Markov přepíná multifraktál - Markov switching multifractal - Wikipedia

tento článek poskytuje nedostatečný kontext osobám, které toto téma neznají. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Listopad 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Finanční ekonometrie, Markovův spínací multifraktál (MSM) je model výnosů aktiv vyvinutý společností Laurent E. Calvet a Adlai J. Fisher, který zahrnuje stochastická volatilita komponenty heterogenní trvání.^[1][2] MSM zachycuje odlehlé hodnoty, jako log-paměť volatilita vytrvalost a kolísání síly finanční výnosy. V měnových a akciových řadách je MSM příznivě srovnáván se standardem modely volatility jako GARCH (1,1) a FIGARCH ve vzorku i mimo něj. MSM používají odborníci ve finančním odvětví k prognózování volatilita, vypočítat hodnota v riziku a cena deriváty.

Specifikace MSM

Model MSM lze zadat v diskrétním i kontinuálním čase.

Diskrétní čas

Nechat ${ displaystyle P_ {t}}$ označit cenu finančního aktiva a nechat ${ displaystyle r_ {t} = ln (P_ {t} / P_ {t-1})}$ označuje návratnost za dvě po sobě jdoucí období. V MSM jsou vráceny zadány jako

${ displaystyle r_ {t} = mu + { bar { sigma}} (M_ {1, t} M_ {2, t} ... M _ {{ bar {k}}, t}) ^ { 1/2} epsilon _ {t},}$

kde ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle sigma}$ jsou konstanty a {${ displaystyle epsilon _ {t}}$} jsou nezávislí standardní Gaussové. Volatilita je poháněna latkovským stavovým vektorem latentního prvního řádu:

${ displaystyle M_ {t} = (M_ {1, t} M_ {2, t} tečky M _ {{ bar {k}}, t}) v R _ {+} ^ { bar {k}} .}$

Vzhledem k stavu volatility ${ displaystyle M_ {t}}$, multiplikátor příštího období ${ displaystyle M_ {k, t + 1}}$ je čerpáno z pevné distribuce M s pravděpodobností ${ displaystyle gamma _ {k}}$, a jinak zůstane beze změny.

${ displaystyle M_ {k, t}}$ čerpáno z distribuce M	s pravděpodobností ${ displaystyle gamma _ {k}}$
${ displaystyle M_ {k, t} = M_ {k, t-1}}$	s pravděpodobností ${ displaystyle 1- gamma _ {k}}$

Pravděpodobnosti přechodu jsou specifikovány

${ displaystyle gamma _ {k} = 1- (1- gamma _ {1}) ^ {(b ^ {k-1})}}$.

Sekvence ${ displaystyle gamma _ {k}}$ je přibližně geometrický ${ displaystyle gamma _ {k} přibližně gamma _ {1} b ^ {k-1}}$ při nízké frekvenci. Okrajové rozdělení M má jednotkový průměr, má pozitivní podporu a je nezávislý na k.

Binomický MSM

V empirických aplikacích distribuce M je často diskrétní distribuce, která může nabývat hodnot ${ displaystyle m_ {0}}$ nebo ${ displaystyle 2-m_ {0}}$ se stejnou pravděpodobností. Proces návratu ${ displaystyle r_ {t}}$ je pak specifikován parametry ${ displaystyle theta = (m_ {0}, mu, { bar { sigma}}, b, gamma _ {1})}$. Počet parametrů je u všech stejný ${ displaystyle { bar {k}}> 1}$.

Nepřetržitý čas

MSM je podobně definován v nepřetržitém čase. Cenový proces sleduje šíření:

${ displaystyle { frac {dP_ {t}} {P_ {t}}} = mu dt + sigma (M_ {t}) , dW_ {t},}$

kde ${ displaystyle sigma (M_ {t}) = { bar { sigma}} (M_ {1, t} tečky M _ {{ bar {k}}, t}) ^ {1/2}}$, ${ displaystyle W_ {t}}$ je standardní Brownův pohyb a ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle { bar { sigma}}}$ jsou konstanty. Každá komponenta sleduje dynamiku:

${ displaystyle M_ {k, t}}$ čerpáno z distribuce M	s pravděpodobností ${ displaystyle gamma _ {k} dt}$
${ displaystyle M_ {k, t + dt} = M_ {k, t}}$	s pravděpodobností ${ displaystyle 1- gamma _ {k} dt}$

Intenzity se geometricky mění k:

${ displaystyle gamma _ {k} = gamma _ {1} b ^ {k-1}.}$

Když počet komponent ${ displaystyle { bar {k}}}$ jde do nekonečna, MSM spojitého času konverguje k multifraktální difúzi, jejíž vzorové cesty berou kontinuum místních Hölderových exponentů v jakémkoli konečném časovém intervalu.

