Keldyshův formalismus - Keldysh formalism

tento článek vyžaduje pozornost odborníka na fyziku. Viz diskusní stránka pro detaily. Fyzika WikiProject může pomoci při náboru odborníka. (Červen 2011)

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Fyzika kondenzovaných látek
Fáze  · Fázový přechod  · QCP
Stavy hmoty Pevný  · Kapalný  · Plyn  · Plazma  · Kondenzát Bose – Einstein  · Bose plyn  · Fermionový kondenzát  · Fermiho plyn  · Fermiho kapalina  · Supersolid  · Super tekutost  · Luttingerova kapalina  · Časový krystal
Fázové jevy Parametr objednávky  · Fázový přechod  · QCP
Elektronické fáze Elektronická struktura pásma  · Plazma  · Izolátor  · Mottův izolátor  · Polovodič  · Semimetal  · Dirigent  · Supravodič  · Termoelektrický  · Piezoelektrický  · Feroelektrický  · Topologický izolátor  · Roztočte polovodič bez mezery
Elektronické jevy Kvantový Hallův efekt  · Spin Hallův efekt  · Kondo efekt
Magnetické fáze Diamagnet  · Superdiamagnet Paramagnet  · Superparamagnet Feromagnet  · Antiferromagnet Metamagnet  · Roztočte sklo
Kvazičástice Phonon  · Vzrušující  · Plasmon Polariton  · Polaron  · Magnon
Měkká hmota Amorfní pevná látka  · Koloidní  · Zrnitý materiál  · Tekutý krystal  · Polymer
Vědci Van der Waals  · Onnes  · von Laue  · Bragg  · Debye  · Bloch  · Onsager  · Mott  · Peierls  · Landau  · Luttinger  · Anderson  · Van Vleck  · Hubbard  · Shockley  · Bardeen  · Bednář  · Schrieffer  · Josephson  · Louis Néel  · Esaki  · Giaever  · Kohn  · Kadanoff  · Rybář  · Wilson  · von Klitzing  · Binnig  · Rohrer  · Bednorz  · Müller  · Laughlin  · Störmer  · Yang  · Tsui  · Abrikosov  · Ginzburg  · Leggett

v nerovnovážná fyzika, Keldyshův formalismus je obecný rámec pro popis kvantově mechanické vývoj systému v nerovnovážném stavu nebo systémy podléhající časově proměnným vnějším polím (elektrické pole, magnetické pole atd.). Historicky to předznamenala práce Schwinger a navrhl téměř současně Keldysh^[1] a samostatně Kadanoff a Baym.^[2] To bylo dále vyvinuto pozdějšími přispěvateli, jako je O. V. Konstantinov a V. I. Perel.^[3]

Rozšíření na řízené disipativní otevřené kvantové systémy je uvedeno v ^[4]

Keldyshův formalismus poskytuje systematický způsob studia nerovnovážných systémů, obvykle založený na dvoubodových funkcích odpovídajících excitacím v systému. Hlavním matematickým objektem Keldyshova formalismu je nerovnováha Greenova funkce (NEGF), což je dvoubodová funkce částicových polí. Tímto způsobem se podobá Matsubarský formalismus, který je založen na rovnovážné zelené funkci v imaginárním čase a zachází pouze s rovnovážnými systémy.

Časový vývoj kvantového systému

Zvažte obecný kvantově mechanický systém. Tento systém má Hamiltonian ${displaystyle H_ {0}}$. Nechť je počáteční stav systému ${displaystyle | nangle}$, což může být buď čistý stav, nebo smíšený stav. Pokud nyní k tomuto hamiltoniánu přidáme poruchu závislou na čase ${displaystyle H '(t)}$, plný Hamiltonian je ${displaystyle H (t) = H_ {0} + H '(t)}$ a proto se systém bude vyvíjet v čase pod plným hamiltoniánem. V této části uvidíme, jak vývoj času ve skutečnosti funguje v kvantové mechanice.

