Funkce zelených - Greens function - Wikipedia

v matematika, a Greenova funkce je impulsní odezva z nehomogenní lineární operátor diferenciálu definované v doméně se zadanými počátečními podmínkami nebo okrajovými podmínkami.

To znamená, že pokud L je tedy operátor lineárního diferenciálu

• Greenova funkce G je řešení rovnice LG = δ, kde δ je Diracova delta funkce;
• řešení problému počáteční hodnoty Ly = F je konvoluce  (G * F ), kde G je funkce Green.

Skrz princip superpozice, vzhledem k tomu, lineární obyčejná diferenciální rovnice (ÓDA), L(solution) = source, one can first resolve L(zelená) = δ_s, pro každého sa uvědomit si to, protože zdroj je součet delta funkce, řešením je také součet Greenových funkcí, podle linearity L.

Funkce Greena jsou pojmenovány po Britech matematik George Green, kteří tento koncept poprvé vyvinuli ve 30. letech 19. století. V moderní studii lineárního parciální diferenciální rovnice, Greenovy funkce jsou studovány převážně z hlediska zásadní řešení namísto.

Pod teorie mnoha těl, termín je také používán v fyzika, konkrétně v kvantová teorie pole, aerodynamika, aeroakustika, elektrodynamika, seismologie a statistická teorie pole, odkazovat na různé typy korelační funkce, dokonce i ty, které neodpovídají matematické definici. V kvantové teorii pole mají Greenovy funkce role propagátoři.

Definice a použití

Funkce Green, G(x, s), a operátor lineárního diferenciálu ${ displaystyle operatorname {L} = operatorname {L} (x)}$ jednající na distribuce přes podmnožinu Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, v určitém okamžiku s, je jakékoli řešení

${ displaystyle operatorname {L} , G (x, s) = delta (s-x) ,,}$

(1)

kde δ je Diracova delta funkce. Tuto vlastnost Greenovy funkce lze využít k řešení diferenciálních rovnic formy

${ displaystyle operatorname {L} , u (x) = f (x) ~.}$

(2)

Pokud jádro z L je netriviální, pak funkce Green není jedinečná. V praxi však nějaká kombinace symetrie, okrajové podmínky a / nebo jiná externě stanovená kritéria poskytnou jedinečnou Greenovu funkci. Greenovy funkce lze kategorizovat podle typu splněných okrajových podmínek, podle a Greenovo číslo funkce. Greenovy funkce obecně také jsou distribuce, ne nutně funkce skutečné proměnné.

Greenovy funkce jsou také užitečnými nástroji při řešení vlnové rovnice a difúzní rovnice. v kvantová mechanika, Greenova funkce Hamiltonian je klíčový koncept s důležitými vazbami na koncept hustota stavů.

Greenova funkce používaná ve fyzice je obvykle definována opačným znaménkem. To znamená

${ displaystyle operatorname {L} , G (x, s) = delta (x-s) ~.}$

Tato definice významně nemění žádnou z vlastností Greenovy funkce kvůli rovnoměrnosti delta funkce Dirac.

Pokud je operátor překlad neměnný, tedy kdy ${ displaystyle operatorname {L}}$ má konstantní koeficienty s ohledem na X, pak lze Greenovu funkci považovat za a konvoluční jádro, to znamená,

${ displaystyle G (x, s) = G (x-s) ~.}$

V tomto případě je funkce greenu stejná jako impulsní odezva lineární časově invariantní systémová teorie.

Motivace

Volně řečeno, pokud taková funkce G lze najít pro operátora ${ displaystyle operatorname {L}}$, pak, když vynásobíme rovnici (1) pro Greenovu funkci s F(s), a poté integrovat s ohledem na s, získáváme,

${ displaystyle int operatorname {L} , G (x, s) , f (s) , ds = int delta (xs) , f (s) , ds = f (x) ~ .}$

Protože operátor ${ displaystyle operatorname {L} = operatorname {L} (x)}$ je lineární a působí pouze na proměnnou X (a ne o proměnné integrace s), jeden může vzít operátora ${ displaystyle operatorname {L}}$ mimo integraci, výnos

${ displaystyle operatorname {L} , left ( int G (x, s) , f (s) , ds right) = f (x) ~.}$

Tohle znamená tamto

${ displaystyle u (x) = int G (x, s) , f (s) , ds}$

(3)

je řešení rovnice ${ displaystyle operatorname {L} u (x) = f (x) ~.}$

Lze tedy získat funkci u(X) prostřednictvím znalosti funkce Greena v rovnici (1) a zdrojového výrazu na pravé straně v rovnici (2). Tento proces závisí na linearitě operátora ${ displaystyle operatorname {L}}$.