Závěr a pravděpodobnost uzavřené formy

Když ${ displaystyle M}$ má diskrétní distribuce, Markovův státní vektor ${ displaystyle M_ {t}}$ má konečně mnoho hodnot ${ displaystyle m ^ {1}, ..., m ^ {d} v R _ {+} ^ { bar {k}}}$. Například existují ${ displaystyle d = 2 ^ { bar {k}}}$ možné stavy v binomickém MSM. Markovovu dynamiku charakterizuje přechodová matice ${ displaystyle A = (a_ {i, j}) _ {1 leq i, j leq d}}$ s komponenty ${ displaystyle a_ {i, j} = P vlevo (M_ {t + 1} = m ^ {j} | M_ {t} = m ^ {i} vpravo)}$Podmínka stavu volatility, návratnost ${ displaystyle r_ {t}}$ má Gaussovu hustotu

${ displaystyle f (r_ {t} | M_ {t} = m ^ {i}) = { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2} (m ^ {i})}} } exp left [- { frac {(r_ {t} - mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2} (m ^ {i})}} right].}$

Podmíněné rozdělení

Pravděpodobnost uzavřené formy

Funkce pravděpodobnosti protokolu má následující analytický výraz:

${ displaystyle ln L (r_ {1}, tečky, r_ {T}; theta) = součet _ {t = 1} ^ {T} ln [ omega (r_ {t}). ( Pi _ {t-1} A)].}$

Maximální pravděpodobnost poskytuje přiměřeně přesné odhady v konečných vzorcích.^[2]

Další metody odhadu

Když ${ displaystyle M}$ má kontinuální distribuce, odhad může probíhat simulovanou metodou momentů,^[3][4] nebo simulovaná pravděpodobnost pomocí filtru částic.^[5]

Prognózy

Dáno ${ displaystyle r_ {1}, tečky, r_ {t}}$, podmíněné rozdělení vektoru latentního stavu k datu ${ displaystyle t + n}$ darováno:

${ displaystyle { hat { Pi}} _ {t, n} = Pi _ {t} A ^ {n}. ,}$

MSM často poskytuje lepší předpovědi volatility než některé z nejlepších tradičních modelů ve vzorku i mimo něj. Calvet a Fisher^[2] hlásí značné zisky v předpovědích volatility směnných kurzů v horizontu 10 až 50 dnů ve srovnání s GARCH (1,1), Markov-Switching GARCH,^[6][7] a frakčně integrovaný GARCH.^[8] Lux^[4] získá podobné výsledky pomocí lineárních předpovědí.

Aplikace

Více aktiv a hodnota v riziku

Rozšíření MSM na více aktiv poskytují spolehlivé odhady hodnoty v riziku v portfoliu cenných papírů.^[5]

Ceny aktiv

Ve finanční ekonomii se MSM používá k analýze cenových dopadů multifrekvenčního rizika. Modely zaznamenaly určitý úspěch při vysvětlování nadměrné volatility výnosů akcií ve srovnání se základy a negativní nerovnosti výnosů akcií. Byly také použity ke generování multifraktálních skokových difúzí.^[9]

Související přístupy

MSM je stochastický model volatility^[10][11] s libovolně mnoha frekvencemi. MSM staví na výhodnosti modelů přepínání režimu, které byly v oblasti ekonomiky a financí pokročilé James D. Hamilton.^[12][13] MSM úzce souvisí s Multifrakční model návratnosti majetku.^[14] MSM vylepšuje kombinatorickou konstrukci MMAR randomizací časů příjezdu a zaručuje striktně stacionární proces. MSM poskytuje čistou formulaci přepínání režimů multifraktálních opatření, která byla průkopníkem Benoit Mandelbrot.^[15][16][17]

Viz také

• Brownův pohyb
• Markovův řetězec
• Multifrakční model návratnosti aktiv
• Multifrakční
• Stochastická volatilita

Reference

externí odkazy

• Finanční časová řada, multifraktály a skryté Markovovy modely