Fredholmova integrální rovnice - Fredholm integral equation

v matematika, Fredholmova integrální rovnice je integrální rovnice jehož řešení vede k Fredholmova teorie, studium Fredholmská jádra a Provozovatelé Fredholm. Integrální rovnici studoval Ivar Fredholm. Užitečnou metodou řešení těchto rovnic je Adomianova metoda rozkladu, je to kvůli George Adomian.

Rovnice prvního druhu

Fredholmova rovnice je integrální rovnice, ve které má termín obsahující funkci jádra (definovaný níže) konstanty jako integrační limity. Úzce související forma je Volterraova integrální rovnice který má proměnné integrální limity.

An nehomogenní Fredholmova rovnice prvního druhu se píše jako

{ displaystyle g (t) = int _ {a} ^ {b} K (t, s) f (s) , mathrm {d} s ~,}

a problém je, vzhledem k neustálému jádro funkce ${ displaystyle K}$ a funkce ${ displaystyle g}$ , najít funkci ${ displaystyle f}$ .

Důležitým případem těchto typů rovnic je případ, kdy je jádro funkcí pouze rozdílu jeho argumentů, konkrétně ${ displaystyle K (t, s) = K (t {-} s)}$ a limity integrace jsou ± ∞, pak lze pravou stranu rovnice přepsat jako konvoluci funkcí ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle f}$ a proto je formálně řešení dáno

{ displaystyle f (s) = { mathcal {F}} _ { omega} ^ {- 1} left [{{ mathcal {F}} _ {t} [g (t)] ( omega) over { mathcal {F}} _ {t} [K (t)] ( omega)} right] = int _ {- infty} ^ { infty} {{ mathcal {F}} _ {t} [g (t)] ( omega) over { mathcal {F}} _ {t} [K (t)] ( omega)} e ^ {2 pi i omega s} mathrm {d} omega}

kde ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t}}$ a ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { omega} ^ {- 1}}$ jsou přímé a inverzní Fourierovy transformace, resp. Tento případ by obvykle nebyl zahrnut pod záštitou Fredholmových integrálních rovnic, což je název, který je obvykle vyhrazen, když integrální operátor definuje kompaktní operátor (konvoluční operátory na nekompaktních skupinách jsou nekompaktní, protože obecně spektrum provozovatele konvoluce s ${ displaystyle K}$ obsahuje rozsah ${ displaystyle { mathcal {F}} {K}}$ , což je obvykle nepočítatelná množina, zatímco kompaktní operátory mají diskrétní spočetná spektra).

Rovnice druhého druhu

Nehomogenní Fredholmova rovnice druhého druhu je uvedena jako

${ displaystyle varphi (t) = f (t) + lambda int _ {a} ^ {b} K (t, s) varphi (s) , mathrm {d} s.}$

Vzhledem k jádru $K (t, s)$ a funkce $f (t)$ , obvykle je problém najít funkci $φ (t)$ .

Standardní přístup k řešení tohoto problému je použít iteraci ve výši rezolvenční formalismus; psaný jako série, řešení je známé jako Série Liouville – Neumann.

Obecná teorie

Obecná teorie, která je základem Fredholmových rovnic, je známá jako Fredholmova teorie. Jedním z hlavních výsledků je, že jádro $K.$ výnosy a kompaktní operátor. Kompaktnost lze ukázat vyvoláním ekvikontinuita. Jako operátor má spektrální teorie které lze chápat v pojmech diskrétního spektra vlastní čísla které mají tendenci k 0.