Zvažte a Hermitian operátor ${displaystyle {mathcal {O}}}$. V Heisenberg Obrázek kvantové mechaniky je tento operátor závislý na čase a stav není. Očekávaná hodnota operátora ${displaystyle {mathcal {O}} (t)}$ darováno

${displaystyle {egin {aligned} langle {mathcal {O}} (t) angle & = langle n | {U} ^ {dagger} (t, 0), {mathcal {O}} (0), U (t, 0) | nangle end {zarovnáno}}}$

Kde v důsledku časového vývoje operátorů v Heisenbergově obraze ${displaystyle {mathcal {O}} (t) = U ^ {dagger} (t, 0) {mathcal {O}} (0) U (t, 0)}$. The jednotkový operátor vývoje času ${displaystyle U (t_ {2}, t_ {1})}$je časově nařízeno exponenciál integrálu ${displaystyle U (t_ {2}, t_ {1}) = T (e ^ {- iint _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} H (t ') dt'})}$ (Všimněte si, že pokud Hamiltonián najednou dojíždí s Hamiltoniánem v různých časech, lze to zjednodušit na ${displaystyle U (t_ {2}, t_ {1}) = e ^ {- iint _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} H (t ') dt'}}$)

Pro poruchovou kvantovou mechaniku a kvantová teorie pole, je často pohodlnější použít interakční obrázek. Operátor interakčního obrázku je

${displaystyle {egin {aligned} {mathcal {O_ {I}}} (t) & = {U_ {0}} ^ {dagger} (t, 0), {mathcal {O}} (0), U_ {0 } (t, 0) konec {zarovnáno}}}$

Kde ${displaystyle U_ {0} (t_ {1}, t_ {2}) = e ^ {- iH_ {0} (t_ {1} -t_ {2})}}$. Pak definování ${displaystyle S (t_ {1}, t_ {2}) = U_ {0} ^ {dagger} (t_ {1}, t_ {2}) U (t_ {1}, t_ {2})}$ my máme

${displaystyle {egin {aligned} langle {mathcal {O}} (t) angle & = langle n | {S} ^ {dagger} (t, 0) {mathcal {O_ {I}}} (t) S (t , 0) | nangle end {aligned}}}$

Vzhledem k tomu, že jednotkový operátor evoluce času uspokojuje ${displaystyle U (t_ {3}, t_ {2}) U (t_ {2}, t_ {1}) = U (t_ {3}, t_ {1})}$, výše uvedený výraz lze přepsat jako

${displaystyle {egin {aligned} langle {mathcal {O}} (t) angle & = langle n | {S} ^ {dagger} (infty, 0) S (infty, t) {mathcal {O_ {I}}} (t), S (t, 0) | nangle end {zarovnáno}}}$

nebo s ${displaystyle infty}$ nahrazeno jakoukoli časovou hodnotou větší než ${displaystyle t}$.

Řazení cest na obrysu Keldysh

Výše uvedený výraz můžeme napsat stručněji, čistě formálně, nahrazením každého operátoru ${displaystyle X (t)}$ s operátorem objednaným podle obrysu ${displaystyle X (c)}$ , takový, že ${displaystyle c}$ parametrizuje obrysovou cestu na časové ose začínající na ${displaystyle t = 0}$pokračujeme k ${displaystyle t = infty}$a poté se vrací do ${displaystyle t = 0}$. Tato cesta je známá jako Keldyshova kontura. ${displaystyle X (c)}$ má stejnou operátorskou akci jako ${displaystyle X (t)}$ (kde ${displaystyle t}$ je časová hodnota odpovídající ${displaystyle c}$), ale má také další informace o ${displaystyle c}$ (tedy přísně vzato ${displaystyle X (c_ {1}) eq X (c_ {2})}$ -li ${displaystyle c_ {1} eq c_ {2}}$, i když pro odpovídající časy ${displaystyle X (t_ {1}) = X (t_ {2})}$).

Pak můžeme zavést notaci objednávání cest na tomto obrysu definováním ${displaystyle {mathcal {T_ {c}}} (X ^ {(1)} (c_ {1}) X ^ {(2)} (c_ {2}) ldots X ^ {(n)} (c_ {n })) = (pm 1) ^ {sigma} X ^ {(sigma (1))} (c_ {sigma (1)}) X ^ {(sigma (2))} (c_ {sigma (2)}) ldots X ^ {(sigma (n))} (c_ {sigma (n)})}$, kde ${displaystyle sigma}$ je taková obměna ${displaystyle c_ {sigma (1)}$a znaménka plus a minus jsou pro bosonic a fermionický operátoři. Všimněte si, že se jedná o zobecnění objednávání času.

