Racah W koeficient - Racah W-coefficient

Racahovy W-koeficienty byly představeny Giulio Racah v roce 1942.^[1] Tyto koeficienty mají čistě matematickou definici. Ve fyzice se používají při výpočtech zahrnujících kvantově mechanické popis moment hybnosti, například v atomová teorie.

Koeficienty se objeví, když v problému existují tři zdroje momentu hybnosti. Uvažujme například atom s jedním elektronem v s orbitální a jeden elektron v a p orbitální. Každý elektron má elektronová rotace moment hybnosti a navíc orbitál p má orbitální moment hybnosti (orbitál s má nulový moment hybnosti). Atom lze popsat LS spojkou nebo jj spojka, jak je vysvětleno v článku na spojka momentu hybnosti. Transformace mezi vlnovými funkcemi, které odpovídají těmto dvěma vazbám, zahrnuje Racahův W koeficient.

Kromě fázového faktoru se Racahovy W koeficienty rovnají Wignerovým 6-j symboly, takže jakoukoli rovnici zahrnující Racahovy W-koeficienty lze přepsat pomocí 6-j symboly. To je často výhodné, protože vlastnosti symetrie 6-j symboly jsou snadněji zapamatovatelné.

Úhlová hybnost v Racahových W koeficientech. Nahoře je 2D projekce jako čtyřúhelník, dole je 3d čtyřboké uspořádání.

Racahovy koeficienty souvisí s kompenzací koeficientů pomocí

${displaystyle W (j_ {1} j_ {2} Jj_ {3}; J_ {12} J_ {23}) ekviv {frac {langle (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J_ {23 }) J | ((j_ {1} j_ {2}) J_ {12}, j_ {3}) Jangle} {sqrt {(2J_ {12} +1) (2J_ {23} +1)}}}. }$

Recoupling coefficients are elements of a unitární transformace a jejich definice je uvedena v následující části. Racahovy koeficienty mají výhodnější symetrické vlastnosti než zpětné vazební koeficienty (ale méně výhodné než 6j symboly).^[2]

Odpojení koeficientů

Spojení dvou úhlových momentů ${displaystyle mathbf {j} _ {1}}$ a ${displaystyle mathbf {j} _ {2}}$ je konstrukce simultánních vlastních funkcí ${displaystyle mathbf {J} ^ {2}}$ a ${displaystyle J_ {z}}$, kde ${displaystyle mathbf {J} = mathbf {j} _ {1} + mathbf {j} _ {2}}$, jak je vysvětleno v článku o Clebsch – Gordanovy koeficienty. Výsledek je

${displaystyle | (j_ {1} j_ {2}) JMangle = součet _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} součet _ {m_ {2} = - j_ {2}} ^ {j_ {2}} | j_ {1} m_ {1} úhel | j_ {2} m_ {2} úhel langle j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} | JMangle,}$

kde ${displaystyle J = | j_ {1} -j_ {2} |, ldots, j_ {1} + j_ {2}}$ a ${displaystyle M = -J, ldots, J}$.

Spojení tří úhlových momentů ${displaystyle mathbf {j} _ {1}}$, ${displaystyle mathbf {j} _ {2}}$, a ${displaystyle mathbf {j} _ {3}}$, lze provést prvním spojením ${displaystyle mathbf {j} _ {1}}$ a ${displaystyle mathbf {j} _ {2}}$ na ${displaystyle mathbf {J} _ {12}}$ a další spojka ${displaystyle mathbf {J} _ {12}}$ a ${displaystyle mathbf {j} _ {3}}$ na celkovou moment hybnosti ${displaystyle mathbf {J}}$:

${displaystyle | ((j_ {1} j_ {2}) J_ {12} j_ {3}) JMangle = součet _ {M_ {12} = - J_ {12}} ^ {J_ {12}} součet _ {m_ {3} = - j_ {3}} ^ {j_ {3}} | (j_ {1} j_ {2}) J_ {12} M_ {12} úhel | j_ {3} m_ {3} úhelník J_ { 12} M_ {12} j_ {3} m_ {3} | JMangle}$

Alternativně může jeden první pár ${displaystyle mathbf {j} _ {2}}$ a ${displaystyle mathbf {j} _ {3}}$ na ${displaystyle mathbf {J} _ {23}}$ a další pár ${displaystyle mathbf {j} _ {1}}$ a ${displaystyle mathbf {J} _ {23}}$ na ${displaystyle mathbf {J}}$:

${displaystyle | (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J_ {23}) JMangle = součet _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} součet _ { M_ {23} = - J_ {23}} ^ {J_ {23}} | j_ {1} m_ {1} úhel | (j_ {2} j_ {3}) J_ {23} M_ {23} úhel langle j_ {1} m_ {1} J_ {23} M_ {23} | JMangle}$

Výsledkem obou spojovacích schémat je úplná ortonormální základna pro ${displaystyle (2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1) (2j_ {3} +1)}$ rozměrný prostor překlenut

${displaystyle | j_ {1} m_ {1} úhel | j_ {2} m_ {2} úhel | j_ {3} m_ {3} úhel;; m_ {1} = - j_ {1}, ldots, j_ { 1} ;;; m_ {2} = - j_ {2}, ldots, j_ {2} ;;; m_ {3} = - j_ {3}, ldots, j_ {3}.}$

Proto jsou dvě základny celkového momentu hybnosti spojeny jednotkovou transformací. Maticové prvky této jednotné transformace jsou dány a skalární součin a jsou známy jako zpětné vazební koeficienty. Koeficienty jsou nezávislé na ${displaystyle M}$ a tak máme

${displaystyle | ((j_ {1} j_ {2}) J_ {12} j_ {3}) JMangle = součet _ {J_ {23}} | (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J_ {23}) JMangle langle (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J_ {23}) J | ((j_ {1} j_ {2}) J_ {12} j_ {3}) Zvonit.}$

Nezávislost ${displaystyle M}$ následuje snadno napsáním této rovnice pro ${displaystyle M = J}$ a použití spouštěcí operátor ${displaystyle J _ {-}}$ na obě strany rovnice.

Algebra

Nechat

${displaystyle Delta (a, b, c) = [(a + bc)! (a-b + c)! (- a + b + c)! / (a ​​+ b + c + 1)!] ^ {1 / 2}}$

je obvyklý trojúhelníkový faktor, pak Racahův koeficient je součinem čtyř z nich součtem přes faktoriály,

${displaystyle W (abcd; ef) = Delta (a, b, e) Delta (c, d, e) Delta (a, c, f) Delta (b, d, f) w (abcd; ef)}$

kde

${displaystyle w (abcd; ef) ekviv. součet _ {z} {frac {(-1) ^ {z + eta _ {1}} (z + 1)!} {(z-alfa _ {1})! (z -alpha _ {2})! (z-alpha _ {3})! (z-alpha _ {4})! (eta _ {1} -z)! (eta _ {2} -z)! (eta _ {3} -z)!}}}$

a

${displaystyle alpha _ {1} = a + b + e; quad eta _ {1} = a + b + c + d;}$

${displaystyle alpha _ {2} = c + d + e; quad eta _ {2} = a + d + e + f;}$

${displaystyle alpha _ {3} = a + c + f; quad eta _ {3} = b + c + e + f;}$

${displaystyle alpha _ {4} = b + d + f.}$

Součet přes ${displaystyle z}$ je konečný v celém rozsahu^[3]

${displaystyle max (alpha _ {1}, alpha _ {2}, alpha _ {3}, alpha _ {4}) leq zleq min (eta _ {1}, eta _ {2}, eta _ {3}) .}$

Vztah k Wignerovu symbolu 6-j

Racahovy W koeficienty souvisejí s Wignerovými 6-j symboly, které mají ještě pohodlnější vlastnosti symetrie

${displaystyle W (abcd; ef) (- 1) ^ {a + b + c + d} = {egin {Bmatrix} a & b & e d & c & fend {Bmatrix}}.}$

Srov.^[4] nebo

${displaystyle W (j_ {1} j_ {2} Jj_ {3}; J_ {12} J_ {23}) = (- 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3} + J} {egin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & J_ {12} j_ {3} & J & J_ {23} end {Bmatrix}}.}$

Viz také

• Clebsch – Gordanovy koeficienty
• 3-j symbol
• 6-j symbol
• Pandya věta

Poznámky

Další čtení

• Edmonds, A. R. (1957). Moment hybnosti v kvantové mechanice. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN  0-691-07912-9.
• Condon, Edward U .; Shortley, G. H. (1970). "Kapitola 3". Teorie atomového spektra. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-09209-4.
• Messiah, Albert (1981). Kvantová mechanika (svazek II) (12. vydání). New York: North Holland Publishing. ISBN  0-7204-0045-7.
• Sato, Masachiyo (1955). "Obecný vzorec Racahova koeficientu". Pokrok teoretické fyziky. 13 (4): 405–414. Bibcode:1955PThPh..13..405S. doi:10.1143 / PTP.13.405.
• Brink, D. M .; Satchler, G. R. (1993). "Kapitola 2". Moment hybnosti (3. vyd.). Oxford: Clarendon Press. ISBN  0-19-851759-9.
• Zare, Richard N. (1988). "Kapitola 2". Moment hybnosti. New York: John Wiley. ISBN  0-471-85892-7.
• Biedenharn, L. C .; Louck, J. D. (1981). Moment hybnosti v kvantové fyzice. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN  0-201-13507-8.

externí odkazy

• „Racah-Wignerovy koeficienty“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]