Jinými slovy, řešení rovnice (2), u(X), lze určit integrací uvedenou v rovnici (3). Ačkoli F (X) je známo, tuto integraci nelze provést, pokud G je také známo. Problém nyní spočívá v nalezení funkce Greena G který splňuje rovnici (1). Z tohoto důvodu se funkce Zelené také někdy nazývá zásadní řešení přidružené k operátorovi ${ displaystyle operatorname {L}}$.

Ne každý operátor ${ displaystyle operatorname {L}}$ připouští funkci Greena. Greenovu funkci lze také považovat za a pravý inverzní z ${ displaystyle operatorname {L}}$. Kromě obtíží při hledání funkce Greena pro konkrétního operátora může být celkem obtížné vyhodnotit integrál v rovnici (3). Metoda však poskytuje teoreticky přesný výsledek.

To lze považovat za expanzi F podle a Diracova delta funkce základ (projektování F přes ${ displaystyle delta (x-s) ,}$; a superpozice řešení na každém z nich projekce. Taková integrální rovnice je známá jako a Fredholmova integrální rovnice, jehož studium představuje Fredholmova teorie.

Greenovy funkce pro řešení nehomogenních problémů okrajových hodnot

Primárním využitím Greenových funkcí v matematice je řešení nehomogenních problémy s hraniční hodnotou. V moderní teoretická fyzika, Greenovy funkce se také obvykle používají jako propagátoři v Feynmanovy diagramy; termín Greenova funkce se často dále používá pro všechny korelační funkce.

Rámec

Nechat ${ displaystyle operatorname {L}}$ být Sturm – Liouville operátor, lineární diferenciální operátor formuláře

${ displaystyle operatorname {L} = { dfrac {d} {dx}} doleva [p (x) { dfrac {d} {dx}} doprava] + q (x)}$

a nechte ${ displaystyle { vec { operatorname {D}}}}$ být vektorovou hodnotou okrajové podmínky operátor

${ displaystyle { vec { operatorname {D}}} , u = left [{ begin {matrix} alpha _ {1} u '(0) + beta _ {1} u (0) alpha _ {2} u '( ell) + beta _ {2} u ( ell) end {matrix}} right] ~.}$

Nechat ${ displaystyle f (x)}$ být spojitá funkce v ${ displaystyle [0, ell] ~.}$ Dále předpokládejme, že problém

${ displaystyle { begin {zarovnáno} operatorname {L} , u & = f { vec { operatorname {D}}} , u & = { vec {0}} end {zarovnáno}}}$

je „běžné“, tj. jediné řešení pro ${ displaystyle f (x) = 0}$ pro všechny X je ${ displaystyle u (x) = 0}$.^[A]

Teorém

Existuje jedno a jediné řešení ${ displaystyle u (x)}$ to uspokojuje

${ displaystyle { begin {zarovnáno} operatorname {L} , u & = f { vec { operatorname {D}}} , u & = { vec {0}} end {zarovnáno}}}$

a je to dáno

${ displaystyle u (x) = int _ {0} ^ { ell} f (s) , G (x, s) , ds ~,}$

kde ${ displaystyle G (x, s)}$ je funkce Greena splňující následující podmínky:

1. ${ displaystyle G (x, s)}$ je nepřetržitý v ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle s}$.
2. Pro ${ displaystyle x neq s ~}$, ${ displaystyle quad operatorname {L} , G (x, s) = 0 ~}$.
3. Pro ${ displaystyle s neq 0 ~}$, ${ displaystyle quad { vec { operatorname {D}}} , G (x, s) = { vec {0}} ~}$.
4. Derivát "skok": ${ displaystyle quad G '(s_ {0 +}, s) -G' (s_ {0 -}, s) = 1 / p (s) ~}$.
5. Symetrie: ${ displaystyle quad G (x, s) = G (s, x) ~}$.

Pokročilé a retardované Greenovy funkce

Někdy lze Greenovu funkci rozdělit na součet dvou funkcí. Jeden s proměnnou pozitivní (+) a druhý s proměnnou negativní (-). Jedná se o pokročilé a retardované Greenovy funkce, a když zkoumaná rovnice závisí na čase, je to jedna z částí kauzální a další anti-kauzální. U těchto problémů je obvykle důležitá kauzální část. Toto jsou často řešení nehomogenní elektromagnetická vlnová rovnice.

