Parametrix - Parametrix
v matematika, a zejména oblast parciální diferenciální rovnice (PDE), a parametrix je přiblížení k a zásadní řešení PDE a je v podstatě přibližná inverzní k diferenciálnímu operátoru.
Sestavení parametrické proměnné pro operátora diferenciálu je často snazší než základní řešení a pro mnoho účelů je téměř stejně dobré. Někdy je možné postavit základní řešení z parametrixu jeho iterativním vylepšením.
Přehled a neformální definice
Je užitečné přezkoumat, jaké zásadní řešení pro a operátor diferenciálu P(D) s konstantními koeficienty je: je to rozdělení u na ℝn takhle
v slabý smysl, kde δ je Diracova delta distribuce.
Podobným způsobem, a parametrix pro operátor diferenciálního koeficientu proměnného koeficientu P(xD) je distribuce u takhle
kde ω je nějaký C ∞ funkce s kompaktní podporou.
Parametr je užitečný koncept při studiu eliptické diferenciální operátory a obecněji z hypoelliptický pseudodiferenciální operátory s variabilním koeficientem, protože pro takové operátory nad příslušnými doménami lze ukázat, že existuje parametrický parametr, lze jej poněkud snadno sestavit[1] a být plynulá funkce daleko od původu.[2]
Po zjištění analytického vyjádření parametrixu je možné vypočítat řešení přidruženého celkem obecného eliptická parciální diferenciální rovnice řešením přidruženého Fredholmova integrální rovnice: také samotná struktura parametrixu odhaluje vlastnosti řešení problému, aniž by jej dokonce počítala, jako je jeho plynulost[3] a další kvalitativní vlastnosti.
Parametry pro pseudodiferenciální operátory
Obecněji, pokud L je jakýkoli pseudodiferenciální operátor objednávky str, pak další pseudodiferenciální operátor L+ řádu –P se nazývá a parametrix pro L pokud operátoři
jsou oba pseudodiferenciální operátoři záporného řádu. Provozovatelé L a L+ připustí kontinuální rozšíření map mezi Sobolevovými prostory Hs a Hs+k.
Na kompaktním potrubí jsou výše uvedené rozdíly kompaktní operátory. V tomto případě původní operátor L definuje a Operátor Fredholm mezi Sobolevovými prostory.[4]
Konstrukce parametru Hadamard
Explicitní konstrukci parametrického parametru pro operátory částečného diferenciálního řádu druhého řádu na základě vývoje výkonových řad objevila Jacques Hadamard. Lze jej použít na Operátor Laplace, vlnová rovnice a rovnice tepla.
V případě rovnice tepla nebo vlnové rovnice, kde existuje rozlišující časový parametr t„Hadamardova metoda spočívá v převzetí základního řešení operátoru diferenciálního konstantního koeficientu, který získá zmrazení koeficientů v pevném bodě, a hledání obecného řešení jako součinu tohoto řešení, jak se bod mění, formální výkonovou řadou v t. Konstantní člen je 1 a vyšší koeficienty jsou funkce určené rekurzivně jako integrály v jedné proměnné.
Obecně platí, že výkonové řady nebudou konvergovat, ale budou poskytovat pouze asymptotická expanze přesného řešení. Vhodným zkrácením výkonové řady se získá parametrix.[5][6]
Konstrukce základního řešení z parametrixu
K vytvoření přesného základního řešení pomocí konvergentního iteračního postupu lze často použít dostatečně dobrou parametrickou metodu následujícím způsobem (Berger, Gauduchon a Mazet 1971 ).
Li L je prvek prstenu s násobením * takový, že
pro nějakou přibližnou pravou inverzi P a „dostatečně malý“ zbývající termín R pak, alespoň formálně,
takže pokud má nekonečná řada smysl, pak L má správnou inverzi
- .
Li L je operátor pseudo-diferenciálu a P je parametrix, dává to pravý inverzní k Ljinými slovy základní řešení, pokud R je „dostatečně malý“, což v praxi znamená, že by měl být dostatečně dobrým vyhlazovacím operátorem.
Li P a R jsou reprezentovány funkcemi, pak násobení * pseudo-diferenciálních operátorů odpovídá konvoluci funkcí, takže podmínky nekonečného součtu dávající základní řešení L zahrnovat konvoluci P s kopiemi R.
Poznámky
- ^ Použitím známých faktů o zásadní řešení konstantního koeficientu diferenciální operátory.
- ^ Hörmander 1983, str. 170
- ^ Viz záznam o problém pravidelnosti pro operátory částečných diferenciálů.
- ^ Hörmander 1985
- ^ Hörmander 1985, str. 30–41
- ^ Hadamard 1932
Reference
- Bejancu, A. (2001) [1994], "Metoda Parametrix", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Berger, Marcel; Gauduchon, Paul; Mazet, Edmond (1971), Le specter d'une variété riemannienne, Přednášky z matematiky (ve francouzštině), 194, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. VII, 251, doi:10.1007 / BFb0064643, ISBN 978-3-540-05437-5, PAN 0282313, Zbl 0223.53034
- Hadamard, Jacques (2003) [1923], Přednášky o Cauchyho problému v lineárních parciálních diferenciálních rovnicích, Vydání Dover Phoenix, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49549-1, JFM 49.0725.04, PAN 0051411, Zbl 0049.34805
- Hadamard, J. (1932), Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques (ve francouzštině), Paříž: Herman, JFM 58.0519.16, Zbl 0006.20501.
- Hörmander, L. (1983), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů IGrundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256, Heidelberg - Berlín - New York: Springer Verlag, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, PAN 0717035, Zbl 0521.35001.
- Hörmander, L. (1985), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů IIIGrundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 274, Heidelberg - Berlín - New York: Springer Verlag, ISBN 3-540-13828-5, PAN 0781536, Zbl 0601.35001.
- Levi, Eugenio Elia (1907), „Sulle equazioni lineari alle derivate parziali totalmente ellittiche“, Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche, Naturali, Řada V, 16 (12): 932–938, JFM 38.0403.01 (v italština ).
- Levi, Eugenio Elia (1907), „Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parziali“, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 24 (1): 275–317, doi:10.1007 / BF03015067, JFM 38.0402.01 (v italština ).
- Wells, Jr., RO (1986), Diferenciální analýza na složitých potrubích, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90419-1