Harmonický konjugát - Harmonic conjugate

v matematika, funkce se skutečnou hodnotou ${ displaystyle u (x, y)}$ definované na připojené otevřené sadě ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {2}}$ říká se, že má konjugát (funkce) ${ displaystyle v (x, y)}$ právě tehdy, pokud jde o skutečnou a imaginární část a holomorfní funkce ${ displaystyle f (z)}$ komplexní proměnné ${ displaystyle z: = x + iy in Omega.}$ To znamená ${ displaystyle v}$ je konjugován s ${ displaystyle u}$ -li ${ displaystyle f (z): = u (x, y) + iv (x, y)}$ je holomorfní ${ displaystyle Omega.}$ Prvním důsledkem definice jsou oba harmonický funkce se skutečnou hodnotou ${ displaystyle Omega}$. Navíc konjugát ${ displaystyle u,}$ pokud existuje, je jedinečný až do aditivní konstanty. Taky, ${ displaystyle u}$ je konjugován s ${ displaystyle v}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle v}$ je konjugován s ${ displaystyle -u}$.

Popis

Ekvivalentně ${ displaystyle v}$ je konjugován s ${ displaystyle u}$ v ${ displaystyle Omega}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle v}$ uspokojit Cauchy – Riemannovy rovnice v ${ displaystyle Omega.}$ Okamžitým důsledkem druhé rovnocenné definice, pokud ${ displaystyle u}$ je zapnuta jakákoli harmonická funkce ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {2},}$ funkce ${ displaystyle u_ {y}}$ je konjugován s ${ displaystyle -u_ {x},}$ protože potom jsou Cauchy-Riemannovy rovnice spravedlivé ${ displaystyle Delta u = 0}$ a symetrii smíšených derivátů druhého řádu, ${ displaystyle u_ {xy} = u_ {yx}.}$ Proto harmonická funkce ${ displaystyle u}$ připouští konjugovanou harmonickou funkci právě tehdy, když holomorfní funkce ${ displaystyle g (z): = u_ {x} (x, y) -iu_ {y} (x, y)}$ má primitivní ${ displaystyle f (z)}$ v ${ displaystyle Omega,}$ v takovém případě konjugát o ${ displaystyle u}$ je samozřejmě ${ displaystyle mathrm {Im} f (x + iy).}$ Jakákoli harmonická funkce tedy vždy připouští konjugovanou funkci, kdykoli je její doménou jednoduše připojeno, a v každém případě připouští lokálně konjugát v kterémkoli bodě své domény.

Existuje operátor, který přijímá harmonickou funkci u v jednoduše připojeném regionu v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ na jeho harmonický konjugát proti (uvedení např. proti(X₀) = 0 na dané X₀ za účelem stanovení neurčitosti konjugátu až po konstanty). To je v aplikacích dobře známé jako (v podstatě) Hilbertova transformace; je to také základní příklad v matematická analýza, ve spojení s singulární integrální operátory. Konjugované harmonické funkce (a transformace mezi nimi) jsou také jedním z nejjednodušších příkladů a Bäcklundova transformace (dvě PDE a transformace týkající se jejich řešení), v tomto případě lineární; zajímavější jsou složitější transformace solitony a integrovatelné systémy.

Geometricky u a proti jsou příbuzní, že mají ortogonální trajektorie, od nuly základní holomorfní funkce; obrysy, na kterých u a proti jsou konstantní kříž správné úhly. V tomto kontextu, u + iv bude komplexní potenciál, kde u je potenciální funkce a proti je funkce streamu.

Příklady

Zvažte například funkci

${ displaystyle u (x, y) = e ^ {x} sin y.}$

Od té doby

${ displaystyle { částečné u nad částečné x} = e ^ {x} sin y, quad { částečné ^ {2} u nad částečné x ^ {2}} = e ^ {x} hřích y}$

a

${ displaystyle { částečné u nad částečné y} = e ^ {x} cos y, quad { částečné ^ {2} u nad částečné y ^ {2}} = - e ^ {x} sin y,}$

to uspokojuje

${ displaystyle Delta u = nabla ^ {2} u = 0}$

(${ displaystyle Delta}$ je Operátor Laplace ) a je tedy harmonický. Předpokládejme, že máme ${ displaystyle v (x, y)}$ tak, aby byly splněny Cauchy-Riemannovy rovnice:

${ displaystyle { částečné u nad částečné x} = { částečné v přes částečné y} = e ^ {x} sin y}$

a

${ displaystyle { částečné u nad částečné y} = - { částečné v přes částečné x} = e ^ {x} cos y.}$

Zjednodušení,

${ displaystyle { částečné v nad částečné y} = e ^ {x} sin y}$

a

${ displaystyle { částečné v nad částečné x} = - e ^ {x} cos y}$

který po vyřešení dává

${ displaystyle v = -e ^ {x} cos y + C.}$

Všimněte si, že pokud funkce související s u a proti byly zaměněny, funkce by nebyly harmonickými konjugáty, protože znaménko mínus v Cauchy-Riemannově rovnici činí vztah asymetrický.

The konformní mapování majetek analytické funkce (v bodech, kde derivace není nula) vede ke geometrické vlastnosti harmonických konjugátů. Je zřejmé, že harmonický konjugát X je ya řádky konstanty X a konstantní y jsou kolmé. Shoda to říká obrysy konstantní u(X,y) a proti(X,y) budou také kolmé tam, kde procházejí (od nuly F′(z)). To znamená, že proti je konkrétním řešením ortogonální trajektorie problém pro rodinu kontur daných u (není jediným řešením, přirozeně, protože můžeme brát i funkce proti): otázka, vracet se k matematice sedmnáctého století, najít křivky, které protínají danou rodinu neprotínajících se křivek v správné úhly.

Harmonický konjugát v geometrii

Vyskytuje se další výskyt výrazu harmonický konjugát v matematika a konkrétněji v projektivní geometrie. Dva body A a B se říká, že jsou harmonické konjugáty navzájem vzhledem k další dvojici bodů C, D pokud křížový poměr (abeceda) = –1.

Reference

• Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Složité proměnné a aplikace (6. vydání). New York: McGraw-Hill. p.61. ISBN  0-07-912147-0. Pokud jsou dvě dané funkce u a proti jsou harmonické v doméně D a jejich parciální derivace prvního řádu uspokojují Cauchy-Riemannovy rovnice (2) D, proti se říká, že je harmonický konjugát z u.

externí odkazy

• Harmonický poměr
• "Konjugovat harmonické funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]