Hledání funkcí Greena

Jednotky

I když to jednoznačně neopravuje formu, jakou bude mít Greenova funkce, provedením a rozměrová analýza najít jednotky, které Greenova funkce musí mít, je důležitá kontrola zdravého rozumu u jakékoli Greenovy funkce nalezené jinými prostředky. Rychlé prozkoumání definující rovnice,

${ displaystyle LG (x, s) = delta (x-s),}$

ukazuje, že jednotky ${ displaystyle G}$ závisí nejen na jednotkách ${ displaystyle L}$ ale také na počtu a jednotkách prostoru, ve kterém jsou polohové vektory ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle s}$ jsou prvky. To vede ke vztahu:

${ displaystyle [[G]] = [[L]] ^ {- 1} [[ mathrm {d} x]] ^ {- 1},}$

kde ${ displaystyle [[G]]}$ je definován jako, "fyzické jednotky ${ displaystyle G}$", a ${ displaystyle mathrm {d} x}$ je objemový prvek prostoru (nebo vesmírný čas ).

Například pokud ${ displaystyle L = částečné _ {t} ^ {2}}$ a čas je potom jedinou proměnnou:

${ displaystyle [[L]] = [[ mathrm {time}]] ^ {- 2},}$

${ displaystyle [[ mathrm {d} x]] = [[ mathrm {čas}]], mathrm {a}}$

${ displaystyle [[G]] = [[ mathrm {time}]].}$

Li ${ displaystyle L = square = { frac {1} {c ^ {2}}} částečný _ {t} ^ {2} - nabla ^ {2}}$, operátor d'Alembert, a prostor má poté 3 rozměry:

${ displaystyle [[L]] = [[ mathrm {délka}]] ^ {- 2},}$

${ displaystyle [[ mathrm {d} x]] = [[ mathrm {čas}]] [[ mathrm {délka}]] ^ {3}, mathrm {a}}$

${ displaystyle [[G]] = [[ mathrm {time}]] ^ {- 1} [[ mathrm {length}]] ^ {- 1}.}$

Expanze vlastních čísel

Pokud operátor diferenciálu L připouští soubor vlastní vektory Ψ_n(X) (tj. sada funkcí Ψ_n a skaláry λ_n takhle LΨ_n = λ_n Ψ_n ), který je kompletní, pak je možné z těchto vlastních vektorů a vlastní čísla.

„Kompletní“ znamená, že sada funkcí { Ψ_n } splňuje následující vztah úplnosti,

${ displaystyle delta (x-x ') = součet _ {n = 0} ^ { infty} Psi _ {n} ^ { dagger} (x) Psi _ {n} (x'). }$

Pak platí

kde ${ displaystyle dýka}$ představuje komplexní konjugaci.

Použití operátora L na každou stranu této rovnice vznikne vztah úplnosti, který se předpokládal.

Obecná studie o funkci Green napsaná ve výše uvedené formě a její vztah k funkční prostory tvořený vlastními vektory, je známý jako Fredholmova teorie.

Existuje několik dalších metod pro nalezení funkcí Greena, včetně metoda obrázků, oddělení proměnných, a Laplaceovy transformace (Cole 2011).

Kombinace Greenových funkcí

Pokud je operátor diferenciálu ${ displaystyle L}$ lze započítat jako ${ displaystyle L = L_ {1} L_ {2}}$ pak Greenova funkce ${ displaystyle L}$ lze sestavit z funkcí Green pro ${ displaystyle L_ {1}}$ a ${ displaystyle L_ {2}}$:

${ displaystyle G (x, s) = int G_ {2} (x, s_ {1}) , G_ {1} (s_ {1}, s) , mathrm {d} s_ {1}. }$

Výše uvedená totožnost vyplývá okamžitě z převzetí ${ displaystyle G (x, s)}$ být představou inverze správného operátoru ${ displaystyle L}$, obdobně jako pro invertibilní lineární operátor ${ displaystyle C}$, definován ${ displaystyle C = (AB) ^ {- 1} = B ^ {- 1} A ^ {- 1}}$, je reprezentován svými maticovými prvky ${ displaystyle C_ {i, j}}$.

