Sada rozpouštědel - Resolvent set

v lineární algebra a teorie operátorů, sada rozpouštědel a lineární operátor je soubor z komplexní čísla pro které je operátor v jistém smyslu "dobře vychovaný Sada resolventů hraje důležitou roli v rezolvenční formalismus.

Definice

Nechat X být Banachův prostor a nechte ${ displaystyle L dvojtečka D (L) pravá šipka X}$ být lineární operátor s doména ${ displaystyle D (L) subseteq X}$. Označme id operátor identity na X. Pro všechny ${ displaystyle lambda v mathbb {C}}$, nechť

${ displaystyle L _ { lambda} = L- lambda , mathrm {id}.}$

Složité číslo ${ displaystyle lambda}$ se říká, že je běžná hodnota -li

1. ${ displaystyle L _ { lambda}}$ je injekční, tj. oprava ${ displaystyle L _ { lambda}}$ k jeho obrazu má inverzní ${ displaystyle R ( lambda, L)}$, který:
2. je ohraničený lineární operátor;
3. je definován na a hustý podprostor z X, to znamená, ${ displaystyle L _ { lambda}}$ má hustý rozsah.

The sada rozpouštědel z L je množina všech běžných hodnot L:

${ displaystyle rho (L) = { lambda in mathbb {C} mid lambda { mbox {je běžná hodnota}} L }.}$

The spektrum je doplněk sady rozpouštědel:

${ displaystyle sigma (L) = mathbb {C} setminus rho (L).}$

Spektrum lze dále rozložit na bodové / diskrétní spektrum (kde podmínka 1 selže), spojité spektrum (kde podmínky 1 a 3 platí, ale podmínka 2 selže) a zbytkové / kompresní spektrum (kde podmínka 1 platí, ale podmínka 3 selže) .

Li ${ displaystyle L}$ je uzavřený operátor, pak je každý ${ displaystyle L _ { lambda}}$a podmínka 3 může být nahrazena požadováním ${ displaystyle L _ { lambda}}$ je surjektivní.

Vlastnosti

• Sada rozpouštědel ${ displaystyle rho (L) subseteq mathbb {C}}$ omezeného lineárního operátoru L je otevřená sada.
• Obecněji řečeno, sada rozpouštědel hustě definovaného uzavřeného neomezeného operátoru je otevřená sada.

Reference

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Texty v aplikované matematice 13 (druhé vydání). New York: Springer-Verlag. xiv + 434. ISBN  0-387-00444-0. PAN2028503 (Viz část 8.3)

externí odkazy

• Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], "Sada rozpouštědel", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

Viz také

• Formální rezoluce
• Spektrum (funkční analýza)
• Rozklad spektra (funkční analýza)