Plochý (geometrie) - Flat (geometry)

v geometrie, a byt nebo Euklidovský podprostor je podmnožinou a Euklidovský prostor to je samo o sobě euklidovský prostor (nižší dimenze ). Byty v dvourozměrném prostoru jsou bodů a řádky a byty v trojrozměrný prostor jsou body, úsečky a letadla.

V $n$ -rozměrný prostor, existují byty každé dimenze od 0 do $n - 1$ .^[1] Byty dimenze $n - 1$ jsou nazývány hyperplanes.

Byty jsou afinní podprostory euklidovských prostorů, což znamená, že jsou podobné lineární podprostory kromě toho, že nemusí projít původ. Byty se vyskytují v lineární algebra, jako geometrické realizace sad řešení z soustavy lineárních rovnic.

Byt je a potrubí a algebraická rozmanitost, a někdy se mu říká a lineární potrubí nebo lineární odrůda odlišit ji od jiných variet nebo odrůd.

Popisy

Rovnicemi

Byt lze popsat a soustava lineárních rovnic. Například čáru v dvourozměrném prostoru lze popsat jedinou lineární rovnicí zahrnující $X$ a $y$ :

{displaystyle 3x + 5y = 8.}

V trojrozměrném prostoru zahrnuje jedinou lineární rovnici $X$ , $y$ , a $z$ definuje rovinu, zatímco k popisu přímky lze použít dvojici lineárních rovnic. Obecně platí, že lineární rovnice v $n$ proměnné popisuje nadrovinu a systém lineárních rovnic popisuje průsečík těch hyperplánů. Za předpokladu, že rovnice jsou konzistentní a lineárně nezávislé, systém $k$ rovnice popisuje plošný rozměr $n - k$ .

Parametrické

Plochý lze také popsat systémem lineárních parametrické rovnice. Přímku lze popsat rovnicemi zahrnujícími jednu parametr:

{displaystyle x = 2 + 3t, ​​;;;; y = -1 + t ;;;; z = {frac {3} {2}} - 4t}

zatímco popis roviny by vyžadoval dva parametry:

{displaystyle x = 5 + 2t_ {1} -3t_ {2}, ;;;; y = -4 + t_ {1} + 2t_ {2} ;;;; z = 5t_ {1} -3t_ {2}. ,!}

Obecně platí, že parametrizace bytu dimenze $k$ by vyžadovalo parametry $t 1, \dots , t k$ .

Provoz a vztahy v bytech

Protínající se, rovnoběžné a šikmé plochy

An průsečík bytů je byt nebo prázdná sada.^[2]

Pokud je každá čára z jednoho bytu rovnoběžná s nějakou přímkou z jiného bytu, pak jsou tyto dva byty paralelní. Dva paralelní byty stejné dimenze se shodují nebo neprotínají; lze je popsat dvěma systémy lineárních rovnic, které se liší pouze na pravé straně.

Pokud se byty neprotínají a žádná čára z prvního bytu není rovnoběžná s přímkou z druhého bytu, pak jsou to šikmé byty. Je to možné pouze v případě, že součet jejich rozměrů je menší než rozměr okolního prostoru.

Připojit se

Pro dva ploché byty $k 1$ a $k 2$ existuje minimální byt, který je obsahuje, maximálně dimenze $k 1 + k 2 + 1$ . Pokud se protínají dva byty, pak se rozměr obsahujícího bytu rovná $k 1 + k 2$ minus rozměr průniku.

Vlastnosti operací

Tyto dvě operace (označované jako setkat a připojit se) vytvořte sadu všech bytů v Euklidovi $n$ -prostor a mříž a může vytvářet systematické souřadnice bytů v jakékoli dimenzi, což vede k Grassmann souřadnice nebo dvojité souřadnice Grassmann. Například čára v trojrozměrném prostoru je určena dvěma odlišnými body nebo dvěma odlišnými rovinami.

Mřížka všech bytů však není a distribuční mříž Pokud jsou dva řádky $ℓ 1$ a $ℓ 2$ protínají se $ℓ 1 \cap ℓ 2$ je bod. Li $p$ je tedy bod, který neleží ve stejné rovině $(ℓ 1 \cap ℓ 2) + p = (ℓ 1 + p) \cap (ℓ 2 + p)$ , oba představují čáru. Ale když $ℓ 1$ a $ℓ 2$ jsou paralelní, tohle distribučnost selže, dávat $p$ na levé straně a třetí rovnoběžná čára na pravé straně.

Euklidovská geometrie

Výše uvedená fakta nezávisí na struktuře euklidovského prostoru (jmenovitě zahrnující Euklidovská vzdálenost ) a v každém jsou správné afinní prostor. V euklidovském prostoru:

Mezi plochým a bodovým bodem je vzdálenost. (Viz například Vzdálenost od bodu k rovině a Vzdálenost od bodu k přímce.)
Mezi dvěma plochami je vzdálenost, která se rovná 0, pokud se protínají. (Viz například Vzdálenost mezi dvěma liniemi (ve stejné rovině) a Šikmé čáry # Vzdálenost.)
Tady je úhel mezi dvěma byty, které patří do intervalu $[0, π / 2]$ mezi 0 a pravý úhel. (Viz například Dihedrální úhel (mezi dvěma rovinami). Viz také Úhly mezi plochami.)

Viz také

Poznámky

^ Kromě toho celý $n$ -dimenzionální prostor, který je podmnožinou sebe sama, lze také považovat za $n$ -rozměrný byt.
^ Lze považovat za −1 -byt.

Reference

Heinrich Guggenheimer (1977) Použitelná geometrie, strana 7, Krieger, New York.
Stolfi, Jorge (1991), Orientovaná projektivní geometrie, Akademický tisk, ISBN 978-0-12-672025-9
Z originálu Stanford Ph.D. disertační práce, Primitiva pro výpočetní geometrii, k dispozici jako Zpráva o výzkumu DEC SRC 36.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Hyperplane". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Byt". MathWorld.

[1] Kromě toho celý $n$ -dimenzionální prostor, který je podmnožinou sebe sama, lze také považovat za $n$ -rozměrný byt.

[2] Lze považovat za −1 -byt.

[1]

[2]