v matematika , Lerch funkce zeta , někdy nazývané Funkce zeta Hurwitz – Lerch , je speciální funkce který zobecňuje Funkce Hurwitz zeta a polylogaritmus . Je pojmenována po českém matematikovi Mathias Lerch [1] .
Definice Funkce Lerch zeta je dána vztahem
L ( λ , α , s ) = ∑ n = 0 ∞ E 2 π i λ n ( n + α ) s . { displaystyle L ( lambda, alfa, s) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {e ^ {2 pi i lambda n}} {(n + alpha) ^ {s}}}.} Související funkce, Lerch transcendentní , darováno
Φ ( z , s , α ) = ∑ n = 0 ∞ z n ( n + α ) s . { displaystyle Phi (z, s, alfa) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {(n + alpha) ^ {s}}}. } Ti dva jsou příbuzní, jako
Φ ( E 2 π i λ , s , α ) = L ( λ , α , s ) . { displaystyle , Phi (e ^ {2 pi i lambda}, s, alfa) = L ( lambda, alfa, s).} Integrální reprezentace Integrální vyjádření je dáno
Φ ( z , s , A ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 E − A t 1 − z E − t d t { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} { gama (y)}} int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {s-1} e ^ {- at}} {1-ze ^ {- t}}} , dt} pro
ℜ ( A ) > 0 ∧ ℜ ( s ) > 0 ∧ z < 1 ∨ ℜ ( A ) > 0 ∧ ℜ ( s ) > 1 ∧ z = 1. { displaystyle Re (a)> 0 klín Re (s)> 0 klín z <1 vee Re (a)> 0 klín Re (s)> 1 klín z = 1.} A konturový integrál reprezentace je dána
Φ ( z , s , A ) = − Γ ( 1 − s ) 2 π i ∫ 0 ( + ∞ ) ( − t ) s − 1 E − A t 1 − z E − t d t { displaystyle Phi (z, s, a) = - { frac { gama (1 s)} {2 pi i}} int _ {0} ^ {(+ infty)} { frac {(-t) ^ {s-1} e ^ {- at}} {1-ze ^ {- t}}} , dt} pro
ℜ ( A ) > 0 ∧ ℜ ( s ) < 0 ∧ z < 1 { displaystyle Re (a)> 0 klín Re (s) <0 klín z <1} kde obrys nesmí obsahovat žádný z bodů t = log ( z ) + 2 k π i , k ∈ Z . { displaystyle t = log (z) + 2k pi i, k v Z.}
Hermitovská integrální reprezentace je dána vztahem
Φ ( z , s , A ) = 1 2 A s + ∫ 0 ∞ z t ( A + t ) s d t + 2 A s − 1 ∫ 0 ∞ hřích ( s arktan ( t ) − t A log ( z ) ) ( 1 + t 2 ) s / 2 ( E 2 π A t − 1 ) d t { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} {2a ^ {s}}} + int _ {0} ^ { infty} { frac {z ^ {t}} { (a + t) ^ {s}}} , dt + { frac {2} {a ^ {s-1}}} int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (s arctan (t) -ta log (z))} {(1 + t ^ {2}) ^ {s / 2} (e ^ {2 pi at} -1)}} , dt} pro
ℜ ( A ) > 0 ∧ | z | < 1 { displaystyle Re (a)> 0 klín | z | <1} a
Φ ( z , s , A ) = 1 2 A s + log s − 1 ( 1 / z ) z A Γ ( 1 − s , A log ( 1 / z ) ) + 2 A s − 1 ∫ 0 ∞ hřích ( s arktan ( t ) − t A log ( z ) ) ( 1 + t 2 ) s / 2 ( E 2 π A t − 1 ) d t { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} {2a ^ {s}}} + { frac { log ^ {s-1} (1 / z)} {z ^ { a}}} Gamma (1 s, a log (1 / z)) + { frac {2} {a ^ {s-1}}} int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (s arctan (t) -ta log (z))} {(1 + t ^ {2}) ^ {s / 2} (e ^ {2 pi at} -1)}} , dt} pro
ℜ ( A ) > 0. { displaystyle Re (a)> 0.} Podobné reprezentace zahrnují
Φ ( z , s , A ) = 1 2 A s + ∫ 0 ∞ cos ( t log z ) hřích ( s arktan t A ) − hřích ( t log z ) cos ( s arktan t A ) ( A 2 + t 2 ) s 2 tanh π t d t , { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} {2a ^ {s}}} + int _ {0} ^ { infty} { frac { cos (t log z ) sin { Big (} s arctan { tfrac {t} {a}} { Big)} - sin (t log z) cos { Big (} s arctan { tfrac {t } {a}} { Big)}} {{ big (} a ^ {2} + t ^ {2} { big)} ^ { frac {s} {2}} tanh pi t} } , dt,} a
