Semikubická parabola - Semicubical parabola

Semikubická parabola pro různé A.

v matematika, a vrcholový krychlový nebo semikubická parabola je algebraická rovinná křivka definováno rovnice formuláře

• (A)${ displaystyle quad y ^ {2} -a ^ {2} x ^ {3} ; = , 0 ;, ; a> 0 ;.}$

Řešení pro ${ displaystyle y}$ vede k explicitní forma

• (E1) ${ displaystyle quad y = pm ax ^ { frac {3} {2}} ;, ; x geq 0 ;,}$

což je příčinou termínu semikubická parabola.
(Parabolu ve zdravém slova smyslu lze popsat rovnicí ${ displaystyle y = sekera ^ {2}}$.)
Řešení (A) pro ${ displaystyle x}$ dává druhý explicitní forma

• (E2) ${ displaystyle quad x = { Big (} { frac {y} {a}} { Big)} ^ { color {red} { frac {2} {3}}} ;, quad y in mathbb {R} ;.}$

Rovnice (A) ukázat to

• (P)${ displaystyle quad x = t ^ {2} ;, quad y = v ^ {3} ;, quad t v mathbb {R} ;,}$

je parametrická reprezentace křivky. ^[1]

Délka oblouku křivky byla vypočítána anglickým matematikem William Neile a publikováno v roce 1657 (viz sekce Historie ). ^[2].

Vlastnosti semikubických paraboly

Podobnost

• Jakákoli semikubická parabola ${ displaystyle (t ^ {2}, v ^ {3})}$ je podobný do semikubická jednotka parabola ${ displaystyle (u ^ {2}, u ^ {3})}$ .

Důkaz: Podobnost ${ displaystyle (x, y) rightarrow (a ^ {2} x, a ^ {2} y)}$ (jednotné měřítko) mapuje semikubickou parabolu ${ displaystyle (t ^ {2}, v ^ {3})}$ na křivku ${ displaystyle ((zavináč) ^ {2}, (zavináč) ^ {3}) = (u ^ {2}, u ^ {3})}$ s ${ displaystyle u = at}$.

Jedinečnost

• Parametrická reprezentace ${ displaystyle (t ^ {2}, v ^ {3})}$ je pravidelný až na v bodě ${ displaystyle (0,0)}$. V bodě ${ displaystyle (0,0)}$ křivka má a jedinečnost (hrot).

The důkaz vyplývá z tečného vektoru ${ displaystyle (2t, 3t ^ {2}) ^ {T}}$. Pouze pro ${ displaystyle t = 0}$ tento vektor má nulovou délku.

Tečna v semikubické parabole

Tečny

Rozlišování semikubická jednotka parabola ${ displaystyle ; y = pm x ^ { frac {3} {2}} ;}$ jeden se dostane do bodu ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ z horní větvi rovnici tečny:

• ${ displaystyle y = { frac { sqrt {x_ {0}}} {2}} { Big (} 3x-x_ {0} { Big)} ;.}$

Tato tečna protíná dolní větev přesně v jednom dalším bodě se souřadnicemi ^[3]

• ${ displaystyle { Big (} { frac {x_ {0}} {4}}, - { frac {y_ {0}} {8}} { Big)} ;.}$

(K prokázání tohoto tvrzení by měl být použit fakt, že tečna splňuje křivku v ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ dvakrát.)

Délka oblouku

Určení délka oblouku křivky ${ displaystyle (x (t), y (t))}$ jeden musí vyřešit integrál ${ displaystyle int { sqrt {x '(t) ^ {2} + y' (t) ^ {2}}} ; dt}$. Pro semikubickou parabolu ${ displaystyle (t ^ {2}, v ^ {3}), ; 0 leq t leq b ;,}$ jeden dostane

${ displaystyle int _ {0} ^ {b} { sqrt {x '(t) ^ {2} + y' (t) ^ {2}}} ; dt = int _ {0} ^ { b} t { sqrt {4 + 9a ^ {2} t ^ {2}}} ; dt = cdots = { Big [} { frac {1} {27a ^ {2}}} (4+ 9a ^ {2} t ^ {2}) ^ { frac {3} {2}} { Big]} _ {0} ^ {b} ;.}$

(Integrál lze vyřešit pomocí substituce ${ displaystyle u = 4 + 9a ^ {2} t ^ {2}}$.)