Aplikace

Fredholmovy rovnice vznikají přirozeně v teorii zpracování signálu, například jako slavný problém spektrální koncentrace popularizoval David Slepian. Zúčastnění operátoři jsou stejní jako lineární filtry. Obvykle také vznikají při lineárním dopředném modelování a inverzní problémy. Ve fyzice řešení takových integrálních rovnic umožňuje experimentální spektra souviset s různými základními distribucemi, například s hmotovou distribucí polymerů v polymerní tavenině,^[1] nebo distribuce relaxačních časů v systému.^[2] Kromě toho Fredholmovy integrální rovnice také vznikají v mechanika tekutin problémy zahrnující hydrodynamické interakce v blízkosti elastických rozhraní konečné velikosti.^[3] ^[4]

Viz také

Reference

^ Honerkamp, J .; Weese, J. (1990). "Tikhonovova regularizační metoda pro špatně nastolené problémy". Mechanika kontinua a termodynamika. 2 (1): 17–30. Bibcode:1990CMT ..... 2 ... 17H. doi:10.1007 / BF01170953.
^ Schäfer, H .; Sternin, E .; Stannarius, R .; Arndt, M .; Kremer, F. (18. března 1996). „Nový přístup k analýze širokopásmového dielektrického spektra“. Dopisy o fyzické kontrole. 76 (12): 2177–2180. Bibcode:1996PhRvL..76.2177S. doi:10.1103 / PhysRevLett.76.2177. PMID 10060625.
^ Daddi-Moussa-Ider, A .; Kaoui, B .; Löwen, H. (9. dubna 2019). "Axisymmetric flow due to a Stokeslet near a finite-sized elastické membrány". Journal of the Physical Society of Japan. 88 (5): 054401. arXiv:1901.04485. doi:10,7566 / JPSJ.88.054401.
^ Daddi-Moussa-Ider, A. (25. listopadu 2020). „Asymetrický Stokesův tok indukovaný příčnou bodovou silou působící poblíž elastické membrány konečné velikosti“. Journal of the Physical Society of Japan. 89: 124401. arXiv:2006.14375. doi:10,7566 / JPSJ.89.124401.

Integrální rovnice na EqWorld: Svět matematických rovnic.
A.D. Polyanin a A.V. Manžirov, Příručka integrálních rovnic, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
Khvedelidze, B.V .; Litvinov, G.L. (2001) [1994], „Jádro Fredholm“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Simons, F. J .; Wieczorek, M. A .; Dahlen, F. A. (2006). "Spatiospektrální koncentrace na kouli". Recenze SIAM. 48 (3): 504–536. arXiv:matematika / 0408424. Bibcode:2006SIAMR..48..504S. doi:10.1137 / S0036144504445765.
Slepian, D. (1983). "Některé komentáře k Fourierově analýze, nejistotě a modelování". Recenze SIAM. 25 (3): 379–393. doi:10.1137/1025078.
Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Oddíl 19.1. Fredholmovy rovnice druhého druhu“. Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), Matematické metody fyziky (2. vydání), New York: W. A. Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1

[1] Honerkamp, J .; Weese, J. (1990). "Tikhonovova regularizační metoda pro špatně nastolené problémy". Mechanika kontinua a termodynamika. 2 (1): 17–30. Bibcode:1990CMT ..... 2 ... 17H. doi:10.1007 / BF01170953.

[2] Schäfer, H .; Sternin, E .; Stannarius, R .; Arndt, M .; Kremer, F. (18. března 1996). „Nový přístup k analýze širokopásmového dielektrického spektra“. Dopisy o fyzické kontrole. 76 (12): 2177–2180. Bibcode:1996PhRvL..76.2177S. doi:10.1103 / PhysRevLett.76.2177. PMID 10060625.

[3] Daddi-Moussa-Ider, A .; Kaoui, B .; Löwen, H. (9. dubna 2019). "Axisymmetric flow due to a Stokeslet near a finite-sized elastické membrány". Journal of the Physical Society of Japan. 88 (5): 054401. arXiv:1901.04485. doi:10,7566 / JPSJ.88.054401.

[4] Daddi-Moussa-Ider, A. (25. listopadu 2020). „Asymetrický Stokesův tok indukovaný příčnou bodovou silou působící poblíž elastické membrány konečné velikosti“. Journal of the Physical Society of Japan. 89: 124401. arXiv:2006.14375. doi:10,7566 / JPSJ.89.124401.

[1]

[2]

[3]

[4]