S touto notací je výše uvedená evoluce času zapsána jako

${displaystyle {egin {aligned} langle {mathcal {O}} (t) angle & = langle n | {mathcal {T_ {c}}} ({mathcal {O (c)}} e ^ {- iint dc'H '(c')}) | konec nangle {zarovnáno}}}$

Kde ${displaystyle c}$ odpovídá času ${displaystyle t}$ na přední větvi obrysu Keldysh a integrál přes ${displaystyle c '}$ jde přes celý obrys Keldysh. Pro zbytek tohoto článku, jak je obvyklé, obvykle jednoduše použijeme notaci ${displaystyle X (t)}$ pro ${displaystyle X (c)}$ kde ${displaystyle t}$ je čas odpovídající ${displaystyle c}$a zda ${displaystyle c}$ je na větvi vpřed nebo vzad je odvozeno z kontextu.

Keldyshova schematická technika pro Greenovy funkce

Nerovnovážná Greenova funkce je definována jako ${displaystyle {egin {aligned} iG (x_ {1}, t_ {1}, x_ {2}, t_ {2}) = langle n | Tpsi (x_ {1}, t_ {1}) psi (x_ {2 }, t_ {2}) | konec nangle {zarovnáno}}}$.

Nebo na interakčním obrázku ${displaystyle {egin {aligned} iG (x_ {1}, t_ {1}, x_ {2}, t_ {2}) = langle n | {mathcal {T_ {c}}} (e ^ {- iint _ { c} H '(t') dt '} psi (x_ {1}, t_ {1}) psi (x_ {2}, t_ {2})) | konec konce {zarovnáno}}}$ . Můžeme rozšířit exponenciál jako Taylorovu řadu, abychom získali poruchovou řadu ${displaystyle sum _ {j = 0} ^ {infty} langle n | {mathcal {T_ {c}}} ((- iint _ {t} (H '(t', +) + H '(t', - )) dt ') ^ {j} psi (x_ {1}, t_ {1}) psi (x_ {2}, t_ {2})) | nangle / j!}$. Jedná se o stejný postup jako v teorii rovnovážné schematické poruchy, ale s důležitým rozdílem, že jsou zahrnuty jak obrysové větve vpřed, tak vzad.

Pokud, jak se často stává, ${displaystyle H '}$ je polynom nebo řada jako funkce elementárních polí ${displaystyle psi}$, můžeme tuto poruchovou sérii uspořádat do monomiálních podmínek a použít vše možné Knotové párování do polí v každé monomii a získá se součet Feynmanovy diagramy. Okraje Feynmanova diagramu však odpovídají různým propagátorům v závislosti na tom, zda spárované operátory pocházejí z větve vpřed nebo vzad. A to,

${displaystyle langle n | {mathcal {T_ {c}}} psi (x_ {1}, t_ {1}, +) psi (x_ {2}, t_ {2}, +) | stejný ekvivalent G_ {0} ^ {++} (x_ {1}, t_ {1}, x_ {2}, t_ {2}) = jazyk n | {mathcal {T}} psi (x_ {1}, t_ {1}) psi (x_ {2}, t_ {2}) | nangle}$

${displaystyle langle n | {mathcal {T_ {c}}} psi (x_ {1}, t_ {1}, +) psi (x_ {2}, t_ {2}, -) | stejný ekvivalent G_ {0} ^ {+ -} (x_ {1}, t_ {1}, x_ {2}, t_ {2}) = jazyk n | psi (x_ {1}, t_ {1}) psi (x_ {2}, t_ { 2}) | nangle}$

${displaystyle langle n | {mathcal {T_ {c}}} psi (x_ {1}, t_ {1}, -) psi (x_ {2}, t_ {2}, +) | stejný ekvivalent G_ {0} ^ {- +} (x_ {1}, t_ {1}, x_ {2}, t_ {2}) = pm langle n | psi (x_ {2}, t_ {2}) psi (x_ {1}, t_ {1}) | nangle}$

