Hardy – Littlewood maximální funkce - Hardy–Littlewood maximal function

v matematika, Hardy – Littlewood maximální operátor M je významná nelineární operátor použito v skutečná analýza a harmonická analýza. Trvá to místně integrovatelný funkce F : R^d → C a vrátí jinou funkci Mf že v každém bodě X ∈ R^d, dává maximum průměrná hodnota že F může mít na koulích střed v tomto bodě. Přesněji,

${displaystyle Mf (x) = sup _ {r> 0} {frac {1} {| B (x, r) |}} int _ {B (x, r)} | f (y) |, dy}$

kde B(X, r) je koule o poloměru r se středem na Xa |E| označuje d-dimenzionální Lebesgueovo opatření z E ⊂ R^d.

Průměry jsou společné kontinuální v X a r, tedy maximální funkce Mf, že je nadřazenost nad r > 0, je měřitelný. To není zřejmé Mf je konečný téměř všude. Toto je důsledek Hardy – Littlewood maximální nerovnost.

Hardy – Littlewood maximální nerovnost

Tato věta o G. H. Hardy a J. E. Littlewood tvrdí, že M je ohraničený jako sublearní operátor z L^p(R^d) sama pro sebe p > 1. To znamená, že pokud F ∈ L^p(R^d) pak maximální funkce Mf je slabý L¹-ohraničený a Mf ∈ L^p(R^d). Před přesnějším uvedením věty si pro zjednodušení necháme {F > t} označit množinu {X | F(X) > t}. Nyní máme:

Věta (odhad slabého typu). Pro d ≥ 1 a F ∈ L¹(R^d), existuje konstanta C_d > 0 takové, že pro všechna λ> 0 máme:

${displaystyle left | {Mf> lambda} ight | <{frac {C_ {d}} {lambda}} Vert fVert _ {L ^ {1} (mathbf {R} ^ {d})}.}$

S Hardy-Littlewood maximální nerovností v ruce, následující silný typ odhad je okamžitým důsledkem Marcinkiewiczova interpolační věta:

Věta (odhad silného typu). Pro d ≥ 1, 1 < p ≤ ∞ a F ∈ L^p(R^d),

existuje konstanta C_{p, d} > 0 takových

${displaystyle Vert MfVert _ {L ^ {p} (mathbf {R} ^ {d})} leq C_ {p, d} Vert fVert _ {L ^ {p} (mathbf {R} ^ {d})}. }$

U silného typu odhadněte nejlepší hranice pro C_{p, d} nejsou známy.^[1] Avšak následně Elias M. Stein použil Calderónovu-Zygmundovu metodu rotace k prokázání následujícího:

Věta (nezávislost dimenze). Pro 1 <p ≤ ∞ lze vybrat C_{p, d} = C_p nezávislý na d.^[1][2]

Důkaz

I když existuje několik důkazů o této větě, běžný je uveden níže: Pro p = ∞, nerovnost je triviální (protože průměr funkce není větší než její základní supremum ). Pro 1 <p <∞, nejdříve použijeme následující verzi Vitalijní krycí lemma prokázat odhad slabého typu. (Důkaz lemmatu najdete v článku.)

Lemma. Nechat X být oddělitelný metrický prostor a ${displaystyle {mathcal {F}}}$ rodina otevřených koulí se zúženým průměrem. Pak ${displaystyle {mathcal {F}}}$ má početnou podrodinu ${displaystyle {mathcal {F}} '}$ skládající se z disjunktních koulí, které

${displaystyle igcup _ {Bin {mathcal {F}}} Bsubset igcup _ {Bin {mathcal {F '}}} 5B}$

kde 5B je B s 5násobným poloměrem.

Li Mf(X) > tpotom můžeme podle definice najít míč B_X se středem na X takhle

${displaystyle int _ {B_ {x}} | f | dy> t | B_ {x} |.}$

U lemmatu můžeme mezi takovými koulemi najít posloupnost nesouvislých koulí B_j tak, že spojení 5B_j obaly {Mf > t}.Následuje:

${displaystyle | {Mf> t} | leq 5 ^ {d} součet _ {j} | B_ {j} | leq {5 ^ {d} nad t} int | f | dy.}$

Tím je dokončen důkaz odhadu slabého typu. Dále z toho odvodíme L^p meze. Definovat b podle b(X) = F(X) pokud |F(X)| > t/ 2 a 0 jinak. Podle odhadu slabého typu aplikovaného na b, my máme:

${displaystyle | {Mf> t} | leq {2C over t} int _ {| f |> {frac {t} {2}}} | f | dx,}$

s C = 5^d. Pak

${displaystyle | Mf | _ {p} ^ {p} = int int _ {0} ^ {Mf (x)} pt ^ {p-1} dtdx = pint _ {0} ^ {infty} t ^ {p- 1} | {Mf> t} | dt}$

Podle výše uvedeného odhadu máme:

${displaystyle | Mf | _ {p} ^ {p} leq pint _ {0} ^ {infty} t ^ {p-1} vlevo ({2C nad t} int _ {| f |> {frac {t} { 2}}} | f | dxight) dt = 2Cpint _ {0} ^ {infty} int _ {| f |> {frac {t} {2}}} t ^ {p-2} | f | dxdt = C_ {p} | f | _ {p} ^ {p}}$

kde konstanta C_p záleží jen na p a d. Tím je doplněn důkaz věty.

