Věta o Michaelově výběru - Michael selection theorem

v funkční analýza, obor matematiky, Věta o Michaelově výběru je věta o výběru pojmenoval podle Ernest Michael. Ve své nejpopulárnější formě uvádí následující:^[1]

Nechat X být paracompact prostor a Y A Banachův prostor.

Nechat ${displaystyle Fcolon X o Y}$ být nižší polokontinuální mapa s více hodnotami s neprázdným konvexní Zavřeno hodnoty.

Pak existuje a kontinuální výběr ${displaystyle fcolon X o Y}$ z F.

Naopak, pokud existuje nižší polokontinuální multimapa z topologického prostoru X do Banachova prostoru, s neprázdnými konvexními uzavřenými hodnotami, připouští spojitost výběr, pak X je paracompact. To poskytuje další charakterizaci pro paracompactness.

Příklady

Funkce, která splňuje všechny požadavky

Funkce: ${displaystyle F (x) = [1-x / 2, ~ 1-x / 4]}$, znázorněná šedou oblastí na obrázku vpravo, je funkcí s více hodnotami od skutečného intervalu [0,1] k sobě samému. Splňuje všechny Michaelovy podmínky a skutečně má nepřetržitý výběr, například: ${displaystyle f (x) = 1-x / 2}$ nebo ${displaystyle f (x) = 1-3x / 8}$.

Funkce, která nesplňuje nižší polokontinuitu

Funkce

${displaystyle F (x) = {egin {cases} 3/4 & 0leq x <0,5 left [0,1ight] & x = 0,5 1/4 & 0,5$

je funkce s více hodnotami od skutečného intervalu [0,1] k sobě samému. Má neprázdné konvexní uzavřené hodnoty. Ale není nižší polokontinuální při 0,5. Ve skutečnosti neplatí Michaelova věta a funkce nemá spojitý výběr: jakýkoli výběr na 0,5 je nutně nespojitý.^[2]

Aplikace

Michaelova věta o výběru může být použita k prokázání, že diferenciální inkluze

${displaystyle {frac {dx} {dt}} (t) v F (t, x (t)), quad x (t_ {0}) = x_ {0}}$

má C¹ řešení, když F je nižší polokontinuální a F(t, X) je neprázdná uzavřená a konvexní množina pro všechny (t, X). Když F má jednu hodnotu, jedná se o klasiku Věta o Peanově existenci.

Zobecnění

Věta způsobená Deutschem a Kenderovem zevšeobecňuje větu o Michelově výběru na ekvivalenci týkající se přibližných výběrů k téměř nižší polokontinuita, kde ${displaystyle F}$ je řekl, aby byl téměř nižší hemicontinuous jestliže u každého ${displaystyle xin X}$, všechna sousedství ${displaystyle V}$ z ${displaystyle 0}$ existuje sousedství ${displaystyle U}$ z ${displaystyle x}$ takhle ${displaystyle cap _ {uin U} {F (u) + V} eq emptyset.}$

Přesně Deutsch – Kenderovova věta uvádí, že pokud ${displaystyle X}$ je paracompact, ${displaystyle Y}$ A normovaný vektorový prostor a ${displaystyle F (x)}$ je pro každou neprázdnou konvexní ${displaystyle xin X}$, pak ${displaystyle F}$ je téměř nižší polokontinuální kdyby a jen kdyby ${displaystyle F}$ má souvislý přibližný výběr, tedy pro každou čtvrť ${displaystyle V}$ z ${displaystyle 0}$ v ${displaystyle Y}$ existuje spojitá funkce ${displaystyle fcolon Xmapsto Y}$ takové, že pro každého ${displaystyle xin X}$, ${displaystyle f (x) v F (X) + V}$.^[3]

V poznámce Xu dokázal, že věta Deutsch – Kenderov je také platná, pokud ${displaystyle Y}$ je lokálně konvexní topologický vektorový prostor.^[4]

Viz také

• Zero-dimenzionální Michaelův teorém o výběru
• Věta o výběru

Reference

Další čtení

• Repovš, Dušan; Semenov, Pavel V. (2014). "Kontinuální výběr mapování s více hodnotami". In Hart, K. P .; van Mill, J .; Simon, P. (eds.). Nedávný pokrok v obecné topologii. III. Berlín: Springer. str. 711–749. arXiv:1401.2257. Bibcode:2014arXiv1401.2257R. ISBN  978-94-6239-023-2.
• Aubin, Jean-Pierre; Cellina, Arrigo (1984). Diferenciální inkluze, mapy s hodnotami a teorie životaschopnosti. Grundl. der Math. Wiss. 264. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13105-1.
• Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, H. (1990). Set-Valued Analysis. Basilej: Birkhäuser. ISBN  3-7643-3478-9.
• Deimling, Klaus (1992). Vícehodnotové diferenciální rovnice. Walter de Gruyter. ISBN  3-11-013212-5.
• Repovš, Dušan; Semenov, Pavel V. (1998). Kontinuální výběr mapování s více hodnotami. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-5277-7.
• Repovš, Dušan; Semenov, Pavel V. (2008). „Ernest Michael a teorie kontinuálního výběru“. Topologie a její aplikace. 155 (8): 755–763. arXiv:0803.4473. doi:10.1016 / j.topol.2006.06.011.
• Aliprantis, Charalambos D .; Border, Kim C. (2007). Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce (3. vyd.). Springer. ISBN  978-3-540-32696-0.
• Hu, S .; Papageorgiou, N. Příručka vícehodnotové analýzy. Sv. I. Kluwer. ISBN  0-7923-4682-3.