Oscilační kruh - Osculating circle

Oscilační kruh

Oscilační kruhy Archimédova spirála, vnořené do Tait – Kneserova věta. „Samotná spirála není nakreslena: vidíme ji jako místo bodů, kde jsou kružnice obzvláště blízko u sebe.“^[1]

v diferenciální geometrie křivek, oscilační kruh dostatečně hladké roviny křivka v daném bodě p na křivce byl tradičně definován jako kruh procházející p a pár dalších bodů na křivce nekonečně blízko k p. Jeho střed leží na vnitřní straně normální linka, a jeho zakřivení definuje zakřivení dané křivky v daném bodě. Tento kruh, který je jedním ze všech tečné kruhy v daném bodě, který se nejvíce blíží křivce, byl pojmenován Circulus osculans (Latinsky „kissing circle“) od Leibniz.

Volá se střed a poloměr oscilační kružnice v daném bodě střed zakřivení a poloměr zakřivení křivky v tomto bodě. Geometrickou konstrukci popsal Isaac Newton v jeho Principia:

Na všech místech je dána rychlost, s jakou těleso popisuje danou postavu, pomocí sil namířených na nějaký společný střed: najít tento střed.
— Isaac Newton, Principia; NÁVRH V. PROBLÉM I.

Netechnický popis

Představte si auto, které se pohybuje po zakřivené silnici na obrovské ploché rovině. Najednou se v jednom bodě podél silnice zablokuje volant ve své současné poloze. Poté se auto pohybuje v kruhu, který „líbá“ silnici v místě zamykání. The zakřivení kruhu v tomto bodě se rovná té silnice. Tento kruh je oscilační kruh silniční křivky v tomto bodě.

Matematický popis

Nechat ${ displaystyle gamma}$ (s) být a pravidelná parametrická rovinná křivka, kde s je délka oblouku (dále jen přirozený parametr ). To určuje jednotkový tangens vektor T(s), normální vektor jednotky N(s), podepsané zakřivení k (s) a poloměr zakřivení R (s) v každém bodě, pro který s je složen:

{ displaystyle T (s) = gama '(s), quad T' (s) = k (s) N (s), quad R (s) = { frac {1} { vlevo | k (s) vpravo |}}.}

Předpokládejme to P je bod na y kde k ≠ 0. Odpovídajícím středem zakřivení je bod Q na dálku R podél N, stejným směrem, pokud k je pozitivní a v opačném směru, pokud k je negativní. Kruh se středem v Q a s poloměrem R se nazývá oscilační kruh na křivku y na místě P.

Li C je pravidelná prostorová křivka, pak je oscilační kruh definován podobným způsobem pomocí hlavní normální vektor N. Leží v oscilační rovina, rovina překlenutá tečnami a hlavními normálovými vektory T a N na místě P.

Rovinná křivka může být také uvedena v jiné pravidelné parametrizaci

${ displaystyle gamma (t) , = , { začátek {pmatrix} x_ {1} (t) x_ {2} (t) konec {pmatrix}} ,}$

kde regulární znamená, že ${ displaystyle gamma '(t) neq 0}$ pro všechny ${ displaystyle t}$ . Pak vzorce pro podepsané zakřivení k(t), normální jednotkový vektor N(t), poloměr zakřivení R(t) a střed Q(t) oscilační kružnice jsou

{ displaystyle k (t) = { frac {x_ {1} '(t) cdot x_ {2}' (t) -x_ {1} '' (t) cdot x_ {2} '(t )} {{Big (} x_ {1} '(t) ^ {2} + x_ {2}' (t) ^ {2} { Big)} ^ { frac {3} {2}}} } qquad qquad qquad qquad N (t) , = , { frac {1} { | gamma '(t) |}} cdot { begin {pmatrix} -x_ {2} '(t) x_ {1}' (t) end {pmatrix}}}

