Skupina indexů - Index group
v teorie operátorů, obor matematiky, každý Banachova algebra lze přidružit ke skupině zvané its abstraktní indexová skupina.
Definice
Nechat A být Banachovou algebrou a G skupina invertibilních prvků v A. Sada G je otevřený a topologická skupina. Zvažte složka identity
- G0,
nebo jinými slovy připojená součást obsahující identitu 1 z A; G0 je normální podskupina z G. The kvocientová skupina
- ΛA = G/G0
je abstraktní indexová skupina z A. Protože G0, který je součástí otevřené sady, je otevřený i uzavřený G, skupina indexů je a diskrétní skupina.
Příklady
Nechat L(H) být Banachovou algebrou ohraničených operátorů v Hilbertově prostoru. Sada invertibilních prvků v L(H) je cesta připojena. Proto ΛL(H) je triviální skupina.
Nechat T označte jednotkový kruh v komplexní rovině. Algebra C(T) spojitých funkcí z T do komplexní čísla je Banachova algebra s topologií jednotné konvergence. Funkce v C(T) je invertibilní (což znamená, že má a bodově multiplikativní inverzní, ne že by to bylo invertibilní funkce ) pokud nemapuje žádný prvek z T na nulu. Skupina G0 sestává z prvků homotopický, v G, k identitě v G, konstantní funkce 1. Lze si vybrat funkce Fn(z) = zn jako zástupci G odlišných tříd homotopy map T→T. Tedy indexová skupina ΛC(T) je sada tříd homotopy indexovaná indexem číslo vinutí jejích členů. Tak ΛC(T) je isomorfní s základní skupina z T. Je to spočetná samostatná skupina.
The Calkinova algebra K. je podíl C * -algebra z L(H) s respektem k kompaktní operátory. Předpokládejme, že π je kvocientová mapa. Podle Atkinsonova věta, invertibilní prvky v K. je ve tvaru π (T) kde T je Provozovatelé Fredholm. Skupina indexů ΛK. je opět spočetná samostatná skupina. Ve skutečnosti ΛK. je izomorfní s aditivní skupinou celých čísel Zprostřednictvím Fredholmův index. Jinými slovy, pro operátory Fredholm se dva pojmy indexu shodují.