Φ ( − z , s , A ) = 1 2 A s + ∫ 0 ∞ cos ( t log z ) hřích ( s arktan t A ) − hřích ( t log z ) cos ( s arktan t A ) ( A 2 + t 2 ) s 2 sinh π t d t , { displaystyle Phi (-z, s, a) = { frac {1} {2a ^ {s}}} + int _ {0} ^ { infty} { frac { cos (t log z) sin { Big (} s arctan { tfrac {t} {a}} { Big)} - sin (t log z) cos { Big (} s arctan { tfrac { t} {a}} { Big)}} {{ big (} a ^ {2} + t ^ {2} { big)} ^ { frac {s} {2}} sinh pi t }} , dt,} drží za pozitivní z (a obecněji všude, kde se integrály sbíhají). Dále
Φ ( E i φ , s , A ) = L ( φ 2 π , A , s ) = 1 A s + 1 2 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 E − A t ( E i φ − E − t ) hovno t − cos φ d t , { displaystyle Phi (e ^ {i varphi}, s, a) = L { big (} { tfrac { varphi} {2 pi}}, a, s { big)} = { frac {1} {a ^ {s}}} + { frac {1} {2 Gamma (s)}} int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {s-1} e ^ {- at} { big (} e ^ {i varphi} -e ^ {- t} { big)}} { cosh {t} - cos { varphi}}}} , dt, } Poslední vzorec je také známý jako Lipschitzův vzorec .
Speciální případy The Funkce Hurwitz zeta je zvláštní případ, daný
ζ ( s , α ) = L ( 0 , α , s ) = Φ ( 1 , s , α ) . { displaystyle , zeta (s, alfa) = L (0, alfa, s) = Phi (1, s, alfa).} The polylogaritmus je zvláštní případ Lerch Zeta, daný
Li s ( z ) = z Φ ( z , s , 1 ) . { displaystyle , { textrm {Li}} _ {s} (z) = z Phi (z, s, 1).} The Legendre chi funkce je zvláštní případ, daný
χ n ( z ) = 2 − n z Φ ( z 2 , n , 1 / 2 ) . { displaystyle , chi _ {n} (z) = 2 ^ {- n} z Phi (z ^ {2}, n, 1/2).} The Funkce Riemann zeta je dána
ζ ( s ) = Φ ( 1 , s , 1 ) . { displaystyle , zeta (s) = Phi (1, s, 1).} The Funkce Dirichlet eta je dána
η ( s ) = Φ ( − 1 , s , 1 ) . { displaystyle , eta (s) = Phi (-1, s, 1).} Totožnosti Pro λ racionální je součet a kořen jednoty , a tudíž L ( λ , α , s ) { displaystyle L ( lambda, alfa, s)} lze vyjádřit jako konečný součet nad Hurwitzovou zeta funkcí. Předpokládat λ = str q { displaystyle lambda = { frac {p} {q}}} s str , q ∈ Z { displaystyle p, q in mathbb {Z}} a q > 0 { displaystyle q> 0} . Pak z = ω = E 2 π i str q { displaystyle z = omega = e ^ {2 pi i { frac {p} {q}}}} a ω q = 1 { displaystyle omega ^ {q} = 1} .
Φ ( ω , s , α ) = ∑ n = 0 ∞ ω n ( n + α ) s = ∑ m = 0 q − 1 ∑ n = 0 ∞ ω q n + m ( q n + m + α ) s = ∑ m = 0 q − 1 ω m q − s ζ ( s , m + α q ) { displaystyle Phi ( omega, s, alfa) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac { omega ^ {n}} {(n + alfa) ^ {s}} } = sum _ {m = 0} ^ {q-1} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { omega ^ {qn + m}} {(qn + m + alpha) ^ {s}}} = sum _ {m = 0} ^ {q-1} omega ^ {m} q ^ {- s} zeta (s, { frac {m + alpha} {q}} )} Mezi různé identity patří:
Φ ( z , s , A ) = z n Φ ( z , s , A + n ) + ∑ k = 0 n − 1 z k ( k + A ) s { displaystyle Phi (z, s, a) = z ^ {n} Phi (z, s, a + n) + součet _ {k = 0} ^ {n-1} { frac {z ^ {k}} {(k + a) ^ {s}}}} a
Φ ( z , s − 1 , A ) = ( A + z ∂ ∂ z ) Φ ( z , s , A ) { displaystyle Phi (z, s-1, a) = vlevo (a + z { frac { částečné} { částečné z}} vpravo) Phi (z, s, a)} a
Φ ( z , s + 1 , A ) = − 1 s ∂ ∂ A Φ ( z , s , A ) . { displaystyle Phi (z, s + 1, a) = - , { frac {1} {s}} { frac { částečné} { částečné a}} Phi (z, s, a) .} Sériové reprezentace Sériové zastoupení pro Lerchův transcendent je dáno vztahem
Φ ( z , s , q ) = 1 1 − z ∑ n = 0 ∞ ( − z 1 − z ) n ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( q + k ) − s . { displaystyle Phi (z, s, q) = { frac {1} {1-z}} součet _ {n = 0} ^ { infty} vlevo ({ frac {-z} {1 -z}} vpravo) ^ {n} sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (q + k) ^ {- s }.} (Všimněte si, že ( n k ) { displaystyle { tbinom {n} {k}}} je binomický koeficient .)
Série je platná pro všechny s a komplexně z s Re (z ) <1/2. Všimněte si obecné podobnosti s podobným zobrazením řady pro funkci Hurwitz zeta.[1]
A Taylor série v prvním parametru byla dána Erdélyi . Může být napsán jako následující řada, která je platná pro
| log ( z ) | < 2 π ; s ≠ 1 , 2 , 3 , … ; A ≠ 0 , − 1 , − 2 , … { displaystyle | log (z) | <2 pi; s neq 1,2,3, tečky; a neq 0, -1, -2, tečky} Φ ( z , s , A ) = z − A [ Γ ( 1 − s ) ( − log ( z ) ) s − 1 + ∑ k = 0 ∞ ζ ( s − k , A ) log k ( z ) k ! ] { displaystyle Phi (z, s, a) = z ^ {- a} vlevo [ gama (1-s) vlevo (- log (z) doprava) ^ {s-1} + součet _ {k = 0} ^ { infty} zeta (sk, a) { frac { log ^ {k} (z)} {k!}} vpravo]} B. R. Johnson (1974). "Zobecněná Lerchova zeta funkce" . Pacific J. Math . 53 (1): 189–193. doi :10,2140 / pjm.1974.53.189 .
Pokud n je kladné celé číslo, pak
Φ ( z , n , A ) = z − A { ∑ k = 0 k ≠ n − 1 ∞ ζ ( n − k , A ) log k ( z ) k ! + [ ψ ( n ) − ψ ( A ) − log ( − log ( z ) ) ] log n − 1 ( z ) ( n − 1 ) ! } , { displaystyle Phi (z, n, a) = z ^ {- a} vlevo { součet _ {{k = 0} nahoře k neq n-1} ^ { infty} zeta (nk , a) { frac { log ^ {k} (z)} {k!}} + left [ psi (n) - psi (a) - log (- log (z)) right ] { frac { log ^ {n-1} (z)} {(n-1)!}} doprava },} kde ψ ( n ) { displaystyle psi (n)} je funkce digamma .
A Taylor série ve třetí proměnné je dáno
Φ ( z , s , A + X ) = ∑ k = 0 ∞ Φ ( z , s + k , A ) ( s ) k ( − X ) k k ! ; | X | < ℜ ( A ) , { displaystyle Phi (z, s, a + x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} Phi (z, s + k, a) (s) _ {k} { frac { (-x) ^ {k}} {k!}}; | x | < Re (a),} kde ( s ) k { displaystyle (y) _ {k}} je Pochhammer symbol .
Série v A = -n je dána
Φ ( z , s , A ) = ∑ k = 0 n z k ( A + k ) s + z n ∑ m = 0 ∞ ( 1 − m − s ) m Li s + m ( z ) ( A + n ) m m ! ; A → − n { displaystyle Phi (z, s, a) = součet _ {k = 0} ^ {n} { frac {z ^ {k}} {(a + k) ^ {s}}} + z ^ {n} sum _ {m = 0} ^ { infty} (1 ms) _ {m} operatorname {Li} _ {s + m} (z) { frac {(a + n) ^ { m}} {m!}}; a rightarrow -n} Zvláštní případ pro n = 0 má následující řadu
Φ ( z , s , A ) = 1 A s + ∑ m = 0 ∞ ( 1 − m − s ) m Li s + m ( z ) A m m ! ; | A | < 1 , { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} {a ^ {s}}} + součet _ {m = 0} ^ { infty} (1 ms) _ {m} operatorname {Li} _ {s + m} (z) { frac {a ^ {m}} {m!}}; | a | <1,} kde Li s ( z ) { displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z)} je polylogaritmus .