Příklad: Pro ${ displaystyle a = 1}$ (semikubická jednotka parabola) a ${ displaystyle b = 2}$, což znamená délku oblouku mezi počátkem a bodem ${ displaystyle (4,8)}$, jeden dostane délku oblouku ${ displaystyle 9.073 ;.}$

Evoluce jednotky paraboly

• The vývoj parabola ${ displaystyle (t ^ {2}, t)}$ je semikubická parabola posunutá o 1/2 podél osy x: ${ displaystyle ({ frac {1} {2}} + t ^ {2}, { frac {4} {{ sqrt {3}} ^ {3}}} t ^ {3}) ;. }$

Polární souřadnice

Abychom získali reprezentaci semikubické paraboly ${ displaystyle (t ^ {2}, v ^ {3})}$ v polárních souřadnicích se určí průsečík přímky ${ displaystyle y = mx}$ s křivkou. Pro ${ displaystyle m neq 0}$ existuje jeden bod odlišný od původu: ${ displaystyle ({ frac {m ^ {2}} {a ^ {2}}}, { frac {m ^ {3}} {a ^ {2}}})}$. Tento bod má vzdálenost ${ displaystyle { frac {m ^ {2}} {a ^ {2}}} { sqrt {1 + m ^ {2}}}}$ od původu. S ${ displaystyle m = tan varphi}$ a ${ displaystyle sec ^ {2} varphi = 1 + tan ^ {2} varphi}$ (viz Seznam identit ) jeden dostane ^[4]

• ${ displaystyle r = { Big (} { frac { tan varphi} {a}} { Big)} ^ {2} cdot sec varphi ;, quad - pi / 2 < varphi < pi / 2 .}$

Vztah mezi semikubickou parabolou a krychlový funkce (zelená)

Vztah mezi semikubickou parabolou a kubickou funkcí

Mapování semikubické paraboly ${ displaystyle (t ^ {2}, t ^ {3})}$ podle projektivní mapa ${ displaystyle (x, y) rightarrow ({ tfrac {x} {y}}, { tfrac {1} {y}})}$ (involutorická perspektiva s osou ${ displaystyle y = 1}$ a střed ${ displaystyle (0, -1)}$ ) výnosy ${ displaystyle ({ frac {1} {t}}, { frac {1} {t ^ {3}}})}$, proto kubická funkce ${ displaystyle y = x ^ {3}}$. Vrchol (počátek) semikubické paraboly se vymění s bodem v nekonečnu osy y.

Tuto vlastnost lze také odvodit, pokud představuje semikubickou parabolu homogenní souřadnice: V rovnici (A) náhrada ${ displaystyle x = { tfrac {x_ {1}} {x_ {3}}}, ; y = { tfrac {x_ {2}} {x_ {3}}}}$ (přímka v nekonečnu má rovnici ${ displaystyle x_ {3} = 0}$.) a násobení ${ displaystyle x_ {3} ^ {3}}$ se provádí. Jeden dostane rovnici křivky

• v homogenní souřadnice: ${ displaystyle quad x_ {3} x_ {2} ^ {2} -x_ {1} ^ {3} = 0 ;.}$

Volba řádku ${ displaystyle x _ { color {red} 2} = 0}$ jako čára v nekonečnu a zavádění ${ displaystyle x = { tfrac {x_ {1}} {x_ {2}}}, ; y = { tfrac {x_ {3}} {x_ {2}}}}$ získá (afinní) křivku ${ displaystyle y = x ^ {3} ;.}$

Isochronová křivka

Další definující vlastností semikubické paraboly je, že se jedná o izochronová křivka, což znamená, že částice, která sleduje svoji dráhu a je tažena gravitací, cestuje ve stejných časových obdobích stejnými svislými intervaly. Tímto způsobem souvisí s tautochronová křivka, u kterých částicím v různých počátečních bodech trvá dosažení dna vždy stejnou dobu, a brachistochronová křivka, křivka, která minimalizuje čas potřebný pro cestu padající částice od jejího začátku do konce.

Dějiny

Semikubickou parabolu objevil v roce 1657 William Neile kdo vypočítal jeho délka oblouku. Ačkoli délky některých dalších nealgebraických křivek včetně logaritmická spirála a cykloidní byly již vypočítány (tj. ty křivky byly opraveno), semikubická parabola byla první algebraická křivka (kromě čára a kruh ) k opravě.^{[1][sporný (pro: Zdá se, že parabola a další kuželovité úseky byly opraveny dlouho předtím) – diskutovat]}

Reference

• August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , 1875, Disertační práce
• Clifford A. Pickover: Délka Neilovy semikubické paraboly

externí odkazy

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Neilina semikubická parabola“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.