Následuje další identita pro diferenciální operátory, které jsou skalárními polynomy derivace, ${ displaystyle L = P_ {N} ( částečné _ {x})}$. The základní věta o algebře, v kombinaci s tím, že ${ displaystyle částečné _ {x}}$ dojíždí sama se sebou, zaručuje, že polynom lze zapracovat ${ displaystyle L}$ ve formě:

${ displaystyle L = prod _ {i = 1} ^ {N} ( částečné _ {x} -z_ {i}),}$

kde ${ displaystyle z_ {i}}$ jsou nuly ${ displaystyle P_ {N} (z)}$. Užívání Fourierova transformace z ${ displaystyle LG (x, s) = delta (x-s)}$ s ohledem na oba ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle s}$ dává:

${ displaystyle { widehat {G}} (k_ {x}, k_ {s}) = { frac { delta (k_ {x} -k_ {s})} { prod _ {i = 1} ^ {N} (ik_ {x} -z_ {i})}}.}$

Zlomek lze poté rozdělit na součet pomocí a Rozklad částečné frakce před Fourierovou transformací zpět na ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle s}$ prostor. Tento proces poskytuje identity, které souvisejí s integrály Greenových funkcí a jejich součty. Například pokud ${ displaystyle L = ( částečné _ {x} + gamma) ( částečné _ {x} + alfa) ^ {2}}$ pak jeden formulář pro jeho funkci Green je:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} G (x, s) & = { frac {1} {( alpha - gama) ^ {2}}} Theta (xs) operatorname {e} ^ {- gamma (xs)} - { frac {1} {( alpha - gamma) ^ {2}}} Theta (xs) operatorname {e} ^ {- alpha (xs)} + { frac {1} { gamma - alpha}} Theta (xs) , (xs) operatorname {e} ^ {- alpha (xs)} [5pt] & = int Theta (x-s_ {1}) (x-s_ {1}) operatorname {e} ^ {- alpha (x-s_ {1})} Theta (s_ {1} -s) operatorname {e} ^ {- gamma (s_ {1} -s)} , mathrm {d} s_ {1}. end {zarovnáno}}}$

I když je uvedený příklad analyticky použitelný, ilustruje proces, který funguje, když integrál není triviální (například když ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ je operátor v polynomu).

Tabulka Greenových funkcí

Následující tabulka poskytuje přehled funkcí Greenových často se objevujících diferenciálních operátorů, kde ${ displaystyle textstyle r = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$, ${ displaystyle textstyle rho = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$, ${ displaystyle textstyle Theta (t)}$ je Funkce Heaviside step, ${ displaystyle textstyle J _ { nu} (z)}$ je Besselova funkce, ${ displaystyle textstyle I _ { nu} (z)}$ je upravená Besselova funkce prvního druhu, a ${ displaystyle textstyle K _ { nu} (z)}$ je upravená Besselova funkce druhého druhu.^[1] Kde čas (t) se objeví v prvním sloupci, je uvedena pokročilá (kauzální) Greenova funkce.