${displaystyle langle n | {mathcal {T_ {c}}} psi (x_ {1}, t_ {1}, -) psi (x_ {2}, t_ {2}, -) | stejný ekvivalent G_ {0} ^ {-} (x_ {1}, t_ {1}, x_ {2}, t_ {2}) = jazyk n | {mathcal {overline {T}}} psi (x_ {1}, t_ {1}) psi (x_ {2}, t_ {2}) | nangle}$

kde je anti-time objednávání ${displaystyle {mathcal {overline {T}}}}$ objednává operátory opačným způsobem než časové objednávání a ${displaystyle pm}$ přihlásit se ${displaystyle G_ {0} ^ {- +}}$ je pro bosonická nebo fermionická pole. Všimněte si, že ${displaystyle G_ {0} ^ {-}}$ je propagátor používaný v běžné teorii základního stavu.

Lze tedy nakreslit Feynmanovy diagramy pro korelační funkce a jejich hodnoty vypočítat stejným způsobem jako v teorii základního stavu, s výjimkou následujících úprav Feynmanových pravidel: Každý vnitřní vrchol diagramu je označen buď ${displaystyle +}$ nebo ${displaystyle -}$, zatímco vnější vrcholy jsou označeny ${displaystyle -}$. Pak každá (nerenormalizovaná) hrana směřovala z vrcholu ${displaystyle a}$ (s pozicí ${displaystyle x_ {a}}$, čas ${displaystyle t_ {a}}$ a podepsat ${displaystyle s_ {a}}$) na vrchol ${displaystyle b}$ (s pozicí ${displaystyle x_ {b}}$, čas ${displaystyle t_ {b}}$ a podepsat ${displaystyle s_ {b}}$) odpovídá propagátorovi ${displaystyle G_ {0} ^ {s_ {a} s_ {b}} (x_ {a}, t_ {a}, x_ {b}, t_ {b})}$. Pak hodnoty diagramu pro každou volbu ${displaystyle pm}$ značky (existují ${displaystyle 2 ^ {v}}$ takové volby, kde ${displaystyle v}$ je počet vnitřních vrcholů) a všechny sečtou, aby se zjistila celková hodnota diagramu.

Landauer – Büttiker – Keldyshův formalismus

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červenec 2010)

Viz také

• Spin Hallův efekt
• Kondo efekt

Reference

jiný

1. Лифшиц, Евгений Михайлович; Питаевский, Лев Петрович (1979). "Физическая кинетика". Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры. 10.
2. Jauho, A.P. (5. října 2006). „Úvod do Keldyshovy nerovnovážné zelené funkční techniky“ (PDF). nanoHUB. Citováno 18. června 2018.
3. Lake, Roger (13. ledna 2018). „Aplikace Keldyshova formalismu na modelování a analýzu kvantových zařízení“ (PDF). nanoHUB. Citováno 18. června 2018.
4. Kamenev, Alex (11. prosince 2004). „Teorie mnoha těl nerovnovážných systémů“: cond – mat / 0412296. arXiv:cond-mat / 0412296. Bibcode:2004cond.mat.12296K. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
5. Kita, Takafumi (2010). "Úvod do nerovnovážné statistické mechaniky s kvantovým polem". Pokrok teoretické fyziky. 123 (4): 581–658. arXiv:1005.0393. Bibcode:2010PThPh.123..581K. doi:10.1143 / PTP.123.581.
6. Ryndyk, D. A .; Gutiérrez, R .; Song, B .; Cuniberti, G. (2009). „Techniky zelené funkce v léčbě kvantového transportu v molekulárním měřítku“. Dynamika přenosu energie v systémech biomateriálů. Springer Verlag Springer Series o chemické fyzice. Springer Series v chemické fyzice. 93. 213–335. arXiv:0805.0628. Bibcode:2009SSCP ... 93..213R. doi:10.1007/978-3-642-02306-4_9. ISBN  9783642023057.
7. Gen, Tatara; Kohno, Hiroshi; Shibata, Junya (2008). „Mikroskopický přístup k dynamice stěny domén řízené proudem“. Fyzikální zprávy. 468 (6): 213–301. arXiv:0807.2894. Bibcode:2008PhR ... 468..213T. doi:10.1016 / j.physrep.2008.07.003.