An asymptotická série pro s → − ∞ { displaystyle s rightarrow - infty}
Φ ( z , s , A ) = z − A Γ ( 1 − s ) ∑ k = − ∞ ∞ [ 2 k π i − log ( z ) ] s − 1 E 2 k π A i { displaystyle Phi (z, s, a) = z ^ {- a} gama (1 s) součet _ {k = - infty} ^ { infty} [2k pi i- log ( z)] ^ {s-1} e ^ {2k pi ai}} pro | A | < 1 ; ℜ ( s ) < 0 ; z ∉ ( − ∞ , 0 ) { displaystyle | a | <1; Re (s) <0; z notin (- infty, 0)} a
Φ ( − z , s , A ) = z − A Γ ( 1 − s ) ∑ k = − ∞ ∞ [ ( 2 k + 1 ) π i − log ( z ) ] s − 1 E ( 2 k + 1 ) π A i { displaystyle Phi (-z, s, a) = z ^ {- a} gama (1-s) součet _ {k = - infty} ^ { infty} [(2k + 1) pi i- log (z)] ^ {s-1} e ^ {(2k + 1) pi ai}} pro | A | < 1 ; ℜ ( s ) < 0 ; z ∉ ( 0 , ∞ ) . { displaystyle | a | <1; Re (s) <0; z notin (0, infty).}
Asymptotická série v neúplná funkce gama
Φ ( z , s , A ) = 1 2 A s + 1 z A ∑ k = 1 ∞ E − 2 π i ( k − 1 ) A Γ ( 1 − s , A ( − 2 π i ( k − 1 ) − log ( z ) ) ) ( − 2 π i ( k − 1 ) − log ( z ) ) 1 − s + E 2 π i k A Γ ( 1 − s , A ( 2 π i k − log ( z ) ) ) ( 2 π i k − log ( z ) ) 1 − s { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} {2a ^ {s}}} + { frac {1} {z ^ {a}}} součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {e ^ {- 2 pi i (k-1) a} Gamma (1-s, a (-2 pi i (k-1) - log (z)) )} {(- 2 pi i (k-1) - log (z)) ^ {1-s}}} + { frac {e ^ {2 pi ika} Gamma (1-s, a (2 pi ik- log (z)))} {(2 pi ik- log (z)) ^ {1-s}}}} pro | A | < 1 ; ℜ ( s ) < 0. { displaystyle | a | <1; Re (s) <0.}
Asymptotická expanze Funkce polylogaritmu L i n ( z ) { displaystyle mathrm {Li} _ {n} (z)} je definován jako
L i 0 ( z ) = z 1 − z , L i − n ( z ) = z d d z L i 1 − n ( z ) . { displaystyle mathrm {Li} _ {0} (z) = { frac {z} {1-z}}, qquad mathrm {Li} _ {- n} (z) = z { frac { d} {dz}} mathrm {Li} _ {1-n} (z).} Nechat
Ω A ≡ { C ∖ [ 1 , ∞ ) -li ℜ A > 0 , z ∈ C , | z | < 1 -li ℜ A ≤ 0. { displaystyle Omega _ {a} equiv { begin {cases} mathbb {C} setminus [1, infty) & { text {if}} Re a> 0, {z in mathbb {C}, | z | <1} & { text {if}} Re a leq 0. end {cases}}} Pro | A r G ( A ) | < π , s ∈ C { displaystyle | mathrm {Arg} (a) | < pi, s in mathbb {C}} a z ∈ Ω A { displaystyle z in Omega _ {a}} , asymptotická expanze Φ ( z , s , A ) { displaystyle Phi (z, s, a)} pro velké A { displaystyle a} a opraveno s { displaystyle s} a z { displaystyle z} je dána
Φ ( z , s , A ) = 1 1 − z 1 A s + ∑ n = 1 N − 1 ( − 1 ) n L i − n ( z ) n ! ( s ) n A n + s + Ó ( A − N − s ) { displaystyle Phi (z, s, a) = { frac {1} {1-z}} { frac {1} {a ^ {s}}} + sum _ {n = 1} ^ { N-1} { frac {(-1) ^ {n} mathrm {Li} _ {- n} (z)} {n!}} { Frac {(s) _ {n}} {a ^ {n + s}}} + O (a ^ {- Ns})} pro N ∈ N { displaystyle N in mathbb {N}} , kde ( s ) n = s ( s + 1 ) ⋯ ( s + n − 1 ) { displaystyle (s) _ {n} = s (s + 1) cdots (s + n-1)} je Pochhammer symbol .[2]
Nechat
F ( z , X , A ) ≡ 1 − ( z E − X ) 1 − A 1 − z E − X . { displaystyle f (z, x, a) equiv { frac {1- (ze ^ {- x}) ^ {1-a}} {1-ze ^ {- x}}}.} Nechat C n ( z , A ) { displaystyle C_ {n} (z, a)} být jeho Taylorovými koeficienty na X = 0 { displaystyle x = 0} . Pak pro pevné N ∈ N , ℜ A > 1 { displaystyle N in mathbb {N}, Re a> 1} a ℜ s > 0 { displaystyle Re s> 0} ,
Φ ( z , s , A ) − L i s ( z ) z A = ∑ n = 0 N − 1 C n ( z , A ) ( s ) n A n + s + Ó ( ( ℜ A ) 1 − N − s + A z − ℜ A ) , { displaystyle Phi (z, s, a) - { frac { mathrm {Li} _ {s} (z)} {z ^ {a}}} = součet _ {n = 0} ^ {N -1} C_ {n} (z, a) { frac {(s) _ {n}} {a ^ {n + s}}} + O left (( Re a) ^ {1-Ns} + az ^ {- Re a} right),} tak jako ℜ A → ∞ { displaystyle Re to infty} .[3]
Software Lerchův transcendent je implementován jako LerchPhi v Javor a Mathematica a jako lerchphi v mpmath a SymPy .
Reference Apostol, T. M. (2010), „Lerchův transcendent“ , v Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , PAN 2723248 .Bateman, H. ; Erdélyi, A. (1953), Vyšší transcendentní funkce, sv. Já (PDF) , New York: McGraw-Hill . (Viz § 1.11, „Funkce Ψ (z ,s ,proti ) ", s. 27)Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Jurij Veniaminovič ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [říjen 2014]. „9.55.“. In Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabulka integrálů, sérií a produktů . Přeložil Scripta Technica, Inc. (8. vydání). Akademický tisk. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 .Guillera, Ježíši; Sondow, Jonathan (2008), „Dvojité integrály a nekonečné produkty pro některé klasické konstanty prostřednictvím analytických pokračování Lerchova transcendentu“, Deník Ramanujan , 16 (3): 247–270, arXiv :math.NT / 0506319 , doi :10.1007 / s11139-007-9102-0 , PAN 2429900 , S2CID 119131640 . (Zahrnuje různé základní identity v úvodu.)Jackson, M. (1950), „O Lerchově transcendentní a základní bilaterální hypergeometrické řadě 2 ψ 2 ", J. London Math. Soc. , 25 (3): 189–196, doi :10.1112 / jlms / s1-25.3.189 , PAN 0036882 .Johansson, F .; Blagouchine, Ia. (2019), „Výpočet Stieltjesových konstant pomocí komplexní integrace“, Matematika výpočtu , 88 (318): 1829–1850, arXiv :1804.01679 , doi :10.1090 / mcom / 3401 , PAN 3925487 , S2CID 4619883 .Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas (2002), Funkce Lerch zeta , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1014-9 , PAN 1979048 .Lerch, Mathias (1887), "Všimněte si písma K. ( w , X , s ) = ∑ k = 0 ∞ E 2 k π i X ( w + k ) s { displaystyle scriptstyle { mathfrak {K}} (w, x, s) = součet _ {k = 0} ^ { infty} {e ^ {2k pi ix} nad (w + k) ^ {s}}} " , Acta Mathematica (francouzsky), 11 (1–4): 19–24, doi :10.1007 / BF02612318 , JFM 19.0438.01 , PAN 1554747 , S2CID 121885446 .externí odkazy Aksenov, Sergej V .; Jentschura, Ulrich D. (2002), Programy C a Mathematica pro výpočet Lerchova transcendentna .Ramunas Garunkstis, Domovská stránka (2005) (Poskytuje četné reference a předtisky.) Ramunas Garunkstis, Aproximace funkce Lerch Zeta (PDF) S. Kanemitsu, Y. Tanigawa a H. Tsukada, Zobecnění Bochnerova vzorce [trvalý mrtvý odkaz ] , (nedatováno, 2005 nebo dřívější) Weisstein, Eric W. „Lerch Transcendent“ . MathWorld .„§25.14, Lerchův transcendent“ . NIST Digitální knihovna matematických funkcí . Národní institut pro standardy a technologie. 2010. Citováno 28. ledna 2012 .