Doména holomorphy - Domain of holomorphy

Sady v definici.

v matematika, v teorii funkcí několik složitých proměnných, a doména holomorfie je množina, která je maximální v tom smyslu, že existuje a holomorfní funkce na této sadě, která nemůže být prodloužena do větší sady.

Formálně, an otevřená sada ${ displaystyle Omega}$ v n-rozměrný komplexní prostor ${ displaystyle { mathbb {C}} ^ {n}}$ se nazývá a doména holomorfie pokud neexistují neprázdné otevřené sady ${ displaystyle U podmnožina Omega}$ a ${ displaystyle V podmnožina { mathbb {C}} ^ {n}}$ kde ${ displaystyle V}$ je připojeno, ${ displaystyle V not podmnožina Omega}$ a ${ displaystyle U podmnožina Omega čepice V}$ tak, že pro každého holomorfní funkce ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle Omega}$ existuje holomorfní funkce ${ displaystyle g}$ na ${ displaystyle V}$ s ${ displaystyle f = g}$ na ${ displaystyle U}$

V ${ displaystyle n = 1}$ v případě, že každá otevřená množina je doménou holomorfie: můžeme definovat holomorfní funkci s nulami hromadí se všude na hranice domény, která pak musí být a přirozená hranice pro doménu definice jeho vzájemnosti. Pro ${ displaystyle n geq 2}$ to již není pravda, jak vyplývá z Hartogsovo lemma.

Rovnocenné podmínky

Pro doménu ${ displaystyle Omega}$ následující podmínky jsou ekvivalentní:

${ displaystyle Omega}$ je doménou holomorfie
${ displaystyle Omega}$ je holomorfně konvexní
${ displaystyle Omega}$ je pseudokonvexní
${ displaystyle Omega}$ je Levi konvexní - pro každou sekvenci ${ displaystyle S_ {n} subseteq Omega}$ analytických kompaktních povrchů tak, že ${ displaystyle S_ {n} rightarrow S, částečný S_ {n} rightarrow Gamma}$ pro nějakou sadu ${ displaystyle Gamma}$ my máme ${ displaystyle S subseteq Omega}$ ( ${ displaystyle částečné Omega}$ nelze se jej „dotknout zevnitř“ posloupností analytických ploch)
${ displaystyle Omega}$ má místní majetek Levi - za každý bod ${ displaystyle x v částečné Omega}$ existuje sousedství ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle f}$ holomorfní na ${ displaystyle U cap Omega}$ takhle ${ displaystyle f}$ nelze rozšířit na žádné sousedství ${ displaystyle x}$

Dopady ${ displaystyle 1 Leftrightarrow 2,3 Leftrightarrow 4,1 Rightarrow 4,3 Rightarrow 5}$ jsou standardní výsledky (pro ${ displaystyle 1 Rightarrow 3}$ viz Dobře lemma ). Hlavní obtíž spočívá v dokazování ${ displaystyle 5 Rightarrow 1}$ , tj. konstrukce globální holomorfní funkce, která nepřipouští žádné rozšíření z nerozšiřitelných funkcí definovaných pouze lokálně. Tomu se říká Leviho problém (po E. E. Levi ) a byl nejprve vyřešen Kiyoshi Oka a poté Lars Hörmander pomocí metod z funkční analýzy a parciálních diferenciálních rovnic (důsledek ${ displaystyle { bar { částečné}}}$ -problém ).

Vlastnosti

Li ${ displaystyle Omega _ {1}, tečky, Omega _ {n}}$ jsou doménami holomorfie, pak jejich průnikem ${ displaystyle Omega = bigcap _ {j = 1} ^ {n} Omega _ {j}}$ je také doménou holomorfie.
Li ${ displaystyle Omega _ {1} subseteq Omega _ {2} subseteq dots}$ je vzestupná sekvence domén holomorfie, pak jejich spojení ${ displaystyle Omega = bigcup _ {n = 1} ^ { infty} Omega _ {n}}$ je také doménou holomorfie (viz Behnke-Steinova věta ).
Li ${ displaystyle Omega _ {1}}$ a ${ displaystyle Omega _ {2}}$ jsou tedy doménami holomorfie ${ displaystyle Omega _ {1} krát Omega _ {2}}$ je doménou holomorfie.
První Problém s bratrancem je vždy rozpustný v doméně holomorphy; to je také pravda, s dalšími topologickými předpoklady, pro druhou Problém s bratrancem.

Viz také

Reference

Steven G. Krantz. Teorie funkcí několika komplexních proměnných, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
Boris Vladimirovich Shabat, Úvod do komplexní analýzy, AMS, 1992

Tento článek včlení materiál z domény holomorphy dále PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.