Stirlingova transformace - Stirling transform - Wikipedia

v kombinační matematika, Stirlingova transformace sekvence { A_n : n = 1, 2, 3, ...} čísel je posloupnost { b_n : n = 1, 2, 3, ...} dané

${ displaystyle b_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} vlevo {{ začátek {matice} n k konec {matice}} doprava } a_ {k},}$

kde ${ displaystyle left {{ begin {matrix} n k end {matrix}} right }}$ je Stirlingovo číslo druhého druhu, také označeno S(n,k) (s velkým písmenem.) S), což je počet oddíly sady velikosti n do k části.

Inverzní transformace je

${ displaystyle a_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} s (n, k) b_ {k},}$

kde s(n,k) (s malými písmeny.) s) je Stirlingovo číslo prvního druhu.

Berstein a Sloane (citováno níže) uvádějí „Pokud A_n je počet objektů v některé třídě s body označenými 1, 2, ..., n (se všemi odlišnými štítky, tj. běžnými označenými strukturami) b_n je počet objektů s body označenými 1, 2, ..., n (s povoleným opakováním). "

Li

${ displaystyle f (x) = součet _ {n = 1} ^ { infty} {a_ {n} nad n!} x ^ {n}}$

je formální mocenské řady (všimněte si, že dolní mez součtu je 1, ne 0), a

${ displaystyle g (x) = součet _ {n = 1} ^ { infty} {b_ {n} nad n!} x ^ {n}}$

s A_n a b_n jak je uvedeno výše

${ displaystyle g (x) = f (e ^ {x} -1). ,}$

Podobně inverzní transformace vede k identitě generující funkce

${ displaystyle f (x) = g ( log (1 + x)).}$

Viz také

• Binomická transformace
• Generování transformace funkcí
• Seznam faktoriálních a binomických témat

Reference

• Bernstein, M .; Sloane, N. J. A. (1995). "Některé kanonické sekvence celých čísel". Lineární algebra a její aplikace. 226/228: 57–72. arXiv:matematika / 0205301. doi:10.1016/0024-3795(94)00245-9..
• Khristo N. Boyadzhiev, Poznámky k binomické transformaci, teorii a tabulce s přílohou o Stirlingově transformaci (2018), World Scientific.