Diferenciální operátor L	Greenova funkce G	Příklad aplikace
${ displaystyle částečné _ {t} ^ {n + 1}}$	${ displaystyle { frac {t ^ {n}} {n!}} Theta (t)}$
${ displaystyle částečné _ {t} + gamma}$	${ displaystyle Theta (t) mathrm {e} ^ {- gama t}}$
${ displaystyle left ( partial _ {t} + gamma right) ^ {2}}$	${ displaystyle Theta (t) t mathrm {e} ^ {- gama t}}$
${ displaystyle částečné _ {t} ^ {2} +2 gamma částečné _ {t} + omega _ {0} ^ {2}}$	${ displaystyle Theta (t) mathrm {e} ^ {- gamma t} ~ { frac { sin ( omega t)} { omega}}}$ s ${ displaystyle omega = { sqrt { omega _ {0} ^ {2} - gamma ^ {2}}}}$	1D tlumený harmonický oscilátor
2D Laplaceův operátor ${ displaystyle Delta _ { text {2D}} = částečné _ {x} ^ {2} + částečné _ {y} ^ {2}}$	${ displaystyle { frac {1} {2 pi}} ln rho}$ s ${ displaystyle rho = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$	2D Poissonova rovnice
Operátor 3D Laplace ${ displaystyle Delta _ { text {3D}} = částečné _ {x} ^ {2} + částečné _ {y} ^ {2} + částečné _ {z} ^ {2}}$	${ displaystyle { frac {-1} {4 pi r}}}$ s ${ displaystyle r = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$	Poissonova rovnice
Provozovatel Helmholtz ${ displaystyle Delta _ { text {3D}} + k ^ {2}}$	${ displaystyle { frac {- mathrm {e} ^ {- ikr}} {4 pi r}} = i { sqrt { frac {k} {32 pi r}}}}$${ displaystyle H_ {1/2} ^ {(2)} (kr)}$${ displaystyle = i { frac {k} {4 pi}} ,}$${ displaystyle h_ {0} ^ {(2)} (kr)}$	stacionární 3D Schrödingerova rovnice pro volná částice
${ displaystyle Delta -k ^ {2}}$ v ${ displaystyle n}$ rozměry	${ displaystyle - (2 pi) ^ {- n / 2} left ({ frac {k} {r}} right) ^ {n / 2-1} K_ {n / 2-1} (kr )}$	Yukawa potenciál, Feynmanův propagátor
${ displaystyle částečné _ {t} ^ {2} -c ^ {2} částečné _ {x} ^ {2}}$	${ displaystyle { frac {1} {2c}} Theta (t- | x / c |)}$	1D vlnová rovnice
${ displaystyle částečný _ {t} ^ {2} -c ^ {2} , Delta _ { text {2D}}}$	${ displaystyle { frac {1} {2 pi c { sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - rho ^ {2}}}}} Theta (t- rho / c)}$	2D vlnová rovnice
D'Alembertův operátor ${ displaystyle square = { frac {1} {c ^ {2}}} částečný _ {t} ^ {2} - Delta _ { text {3D}}}$	${ displaystyle { frac { delta (t - { frac {r} {c}})} {4 pi r}}}$	3D vlnová rovnice
${ displaystyle částečné _ {t} -k částečné _ {x} ^ {2}}$	${ displaystyle Theta (t) vlevo ({ frac {1} {4 pi kt}} vpravo) ^ {1/2} mathrm {e} ^ {- x ^ {2} / 4kt}}$	1D difúze
${ displaystyle částečné _ {t} -k , Delta _ { text {2D}}}$	${ displaystyle Theta (t) vlevo ({ frac {1} {4 pi kt}} vpravo) mathrm {e} ^ {- rho ^ {2} / 4kt}}$	2D difúze
${ displaystyle částečné _ {t} -k , Delta _ { text {3D}}}$	${ displaystyle Theta (t) vlevo ({ frac {1} {4 pi kt}} vpravo) ^ {3/2} mathrm {e} ^ {- r ^ {2} / 4kt}}$	3D difúze
${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} částečné _ {t} ^ {2} - částečné _ {x} ^ {2} + mu ^ {2}}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} doleva [ doleva (1- sin { mu ct} doprava) ( delta (ct-x) + delta (ct + x)) + mu Theta (ct- | x |) J_ {0} ( mu u) right], , u = { sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2}}}}$	1D Klein-Gordonova rovnice
${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} částečný _ {t} ^ {2} - Delta _ { text {2D}} + mu ^ {2}}$	${ displaystyle { frac {1} {4 pi}} vlevo [(1+ cos ( mu ct)) { frac { delta (ct- rho)} { rho}} + mu ^ {2} Theta (ct- rho) operatorname {sinc} ( mu u) right], , u = { sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - rho ^ {2 }}}}$	2D Klein-Gordonova rovnice
${ displaystyle square + mu ^ {2}}$	${ displaystyle { frac {1} {4 pi}} vlevo [{ frac { delta vlevo (t - { frac {r} {c}} vpravo)} {r}} + mu c Theta (ct-r) { frac {J_ {1} left ( mu u right)} {u}} right], , u = { sqrt {c ^ {2} t ^ { 2} -r ^ {2}}}}$	3D Klein-Gordonova rovnice
${ displaystyle částečné _ {t} ^ {2} +2 gamma částečné _ {t} -c ^ {2} částečné _ {x} ^ {2}}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} e ^ {- gamma t} left [ delta (ct-x) + delta (ct + x) + theta (ct- | x |) left ({ frac { gamma} {c}} I_ {0} left ({ frac { gamma u} {c}} right) + { frac { gamma t} {u}} I_ { 1} left ({ frac { gamma u} {c}} right) right) right], , u = { sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2 }}}}$	telegrafní rovnice
${ displaystyle částečné _ {t} ^ {2} +2 gamma částečné _ {t} -c ^ {2} , Delta _ { text {2D}}}$	${ displaystyle { frac {e ^ {- gamma t}} {4 pi}} left [(1 + e ^ {- gamma t} +3 gamma t) { frac { delta (ct - rho)} { rho}} + Theta (ct- rho) left ({ frac { gamma sinh left ({ frac { gamma u} {c}} right)} { cu}} + { frac {3 gamma t cosh left ({ frac { gamma u} {c}} right)} {u ^ {2}}} - { frac {3ct sinh left ({ frac { gamma u} {c}} right)} {u ^ {3}}} right) right], , u = { sqrt {c ^ {2} t ^ {2 } - rho ^ {2}}}}$	2D relativistické vedení tepla
${ displaystyle částečné _ {t} ^ {2} +2 gamma částečné _ {t} -c ^ {2} , Delta _ { text {3D}}}$	${ displaystyle { frac {e ^ {- gamma t}} {20 pi}} left [ left (8-3e ^ {- gamma t} +2 gamma t + 4 gamma ^ {2 } t ^ {2} right) { frac { delta (ct-r)} {r ^ {2}}} + { frac { gamma ^ {2}} {c}} Theta (ct- r) left ({ frac {1} {cu}} I_ {1} left ({ frac { gamma u} {c}} right) + { frac {4t} {u ^ {2} }} I_ {2} left ({ frac { gamma u} {c}} right) right) right], , u = { sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - r ^ {2}}}}$	3D relativistické vedení tepla

Greenovy funkce pro Laplacian

Greenovy funkce pro lineární diferenciální operátory zahrnující Laplacian lze snadno použít pomocí druhého z Greenovy identity.

Chcete-li odvodit Greenovu větu, začněte s věta o divergenci (jinak známé jako Gaussova věta ),

${ displaystyle int _ {V} nabla cdot { vec {A}} dV = int _ {S} { vec {A}} cdot d { widehat { sigma}} ~.}$

Nechat ${ displaystyle { vec {A}} = varphi , nabla psi - psi , nabla varphi}$ a nahradit Gaussovým zákonem.

Vypočítat ${ displaystyle nabla cdot { vec {A}}}$ a použít pravidlo produktu pro operátora,,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} nabla cdot { vec {A}} & = nabla cdot ( varphi , nabla psi ; - ; psi , nabla varphi) & = ( nabla varphi) cdot ( nabla psi) ; + ; varphi , nabla ^ {2} psi ; - ; ( nabla varphi) cdot ( nabla psi) ; - ; psi nabla ^ {2} varphi & = varphi , nabla ^ {2} psi ; - ; psi , nabla ^ {2} varphi. end {zarovnáno}}}$

Zapojením do věty o divergenci vznikne Greenova věta,

${ displaystyle int _ {V} ( varphi , nabla ^ {2} psi - psi , nabla ^ {2} varphi) , dV = int _ {S} ( varphi , nabla psi - psi nabla , varphi) cdot d { widehat { sigma}}.}$

Předpokládejme, že operátor lineárního diferenciálu L je Laplacian, ∇², a že existuje Greenova funkce G pro Laplaciany. Definující vlastnost funkce Greena stále platí,

${ displaystyle LG (x, x ') = nabla ^ {2} G (x, x') = delta (x-x ').}$

Nechat ${ displaystyle psi = G}$ v Greenově druhé identitě, viz Greenovy identity. Pak,

${ displaystyle int _ {V} vlevo [ varphi (x ') delta (x-x') - G (x, x ') , { nabla'} ^ {2} , varphi ( x ') right] d ^ {3} x' = int _ {S} left [ varphi (x ') , { nabla'} G (x, x ') - G (x, x ') , { nabla'} varphi (x ') right] cdot d { widehat { sigma}}'.}$

Pomocí tohoto výrazu je možné vyřešit Laplaceova rovnice ∇²φ(X) = 0 nebo Poissonova rovnice ∇²φ(X) = −ρ(X), s výhradou buď Neumann nebo Dirichlet okrajové podmínky. Jinými slovy, můžeme vyřešit pro φ(X) všude uvnitř svazku, kde (1) je hodnota φ(X) je uveden na ohraničujícím povrchu objemu (Dirichletovy okrajové podmínky), nebo (2) normální derivace φ(X) je uveden na ohraničující ploše (okrajové podmínky Neumanna).

Předpokládejme, že problém je vyřešit φ(X) uvnitř regionu. Pak integrál

${ displaystyle int limity _ {V} varphi (x ') delta (x-x') , d ^ {3} x '}$

redukuje na jednoduše φ(X) vzhledem k určující vlastnosti Diracova delta funkce a máme

${ displaystyle varphi (x) = - int _ {V} G (x, x ') rho (x') d ^ {3} x '+ int _ {S} doleva [ varphi ( x ') , nabla' G (x, x ') - G (x, x') , nabla ' varphi (x') doprava] cdot d { widehat { sigma}} '. }$

Tato forma vyjadřuje známou vlastnost harmonické funkce, že pokud je hodnota nebo normální derivace známa na ohraničující ploše, pak je hodnota funkce uvnitř objemu známá všude.

v elektrostatika, φ(X) je interpretován jako elektrický potenciál, ρ(X) tak jako elektrický náboj hustota a normální derivát ${ displaystyle nabla varphi (x ') cdot d { widehat { sigma}}'}}$ jako normální složka elektrického pole.