{ displaystyle R (t) = left | { frac {{ Big (} x_ {1} '(t) ^ {2} + x_ {2}' (t) ^ {2} { Big)} ^ { frac {3} {2}}} {x_ {1} '(t) cdot x_ {2}' '(t) -x_ {1}' '(t) cdot x_ {2}' ( t)}} vpravo | qquad qquad mathrm {a} qquad qquad Q (t) , = , gamma (t) , + , { frac {1} {k (t) cdot | gamma '(t) |}} cdot { begin {pmatrix} -x_ {2}' (t) x_ {1} '(t) end {pmatrix}} ,. }

Kartézské souřadnice

Můžeme získat střed oscilační kružnice v kartézských souřadnicích, pokud dosadíme ${ displaystyle t = x}$ a ${ displaystyle y = f (x)}$ pro některé F funkce. Pokud provedeme výpočty, výsledky pro souřadnice X a Y středu oscilační kružnice jsou:

{ displaystyle x_ {c} = x-f '{ frac {1 + f' ^ {2}} {f ''}} qquad qquad { text {and}} qquad qquad y_ {c} = f + { frac {1 + f '^ {2}} {f' '}}}

Vlastnosti

Pro křivku C vzhledem k dostatečně plynulým parametrickým rovnicím (dvakrát spojitě diferencovatelné) lze oscilační kružnici získat omezujícím postupem: je to mez kružnic procházejících třemi odlišnými body na C jak se tyto body blíží P.^[2] To je zcela analogické s konstrukcí tečna na křivku jako limit sečnaných čar skrz páry odlišných bodů C blížící se P.

Oscilační kruh S na rovinnou křivku C v pravidelném bodě P lze charakterizovat následujícími vlastnostmi:

Kruh S prochází P.
Kruh S a křivka C mít společná tečna linka na P, a tedy společná normální linka.
Blízko k P, vzdálenost mezi body křivky C a kruh S v normálním směru se rozpadá jako kostka nebo vyšší síla vzdálenosti do P v tangenciálním směru.

To se obvykle vyjadřuje jako „křivka a její oscilační kruh mají druhý nebo vyšší řád Kontakt " na P. Volně řečeno, vektorové funkce představující C a S dohodnout společně s jejich prvním a druhým derivátem na P.

Pokud je derivace zakřivení vzhledem k s je nenulová v P pak oscilační kruh protíná křivku C na P. Body P při kterém je derivace zakřivení nulová vrcholy. Li P je vrchol C a jeho oscilační kruh mají kontakt řádu nejméně tří. Pokud má navíc zakřivení nenulovou hodnotu místní maximum nebo minimálně na P pak se oscilační kruh dotkne křivky C na P ale nepřekročí to.

Křivka C lze získat jako obálka jedné parametrické rodiny jeho oscilačních kruhů. Jejich centra, tj. Středy zakřivení, tvoří další křivku zvanou evoluce z C. Vrcholy C odpovídají singulárním bodům na jeho vývoji.

V jakémkoli oblouku křivky C ve kterém je zakřivení monotónní (tj. od jakéhokoli vrchol křivky), všechny oscilační kruhy jsou disjunktní a vnořené do sebe. Tento výsledek je znám jako Tait-Kneserova věta.^[1]

Příklady

Parabola

Oscilační kruh paraboly na svém vrcholu má poloměr 0,5 a kontakt čtvrtého řádu.

Pro parabolu

{ displaystyle gamma (t) = { begin {pmatrix} t t ^ {2} end {pmatrix}}}

poloměr zakřivení je

{ displaystyle R (t) = left | { frac { left (1 + 4 cdot t ^ {2} right) ^ { frac {3} {2}}} {2}} right | }

Na vrcholu ${ displaystyle gamma (0) = { začátek {pmatrix} 0 0 konec {pmatrix}}}$ poloměr zakřivení se rovná R (0) = 0,5 (viz obrázek). Parabola má kontakt čtvrtého řádu se svým oscilačním kruhem. Pro velké t poloměr zakřivení se zvětší ~ t³, to znamená, že se křivka stále více narovnává.

Lissajousova křivka

Animace oscilační kružnice na Lissajousovu křivku

A Lissajousova křivka s poměrem frekvencí (3: 2) lze parametrizovat následujícím způsobem

{ displaystyle gamma (t) , = , { začátek {pmatrix} cos (3t) sin (2t) end {pmatrix}} ,.}

Má podepsané zakřivení k(t), normální jednotkový vektor N(t) a poloměr zakřivení R(t) dána

{ displaystyle k (t) = { frac {6 cos (t) (8 ( cos t) ^ {4} -10 ( cos t) ^ {2} +5)} {(232 ( cos t) ^ {4} -97 ( cos t) ^ {2} + 13-144 ( cos t) ^ {6}) ^ {3/2}}} ,,}

{ displaystyle N (t) , = , { frac {1} { | gamma '(t) |}} cdot { begin {pmatrix} -2 cos (2t) - 3 sin (3t) end {pmatrix}}}

a

{ displaystyle R (t) = vlevo | { frac {(232 ( cos t) ^ {4} -97 ( cos t) ^ {2} + 13-144 ( cos t) ^ {6} ) ^ {3/2}} {6 cos (t) (8 ( cos t) ^ {4} -10 ( cos t) ^ {2} +5)}} doprava | ,.})

Na obrázku je animace. Tam je „vektor zrychlení“ druhou derivací ${ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} gama (y)} { mathrm {d} s ^ {2}}}}$ s respektem k délka oblouku ${ displaystyle s}$ .

Cykloidní

Cykloidní (modrá), její oscilační kruh (červená) a evoluční (zelená).

A cykloidní s poloměrem r lze parametrizovat takto:

{ displaystyle gamma (t) , = , { začátek {pmatrix} r (t- sin t) r (1- cos t) konec {pmatrix}}}

Jeho zakřivení je dáno následujícím vzorcem:^[3]

{ displaystyle kappa (t) = - { frac { left | csc left ({ frac {1} {2}} t right) right |} {4r}}}

který dává:

{ displaystyle R (t) = { frac {4r} { levý | csc levý ({ frac {1} {2}} t pravý) pravý |}}}

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b Ghys, Étienne; Tabachnikov, Sergej; Timorin, Vladlen (2013). „Oscilační křivky: kolem Tait-Kneserovy věty“. Matematický zpravodaj. 35 (1): 61–66. arXiv:1207.5662. doi:10.1007 / s00283-012-9336-6. PAN 3041992. S2CID 18183204.
^ Vlastně bod P plus dva další body, jeden na obou stranách P udělám. Viz Jehněčí (on-line): Horace Lamb (1897). Základní kurz nekonečně malého počtu. University Press. p.406. oscilační kruh.
^ Weisstein, Eric W. "Cykloidní". MathWorld.

Další čtení

Některé historické poznámky ke studiu zakřivení viz

Grattan-Guinness a H. J. M. Bos (2000). Od kalkulu k teorii množin 1630-1910: Úvodní historie. Princeton University Press. p. 72. ISBN 0-691-07082-2.
Roy Porter, editor (2003). Cambridge History of Science: v4 - Věda osmnáctého století. Cambridge University Press. p. 313. ISBN 0-521-57243-6.

Pro použití na manévrování vozidel viz

JC Alexander a JH Maddocks (1988): O manévrování vozidel doi:10.1137/0148002
Murray S. Klamkin (1990). Problémy v aplikované matematice: výběr z přehledu SIAM. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. p. 1. ISBN 0-89871-259-9.

externí odkazy

[gtt-1] A ^b Ghys, Étienne; Tabachnikov, Sergej; Timorin, Vladlen (2013). „Oscilační křivky: kolem Tait-Kneserovy věty“. Matematický zpravodaj. 35 (1): 61–66. arXiv:1207.5662. doi:10.1007 / s00283-012-9336-6. PAN 3041992. S2CID 18183204.

[Lamb-2] Vlastně bod P plus dva další body, jeden na obou stranách P udělám. Viz Jehněčí (on-line): Horace Lamb (1897). Základní kurz nekonečně malého počtu. University Press. p.406. oscilační kruh.

[3] Weisstein, Eric W. "Cykloidní". MathWorld.

[1]

[2]

[3]