V matematické teorii speciální funkce, Pochhammer k-symbol a k-gamma funkce, představili Rafael Díaz a Eddy Pariguan [1] jsou zobecnění Pochhammer symbol a funkce gama. Liší se od Pochhammerova symbolu a funkce gama tím, že mohou souviset s obecným aritmetický postup stejným způsobem jako ty, které souvisejí s posloupností po sobě jdoucích celá čísla.
Když k = 1 získá se standardní Pochhammerův symbol a funkce gama.
Díaz a Pariguan používají tyto definice k prokázání řady vlastností hypergeometrická funkce. Ačkoli Díaz a Pariguan omezují tyto symboly na k > 0, Pochhammer k-symbol, jak definují, je dobře definovaný pro všechny skutečné k, a negativní k dává klesající faktoriál, zatímco pro k = 0 redukuje na NapájeníXn.
Papír Díaz a Pariguan neřeší mnoho analogií mezi Pochhammerem k-symbol a funkce napájení, například skutečnost, že binomická věta lze rozšířit na Pochhammer k-symboly. Je však pravda, že mnoho rovnic zahrnujících výkonovou funkci Xn nadále držet, když Xn je nahrazen (X)n, k.
Pokračující zlomky, kongruence a rovnice konečných rozdílů
Jacobiho typ J-frakce pro obyčejný generující funkce Pochhammerova k-symbolu, označená mírně odlišnou notací pomocí pro pevné a nějaký neurčitý parametr , jsou považovány za [2] v podobě dalšího nekonečna pokračující zlomek expanze daná
Racionální konvergentní funkce, , k plné generační funkci pro tyto produkty rozšířené o poslední rovnici je dána vztahem
kde sekvence konvergentních funkcí komponenty, a , jsou uvedeny jako součty v uzavřené formě, pokud jde o běžné hodnoty Pochhammer symbol a Laguerrovy polynomy podle
Racionalita konvergentní funkce pro všechny , v kombinaci se známými výčtovými vlastnostmi expanzí J-zlomku, znamenají následující rovnice konečných rozdílů, které přesně generují pro všechny a generování symbolu modulo pro nějaké pevné celé číslo :
Racionalita také znamená další přesné rozšíření těchto produktů dané
Navíc, protože konvergentní funkce jmenovatele, , jsou rozšířeny přesně prostřednictvím Laguerrovy polynomy jak je uvedeno výše, můžeme přesně vygenerovat Pochhammerův k-symbol jako sériové koeficienty
pro jakékoli předepsané celé číslo .
Speciální případy
Zvláštní případy Pochhammerova k-symbolu, odpovídají následujícím zvláštním případům klesající a stoupající faktoriály, včetně Pochhammer symbol a zobecněné případy více faktoriálních funkcí (multifaktoriální funkce) nebo -faktorové funkce studované v posledních dvou referencích Schmidta: