Komplexní diferenciální forma - Complex differential form

v matematika, a komplexní diferenciální forma je diferenciální forma na potrubí (obvykle a komplexní potrubí ), které je povoleno mít komplex koeficienty.

Složité formy mají široké použití v diferenciální geometrie. U složitých potrubí jsou zásadní a slouží jako základ pro většinu algebraická geometrie, Kählerova geometrie, a Hodgeova teorie. Na nekomplexních potrubích také hrají roli při studiu téměř složité struktury, teorie rotory, a Struktury ČR.

Obvykle se uvažuje o složitých formách z důvodu žádoucího rozkladu, který tyto formy připouštějí. Na složitém potrubí, například na jakémkoli komplexu k-form lze jednoznačně rozložit na součet tzv (p,q)-formuláře: zhruba, klíny z p diferenciály holomorfních souřadnic s q diferenciály jejich komplexních konjugátů. Soubor (p,q) -forms se stává primitivním předmětem studia a určuje jemnější geometrickou strukturu na potrubí než k-formuláře. Dokonce i jemnější struktury existují, například v případech, kdy Hodgeova teorie platí.

Diferenciální formy na složitém potrubí

Předpokládejme to M je komplexní potrubí komplexní dimenze n. Pak je tu místní souřadnicový systém skládající se z n komplexní funkce z¹, ..., zⁿ takové, že přechody souřadnic z jednoho pole na druhý jsou holomorfní funkce těchto proměnných. Prostor komplexních forem nese bohatou strukturu, v zásadě závisí na skutečnosti, že tyto přechodové funkce jsou spíše holomorfní, než jen hladký.

Jednoformátové

Začínáme s případem jedné formy. Nejprve rozložte komplexní souřadnice na jejich skutečnou a imaginární část: z^j=X^j+iy^j pro každého j. Pronájem

${ displaystyle dz ^ {j} = dx ^ {j} + idy ^ {j}, quad d { bar {z}} ^ {j} = dx ^ {j} -idy ^ {j},}$

jeden vidí, že jakoukoli diferenciální formu se složitými koeficienty lze napsat jedinečně jako součet

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} left (f_ {j} dz ^ {j} + g_ {j} d { bar {z}} ^ {j} right).}$

Nechť Ω^1,0 být prostorem komplexních diferenciálních forem obsahujících pouze ${ displaystyle dz}$a Ω^0,1 být prostor formulářů obsahujících pouze ${ displaystyle d { bar {z}}}$je Jeden může ukázat, podle Cauchy – Riemannovy rovnice, že mezery Ω^1,0 a Ω^0,1 jsou stabilní při změnách holomorfních souřadnic. Jinými slovy, pokud se někdo rozhodne jinak w_i holomorfního souřadného systému, pak prvky Ω^1,0 přeměnit tenzoricky, stejně jako prvky Ω^0,1. Tedy mezery Ω^0,1 a Ω^1,0 určit komplex vektorové svazky na složitém potrubí.

Formy vyššího stupně

Klínový produkt komplexních diferenciálních forem je definován stejně jako u reálných forem. Nechat p a q být dvojicí nezáporných celých čísel ≤ n. Prostor Ω^{p, q} z (p,q) -formy je definována lineárními kombinacemi klínových produktů p prvky z Ω^1,0 a q prvky z Ω^0,1. Symbolicky,

${ displaystyle Omega ^ {p, q} = podpažba { Omega ^ {1,0} klín dotsb klín Omega ^ {1,0}} _ {p { text {krát}}} wedge underbrace { Omega ^ {0,1} wedge dotsb wedge Omega ^ {0,1}} _ {q { text {times}}}}$

kde jsou p faktory Ω^1,0 a q faktory Ω^0,1. Stejně jako u dvou prostorů 1-forem jsou tyto stabilní při holomorfních změnách souřadnic, a tak určují vektorové svazky.