Pokud je problém vyřešit problém s hraniční hodnotou Dirichlet, měla by být zvolena Greenova funkce tak, že G(X,X′) Zmizí, když buď X nebo X′ Je na ohraničující ploše. Tedy pouze jeden ze dvou termínů v EU povrchový integrál Zůstává. Pokud je problémem vyřešit problém s hraniční hodnotou Neumanna, zvolí se Greenova funkce tak, že její normální derivace zmizí na ohraničující ploše, což se zdá být nejlogičtější volbou. (Viz Jackson J.D. klasická elektrodynamika, strana 39). Aplikace Gaussovy věty na diferenciální rovnici definující Greenovu funkci se však získá

${ displaystyle int _ {S} nabla 'G (x, x') cdot d { widehat { sigma}} '= int _ {V} nabla' ^ {2} G (x, x ') d ^ {3} x' = int _ {V} delta (x-x ') d ^ {3} x' = 1 ~,}$

což znamená normální derivaci G(X,X′) Nemůže zmizet na povrchu, protože se musí integrovat do 1 na povrchu. (Opět viz Jackson J.D. klasická elektrodynamika, strana 39 pro tento a následující argument).

Nejjednodušší forma, kterou může mít normální derivace, je konstanta, konkrétně 1 /S, kde S je povrchová plocha povrchu. Povrchový člen v řešení se stává

${ displaystyle int _ {S} varphi (x ') , nabla' G (x, x ') cdot d { widehat { sigma}}' = langle varphi rangle _ {S} }$

kde ${ displaystyle langle varphi rangle _ {S}}$ je průměrná hodnota potenciálu na povrchu. Toto číslo není obecně známé, ale je často nedůležité, protože cílem je často získat elektrické pole dané spíše gradientem potenciálu než samotným potenciálem.

Bez okrajových podmínek je Greenova funkce pro Laplacian (Greenova funkce pro Laplacovu rovnici se třemi proměnnými ) je

${ displaystyle G (x, x ') = - { dfrac {1} {4 pi | x-x' |}}.}$

Předpokládejme, že ohraničující povrch zhasne do nekonečna a zapojením tohoto výrazu pro funkci Green nakonec získá standardní výraz pro elektrický potenciál, pokud jde o hustotu elektrického náboje jako

Příklad

Příklad. Najděte funkci Zelená pro následující problém, jehož Greenovo číslo funkce je X11:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Lu & = u '' + k ^ {2} u = f (x) u (0) & = 0, quad u left ({ tfrac { pi} { 2k}} vpravo) = 0. End {zarovnáno}}}$

První krok: Greenova funkce pro lineárního operátora je definována jako řešení

${ displaystyle g '' (x, s) + k ^ {2} g (x, s) = delta (x-s).}$

Li ${ displaystyle x neq s}$, pak funkce delta dává nulu a obecné řešení je

${ displaystyle g (x, s) = c_ {1} cos kx + c_ {2} sin kx.}$

Pro ${ displaystyle x$, okrajová podmínka v ${ displaystyle x = 0}$ naznačuje

${ displaystyle g (0, s) = c_ {1} cdot 1 + c_ {2} cdot 0 = 0, quad c_ {1} = 0}$

-li ${ displaystyle x$ a ${ displaystyle s neq { tfrac { pi} {2k}}}$.

Pro ${ displaystyle x> s}$, okrajová podmínka v ${ displaystyle x = { tfrac { pi} {2k}}}$ naznačuje

${ displaystyle g left ({ tfrac { pi} {2k}}, s right) = c_ {3} cdot 0 + c_ {4} cdot 1 = 0, quad c_ {4} = 0 }$

Rovnice ${ displaystyle g (0, s) = 0}$ je z podobných důvodů přeskočen.

Souhrn dosavadních výsledků:

${ displaystyle g (x, s) = { begin {cases} c_ {2} sin kx, & { text {for}} x$

Druhý krok: Dalším úkolem je určit ${ displaystyle c_ {2}}$ a ${ displaystyle c_ {3}}$.