Všimněte si, že konstanta ${displaystyle C = 5 ^ {d}}$ v důkazu lze vylepšit na ${displaystyle 3 ^ {d}}$ pomocí vnitřní pravidelnost z Lebesgueovo opatření a konečná verze Vitalijní krycí lemma. Viz Diskusní sekce níže pro více informací o optimalizaci konstanty.

Aplikace

Některé aplikace maximální nerovnosti Hardy – Littlewood zahrnují prokázání následujících výsledků:

• Lebesgueova věta o diferenciaci
• Rademacherova diferenciační věta
• Fatouova věta o netangenciální konvergenci.
• Věta o frakční integraci

Zde používáme standardní trik zahrnující maximální funkci, abychom poskytli rychlý důkaz Lebesgueovy věty o diferenciaci. (Ale pamatujte, že v důkazu maximální věty jsme použili Vitalijské krycí lemma.) Let F ∈ L¹(Rⁿ) a

${displaystyle Omega f (x) = limsup _ {r o 0} f_ {r} (x) -liminf _ {r o 0} f_ {r} (x)}$

kde

${displaystyle f_ {r} (x) = {frac {1} {| B (x, r) |}} int _ {B (x, r)} f (y) dy.}$

Píšeme F = h + G kde h je kontinuální a má kompaktní podporu a G ∈ L¹(Rⁿ) s normou, kterou lze libovolně zmenšit. Pak

${displaystyle Omega fleq Omega g + Omega h = Omega g}$

kontinuitou. Nyní, ΩG ≤ 2Mg a podle věty máme:

${displaystyle left | {Omega g> varepsilon} ight | leq {frac {2A} {varepsilon}} | g | _ {1}}$

Nyní to můžeme nechat ${displaystyle | g | _ {1} o 0}$ a uzavřeme ΩF = 0 téměř všude; to je ${displaystyle lim _ {r o 0} f_ {r} (x)}$ existuje téměř pro všechny X. Zbývá ukázat, že se limit skutečně rovná F(X). Ale je to snadné: je známo, že ${displaystyle | f_ {r} -f | _ {1} o 0}$ (aproximace identity ) a tedy existuje subsekvence ${displaystyle f_ {r_ {k}} o f}$ téměř všude. Jedinečností limitu F_r → F téměř všude.

Diskuse

Stále není známo, jaké jsou nejmenší konstanty C_{p, d} a C_d jsou ve výše uvedených nerovnostech. Výsledek však Elias Stein o sférických maximálních funkcích lze ukázat, že pro 1 <p <∞, můžeme odstranit závislost C_{p, d} na dimenzi, tj. C_{p, d} = C_p pro nějakou konstantu C_p > 0 pouze v závislosti na p. Není známo, zda existuje slabá vazba nezávislá na dimenzi.

Existuje několik běžných variant maximálního operátora Hardy-Littlewood, které nahrazují průměry přes centrované kuličky průměry přes různé rodiny sad. Například lze definovat necentrovaný HL maximální operátor (pomocí notace Stein-Shakarchi)

${displaystyle f ^ {*} (x) = sup _ {xin B_ {x}} {frac {1} {| B_ {x} |}} int _ {B_ {x}} | f (y) | dy}$

kde koule B_X jsou povinni pouze obsahovat x, místo aby byli vycentrováni na x. K dispozici je také dyadický HL maximální operátor

${displaystyle M_ {Delta} f (x) = sup _ {xin Q_ {x}} {frac {1} {| Q_ {x} |}} int _ {Q_ {x}} | f (y) | dy}$

kde Q_X rozsahy přes všechny dyadické kostky obsahující bod X. Oba tito operátoři splňují maximální nerovnost HL.

Reference

• John B. Garnett, Omezené analytické funkce. Springer-Verlag, 2006
• Antonios D. Melas, Nejlepší konstanta pro středovou maximální nerovnost Hardy – Littlewood, Annals of Mathematics, 157 (2003), 647–688
• Rami Shakarchi & Elias M. Stein, Princeton Přednášky v analýze III: Skutečná analýza. Princeton University Press, 2005
• Elias M. Stein, Maximální funkce: sférické prostředky, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 73 (1976), 2174–2175
• Elias M. Stein, Singulární integrály a vlastnosti odlišitelnosti funkcí. Princeton University Press, 1971
• Gerald Teschl, Témata v reálné a funkční analýze (poznámky z přednášky)