Li E^k je prostorem všech složitých diferenciálních forem celkového stupně k, pak každý prvek E^k lze vyjádřit jedinečným způsobem jako lineární kombinaci prvků z prostorů Ω^{p, q} s p+q=k. Stručněji, existuje přímý součet rozklad

${ displaystyle E ^ {k} = Omega ^ {k, 0} oplus Omega ^ {k-1,1} oplus dotsb oplus Omega ^ {1, k-1} oplus Omega ^ {0, k} = bigoplus _ {p + q = k} Omega ^ {p, q}.}$

Protože tento přímý rozklad součtu je stabilní při změnách holomorfních souřadnic, určuje také rozklad vektorového svazku.

Zejména pro každého k a každý p a q s p+q=k, existuje kanonická projekce vektorových svazků

${ displaystyle pi ^ {p, q}: E ^ {k} rightarrow Omega ^ {p, q}.}$

Operátoři Dolbeault

Obvyklá vnější derivace definuje mapování řezů ${ displaystyle d: Omega ^ {r} až Omega ^ {r + 1}}$ přes

${ displaystyle d ( Omega ^ {p, q}) subseteq bigoplus _ {r + s = p + q + 1} Omega ^ {r, s}}$

Vnější derivát sám o sobě neodráží přísnější složitou strukturu potrubí.

Použitím d a projekce definované v předchozím pododdíle je možné definovat Operátoři Dolbeault:

${ displaystyle partial = pi ^ {p + 1, q} circ d: Omega ^ {p, q} rightarrow Omega ^ {p + 1, q}, quad { bar { částečné} } = pi ^ {p, q + 1} circ d: Omega ^ {p, q} rightarrow Omega ^ {p, q + 1}}$

Chcete-li popsat tyto operátory v místních souřadnicích, dovolte

${ displaystyle alpha = sum _ {| I | = p, | J | = q} f_ {IJ} , dz ^ {I} klín d { bar {z}} ^ {J} v Omega ^ {p, q}}$

kde Já a J jsou multiindexy. Pak

${ displaystyle částečné alpha = součet _ {| I |, | J |} součet _ { ell} { frac { částečné f_ {IJ}} { částečné z ^ { ell}}} , dz ^ { ell} klín dz ^ {I} klín d { bar {z}} ^ {J}}$

${ displaystyle { bar { částečné}} alfa = součet _ {| I |, | J |} součet _ { ell} { frac { částečné f_ {IJ}} { částečné { bar {z}} ^ { ell}}} d { bar {z}} ^ { ell} klín dz ^ {I} klín d { bar {z}} ^ {J}.}$

Následující vlastnosti jsou drženy:

${ displaystyle d = částečný + { bar { částečný}}}$

${ displaystyle částečné ^ {2} = { bar { částečné}} ^ {2} = částečné { bar { částečné}} + { bar { částečné}} částečné = 0.}$

Tyto operátory a jejich vlastnosti tvoří základ pro Dolbeaultova kohomologie a mnoho aspektů Hodgeova teorie.

Holomorfní formy

Pro každého p, a holomorfní p-formulář je holomorfní část svazku Ω^{p, 0}. V místních souřadnicích tedy holomorfní p-formu lze zapsat do formuláře

${ displaystyle alpha = sum _ {| I | = p} f_ {I} , dz ^ {I}}$

Kde ${ displaystyle f_ {I}}$ jsou holomorfní funkce. Rovněž (p, 0) -forma α je holomorfní právě tehdy

${ displaystyle { bar { částečné}} alpha = 0.}$

The snop holomorfní p-formy jsou často psány Ω^p, i když to může někdy vést ke zmatku, tolik autorů má tendenci používat alternativní notaci.

Viz také

• Dolbeault komplex
• Frölicherova spektrální sekvence
• Diferenciál prvního druhu

Reference

• P. Griffiths; J. Harris (1994). Principy algebraické geometrie. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. p. 23-25. ISBN  0-471-05059-8.
• Wells, R. O. (1973). Diferenciální analýza složitých potrubí. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90419-0.
• Voisin, Claire (2008). Hodgeova teorie a složitá algebraická geometrie I. Cambridge University Press. ISBN  0521718015.