Izotropní linie - Isotropic line

V geometrii kvadratické formy, an izotropní linie nebo nulová čára je čára pro které je kvadratická forma aplikovaná na vektor posunutí mezi jakoukoli dvojicí jeho bodů nulová. K izotropní čáře dochází pouze u znaku izotropní kvadratická forma, a nikdy s určitá kvadratická forma.

Použitím složitá geometrie, Edmond Laguerre nejprve navrhl existenci dvou izotropních čar skrz bod (α, β) které závisí na imaginární jednotka $i$ :^[1]

První systém:

{displaystyle (y- eta) = (x-alfa) i,}

Druhý systém:

{displaystyle (y- eta) = - i (x-alfa).}

Laguerre poté tyto řádky interpretoval jako geodetika:

Základní vlastností izotropních čar, kterou lze použít k jejich definování, je následující: vzdálenost mezi dvěma body izotropní linie nachází se v konečné vzdálenosti v rovině je nula. Jinými slovy tyto řádky splňují diferenciální rovnice ds² = 0. Libovolně povrch lze studovat křivky, které splňují tuto diferenciální rovnici; tyto křivky jsou geodetické linie povrchu a my jim také říkáme izotropní čáry.^[1]^:90

V složitá projektivní rovina, body jsou reprezentovány homogenní souřadnice ${displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ a čáry homogenními souřadnicemi ${displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$ . An izotropní linie ve složité projektivní rovině splňuje rovnici:^[2]

{displaystyle a_ {3} (x_ {2} pm ix_ {1}) = (a_ {2} pm ia_ {1}) x_ {2}.}

Pokud jde o afinní podprostor X₃ = 1, izotropní čára procházející počátkem je

{displaystyle x_ {2} = pm ix_ {1}.}

V projektivní geometrii jsou izotropní čáry ty, které procházejí kruhové body v nekonečnu.

Ve skutečné ortogonální geometrii Emil Artin, izotropní čáry se vyskytují ve dvojicích:

Non-singulární rovina, která obsahuje izotropní vektor, se nazývá a hyperbolická rovina. Vždy jej lze překlenout dvojicí N, M vektorů, které splňují

{displaystyle N ^ {2} = M ^ {2} = 0, quad NM = 1.}

Každému takto objednanému páru zavoláme N, M hyperbolický pár. Li PROTI je nesingulární rovina s ortogonální geometrií a N ≠ 0 je izotropní vektor PROTI, pak existuje přesně jeden M v PROTI takhle N, M je hyperbolický pár. Vektory x N a y M jsou pak jedinými izotropními vektory PROTI.^[3]

Relativita

Izotropní čáry byly použity v kosmologickém psaní k přenosu světla. Například v matematické encyklopedii se světlo skládá z fotony: „The světová linka nulové klidové hmotnosti (jako je nekvantový model fotonu a dalších elementárních částic s nulovou hmotností) je izotropní linie. "^[4]U izotropních čar vedoucích počátkem je konkrétní bod a nulový vektor a sběr všech takových izotropních linií tvoří světelný kužel na počátku.

Élie Cartan rozšířil koncept izotropních linek na multivektory ve své knize o rotory ve třech rozměrech.^[5]

Reference

^ ^A ^b Edmond Laguerre (1870) „Sur l’emploi des imaginaires en la géométrie“, Oeuvres de Laguerre 2: 89
^ C. E. Springer (1964) Geometrie a analýza projektivních prostorů, strana 141, W. H. Freeman and Company
^ Emil Artin (1957) Geometrická algebra, strana 119
^ Encyclopedia of Mathematics Světová linie
^ Cartan, Élie (1981) [1938], Teorie spinorů, New York: Dover Publications, str. 17, ISBN 978-0-486-64070-9, PAN 0631850

Pete L. Clark, Kapitola I: Kvadratické formy: Wittova teorie z University of Miami v Coral Gables, Florida.
O. Timothy O'Meara (1963,2000) Úvod do kvadratických forem, strana 94

[Laguerre-1] A ^b Edmond Laguerre (1870) „Sur l’emploi des imaginaires en la géométrie“, Oeuvres de Laguerre 2: 89

[2] C. E. Springer (1964) Geometrie a analýza projektivních prostorů, strana 141, W. H. Freeman and Company

[3] Emil Artin (1957) Geometrická algebra, strana 119

[4] Encyclopedia of Mathematics Světová linie

[5] Cartan, Élie (1981) [1938], Teorie spinorů, New York: Dover Publications, str. 17, ISBN 978-0-486-64070-9, PAN 0631850

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]