Zajištění kontinuity funkce Green v ${ displaystyle x = s}$ naznačuje

${ displaystyle c_ {2} sin ks = c_ {3} cos ks}$

Lze zajistit správnou diskontinuitu v první derivaci integrací definující diferenciální rovnice z ${ displaystyle x = s- varepsilon}$ na ${ displaystyle x = s + varepsilon}$ a brát limit jako ${ displaystyle varepsilon}$ jde na nulu:

${ displaystyle c_ {3} cdot (-k sin ks) -c_ {2} cdot (k cos ks) = 1}$

Lze vyřešit dvě rovnice (ne) spojitosti ${ displaystyle c_ {2}}$ a ${ displaystyle c_ {3}}$ získat

${ displaystyle c_ {2} = - { frac { cos ks} {k}} quad; quad c_ {3} = - { frac { sin ks} {k}}}$

Greenova funkce pro tento problém tedy je:

${ displaystyle g (x, s) = { begin {cases} - { frac { cos ks} {k}} sin kx, & x$

Další příklady

• Nechat n = 1 a nechte podmnožinu celé ℝ. Nechat L být ${ displaystyle mathrm {d} / mathrm {d} x}$. Poté Funkce Heaviside step H(X−X₀) je Greenova funkce L na X₀.
• Nechat n = 2 a nechť podmnožina bude čtvrtinová rovina {(X, y) : X, y ≥ 0} a L být Laplacian. Předpokládejme také a Dirichletova okrajová podmínka je uložen v X = 0 a Neumannova okrajová podmínka je uložen v y = 0. Pak je funkce X10Y20 Green

${ displaystyle { begin {aligned} G (x, y, x_ {0}, y_ {0}) = { dfrac {1} {2 pi}} & left [ ln { sqrt {(x -x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2}}} - ln { sqrt {(x + x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ { 0}) ^ {2}}} vpravo. [5 bodů] & vlevo. {} + Ln { sqrt {(x-x_ {0}) ^ {2} + (y + y_ {0} ) ^ {2}}} - ln { sqrt {(x + x_ {0}) ^ {2} + (y + y_ {0}) ^ {2}}} , vpravo]. End { zarovnaný}}}$

• Nechat ${ displaystyle a$a všechny tři jsou prvky reálných čísel. Pak pro jakoukoli funkci od reálných k reálným, ${ displaystyle f (x)}$, s ${ displaystyle n}$^th derivace, která je integrovatelná v daném intervalu ${ displaystyle [a, b]}$:

${ displaystyle { begin {aligned} f (x) & = sum _ {m = 0} ^ {n-1} { frac {(xa) ^ {m}} {m!}} left [{ frac { mathrm {d} ^ {m} f} { mathrm {d} x ^ {m}}} vpravo] _ {x = a} + int _ {a} ^ {b} vlevo [ { frac {(xs) ^ {n-1}} {(n-1)!}} Theta (xs) right] left [{ frac { mathrm {d} ^ {n} f} { mathrm {d} x ^ {n}}} right] _ {x = s} mathrm {d} s end {zarovnáno}} ~.}$

Greenova funkce ve výše uvedené rovnici, ${ displaystyle G (x, s) = { frac {(x-s) ^ {n-1}} {(n-1)!}} Theta (x-s)}$, není jedinečný. Jak je upravena rovnice, pokud ${ displaystyle g (x-s)}$ je přidán do ${ displaystyle G (x, s)}$, kde ${ displaystyle g (x)}$ splňuje ${ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {n} g} { mathrm {d} x ^ {n}}} = 0}$ pro všechny ${ displaystyle x v [a, b]}$ (například, ${ displaystyle g (x) = - x / 2}$ s ${ displaystyle n = 2}$)? Rovněž porovnejte výše uvedenou rovnici s formou a Taylor série se středem na ${ displaystyle x = a}$.

Viz také

Poznámky pod čarou

Reference

externí odkazy

• "Zelená funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Greenova funkce“. MathWorld.
• Greenova funkce pro operátora diferenciálu na PlanetMath.
• Greenova funkce na PlanetMath.
• Zelené funkce a konformní mapování na PlanetMath.
• Úvod do Keldyshovy nerovnovážné zelené funkční techniky A. P. Jauho
• Greenova knihovna funkcí
• Výukový program o Greenových funkcích
• Metoda hraničních prvků (pro představu o tom, jak lze Greenovy funkce použít s metodou hraničních prvků pro numerické řešení potenciálních problémů)
• Na Citizendium
• Video přednáška MIT o Greenově funkci
• Bowley, Rogere. „George Green & Green's Functions“. Šedesát symbolů. Brady Haran pro University of Nottingham.