaystyle Psi _ {2}}$ norma se říká „sub Gaussian "a náhodná proměnná s konečnými ${ displaystyle Psi _ {1}}$ Norma se říká „subexponenciální“. Opravdu, omezenost ${ displaystyle Psi _ {p}}$ Norma charakterizuje omezující chování funkce hustoty pravděpodobnosti:

{ displaystyle | X | _ { Psi _ {p}} = c rightarrow lim _ {x rightarrow infty} f_ {X} (x) exp (| x / c | ^ {p} ) = 0,}

takže ocas této funkce hustoty pravděpodobnosti se asymptoticky podobá a je výše ohraničen ${ displaystyle exp (- | x / c | ^ {p})}$ .

The ${ displaystyle Psi _ {1}}$ Norma může být snadno vypočítána z přísně monotónní funkce generující momenty. Například funkce generující moment a chi-kvadrát náhodná proměnná X s K stupni volnosti je ${ displaystyle M_ {X} (t) = (1-2 t) ^ {- K / 2}}$ , takže reciproční z ${ displaystyle Psi _ {1}}$ Norma souvisí s funkční inverzí funkce generující moment:

{ displaystyle | X | _ { Psi _ {1}} ^ {- 1} = M_ {X} ^ {- 1} (2) = (1-4 ^ {- 1 / K}) / 2 .}

Reference

^ Über eine gewisse Klasse von Räumen vom Typus B, Bull. Internat. Acad. Polon. Sci. Lett., Class. Sci. Matematika. Natur .: S '{e} r. A, Sci. Matematika. 1932: 8/9, 207-220.
^ Lech Maligranda, Osiągnięcia polskich matematyków w teorii interpolacji operatorów: 1910–1960, 2015, „Wiadomości matematyczne”, 51, 239-281 (v polštině).
^ Stefan Banach, 1932, Théorie des opérations linéaires, Warszawa (str.202)

Další čtení

Birnbaum, Z. W .; Orlicz, W. (1931), „Über die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander Konjugierten Potenzen“, Studia Mathematica, 3: 1–67 PDF.
Bund, Iracema (1975), „Birnbaum – Orliczovy prostory funkcí ve skupinách“, Pacific Mathematics Journal, 58 (2): 351–359.
Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl, Reálná a abstraktní analýza, Springer-Verlag.
Krasnosel'skii, M.A.; Rutickii, Ya.B. (1961), Konvexní funkce a prostory Orlicz, Groningen: P.Noordhoff Ltd
Rao, M.M .; Ren, Z.D. (1991), Teorie Orliczových prostorůČistá a aplikovaná matematika, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-8478-2.
Zygmund, Antoni, "Kapitola IV: Třídy funkcí a Fourierovy řady", Trigonometrická řada, svazek 1 (3. vyd.), Cambridge University Press.
Ledoux, Michel; Talagrand, Michel, Pravděpodobnost v Banachových prostorech, Springer-Verlag.

externí odkazy

„Orliczův prostor“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

[1] Über eine gewisse Klasse von Räumen vom Typus B, Bull. Internat. Acad. Polon. Sci. Lett., Class. Sci. Matematika. Natur .: S '{e} r. A, Sci. Matematika. 1932: 8/9, 207-220.

[2] Lech Maligranda, Osiągnięcia polskich matematyków w teorii interpolacji operatorów: 1910–1960, 2015, „Wiadomości matematyczne”, 51, 239-281 (v polštině).

[3] Stefan Banach, 1932, Théorie des opérations linéaires, Warszawa (str.202)

[1]

[2]

[3]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki