Szilassi mnohostěn - Szilassi polyhedron

Szilassi mnohostěn
Typ	Toroidní mnohostěn
Tváře	7 šestiúhelníky
Hrany	21
Vrcholy	14
χ	0 (rod 1)
Konfigurace vrcholů	6.6.6
Skupina symetrie	C1, [ ]+, (11)
Duální mnohostěn	Császár mnohostěn
Vlastnosti	Nekonvexní

The Szilassi mnohostěn je nekonvexní mnohostěn, topologicky a torus se sedmi šestihranný tváře.

Interaktivní ortografická projekce s každou tváří jinou barvou. v obrázek SVG, pohybem myši doleva a doprava model otočíte.^[1]

Barvení a symetrie

Každá plocha tohoto mnohostěnu sdílí hranu s druhou tváří. Výsledkem je, že k zbarvení všech sousedních ploch vyžaduje sedm barev, což poskytuje spodní hranici pro sedm barevná věta. Má osa 180 stupňů symetrie; tři páry ploch jsou shodné a zanechávají jeden nepárový šestiúhelník, který má stejnou rotační symetrii jako mnohostěn. 14 vrcholů a 21 okrajů Szilassiho mnohostěnu tvoří vložku Heawoodův graf na povrch torusu.

Kompletní sousedství

GIF animace

The čtyřstěn a mnohostěn Szilassi jsou jediné dva známé mnohostěny, ve kterých každá plocha sdílí hranu s druhou stranou.

Pokud mnohostěn s F plochy jsou vloženy na povrch s h díry takovým způsobem, že každá plocha sdílí hranu s druhou tváří, následuje nějaká manipulace s Eulerova charakteristika že

${ displaystyle h = { frac {(f-4) (f-3)} {12}}.}$

Tato rovnice je pro čtyřstěn splněna h = 0 a F = 4 a pro Szilassiho mnohostěn s h = 1 a F = 7.

Další možné řešení, h = 6 a F = 12, odpovídá mnohostěnu se 44 vrcholy a 66 hranami. Není však známo, zda lze takový mnohostěn realizovat geometricky (spíše než jako mnohostěn) abstraktní mnohostěn ). Obecněji lze tuto rovnici přesně splnit, když F je shodný s 0, 3, 4 nebo 7 modulo 12.

Dějiny

Szilassiho mnohostěn je pojmenován po maďarském matematikovi Lajos Szilassi, který ji objevil v roce 1977. The dvojí na Szilassiho mnohostěn, Császár mnohostěn, byla objevena dříve uživatelem Ákos Császár  (1949 ); má sedm vrcholů, 21 okrajů spojujících každou dvojici vrcholů a 14 trojúhelníkových ploch. Stejně jako Szilassiho mnohostěn má Császárův mnohostěn topologii torusu.

Nevyřešený problém v matematice: Existuje nekonvexní mnohostěn s více než sedmi plochami, které všechny sdílejí navzájem hranu? (více nevyřešených úloh z matematiky)

Reference

• Császár, Ákos (1949), "Mnohostěn bez úhlopříček", Acta Sci. Matematika. Segedín, 13: 140–142.
• Gardner, Martin (1978), „Ve kterém se matematická estetika aplikuje na moderní minimální umění“, Matematické hry, Scientific American, 239 (5): 22–32, doi:10.1038 / scientificamerican1178-22.
• Jungerman, M .; Ringel, Gerhard (1980), „Minimální triangulace na orientovatelných površích“, Acta Mathematica, 145 (1–2): 121–154, doi:10.1007 / BF02414187.
• Peterson, Ivarsi (2007), „Mnohostěn s dírou“, MathTrek, Mathematical Association of America.^{[mrtvý odkaz ]}
• Szilassi, Lajos (1986), „Pravidelné toroidy“ (PDF), Strukturální topologie, 13: 69–80

externí odkazy

• Eso, Tomi, Szilassi mnohostěn.
• Weisstein, Eric W. „Szilassi Polyhedron“. MathWorld.
• Szilassi Mnohostěn - Papercraft model na CutOutFoldUp.com