Sériový vztah - Serial relation

v teorie množin, obor matematiky, a sériový vztah, také nazývaný a levo-celkový vztah, je binární relace R pro které je každý prvek doména má odpovídající rozsah prvek (∀ X ∃ y x R y).

Například v ℕ = přirozená čísla, relace „méně než“ (<) je sériová. Na jeho doména, a funkce je sériové.

A reflexivní vztah je sériový vztah, ale obrácený není pravdivý. Sériový vztah to však je symetrický a tranzitivní lze ukázat jako reflexivní. V tomto případě je vztah vztah ekvivalence.

Pokud přísný řád je sériové, pak nemá maximální prvek.

v Euklidovský a afinní geometrie, sériová vlastnost vztahu rovnoběžky ${displaystyle (mparallel n)}$ je vyjádřeno Playfairův axiom.

v Principia Mathematica, Bertrand Russell a A. N. Whitehead viz "vztahy, které generují řadu"^[1] tak jako sériové vztahy. Jejich představa se od tohoto článku liší v tom, že vztah může mít konečný rozsah.

Pro vztah R nechť {y: xRy } označují "sousedství sousedů" z X. Sériový vztah lze ekvivalentně charakterizovat jako každý prvek, který má neprázdnou sousední sousedství. Podobně inverzní seriál relace je relace, ve které má každý prvek neprázdné „předcházející sousedství“.^[2] Více obyčejně, inverzní sériový vztah se nazývá a surjektivní vztah, a je určen sériovým číslem konverzní vztah.^[3]

v normální modální logika, rozšíření základní sady axiomů K. výsledkem vlastnosti serial v sadě axiomů D.^[4]

Algebraická charakterizace

Sériové vztahy lze algebraicky charakterizovat rovností a nerovností kolem relační kompozice. Li ${displaystyle Rsubseteq X je Y}$ a ${displaystyle Ssubseteq Y imes Z}$ jsou dva binární vztahy, pak jejich složení R ; S je definován jako vztah ${displaystyle R {;} S = {(x, z) v X imes Zmid existuje yin Y: (x, y) v Rlandu (y, z) v S}.}$

Li R je tedy sériový vztah S ; R = ∅ naznačuje S = ∅, pro všechny sady Ž a vztahy S ⊆ Ž×X, kde ∅ označuje prázdný vztah.^[5]^[6]
Nechť L je univerzální vztah: ${displaystyle forall yforall z.yLz}$ . A charakterizace^{[vyjasnit ]} sériového vztahu R je ${displaystyle R; L = L}$ .^[7]
Další algebraické charakterizace^{[vyjasnit ]} sériového vztahu zahrnuje doplňuje of relations: Pro jakýkoli vztah S, pokud R je tedy sériové ${displaystyle {overline {R; S}} subseteq R; {ar {S}}}$ , kde ${displaystyle {ar {S}}}$ označuje doplněk ${displaystyle S}$ . Tato charakteristika vyplývá z distribuce složení přes unii.^[5]^:57^[8]
Sériový vztah R stojí na rozdíl od prázdného vztahu ∅ v tom smyslu ${displaystyle {overline {emptyset; L}} = L}$ zatímco ${displaystyle {overline {R; L}} = emptyset.}$ ^[5]^:63

jiný charakterizace^{[vyjasnit ]} použijte vztah identity ${displaystyle I}$ a konverzní vztah ${displaystyle R ^ {T}}$ z ${displaystyle R}$ :

${displaystyle Isubseteq R; R ^ {T}}$
${displaystyle {ar {R}} subseteq R; {ar {I}}.}$ ^[5]^[3]

Reference

^ B. Russell a A. N. Whitehead (1910) Principia Mathematica, svazek jedna, strana 141 z Michiganská univerzita Historická matematická sbírka
^ Yao, Y. (2004). "Sémantika fuzzy množin v teorii hrubých množin". Transakce na hrubých sadách II. Přednášky z informatiky. 3135. str. 309. doi:10.1007/978-3-540-27778-1_15. ISBN 978-3-540-23990-1.
^ ^A ^b Gunther Schmidt (2011). Relační matematika. Cambridge University Press. doi:10.1017 / CBO9780511778810. ISBN 9780511778810. Definice 5.8, strana 57.
^ James Garson (2013) Modální logika pro filozofy, kapitola 11: Vztahy mezi modálními logikami, obrázek 11.1 strana 220, Cambridge University Press doi:10.1017 / CBO97811393421117.014
^ ^A ^b ^C ^d Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas (6. prosince 2012). Vztahy a grafy: Diskrétní matematika pro počítačové vědce. Springer Science & Business Media. str. 54. ISBN 978-3-642-77968-8.
^ Li S ≠ ∅ a R je tedy sériové ${displaystyle existuje wexists x.wSx}$ naznačuje ${displaystyle existuje wexists xexists y.wSxland xRy}$ , proto ${displaystyle existují wexisty y.w (S; R) y}$ , proto ${displaystyle S; Žádost prázdná}$ . Vlastnost následuje kontrapozicí.
^ ${displaystyle P = R; L = {(x, z): existuje y.xRyland yLz}}$ Od té doby R je sériový, vzorec v množině porozumění pro P platí pro každého X a z, tak ${displaystyle P = L}$ .
^ Li R je tedy sériové ${displaystyle L = R; L = R; (Scup {ar {S}}) = (R; S) šálek (R; {ar {S}})}$ , proto ${displaystyle {overline {R; S}} subseteq R; {ar {S}}}$ .

Jing Tao Yao a Davide Ciucci a Yan Zhang (2015). „Zobecněné hrubé sady“. V Janusz Kacprzyk a Witold Pedrycz (ed.). Příručka výpočetní inteligence. Springer. 413–424. ISBN 9783662435052. Tady: strana 416.
Yao, Y.Y .; Wong, S.K.M. (1995). "Zobecnění hrubých množin pomocí vztahů mezi hodnotami atributů" (PDF). Sborník z 2. výroční společné konference o informačních vědách: 30–33..

[1] B. Russell a A. N. Whitehead (1910) Principia Mathematica, svazek jedna, strana 141 z Michiganská univerzita Historická matematická sbírka

[Yao2005-2] Yao, Y. (2004). "Sémantika fuzzy množin v teorii hrubých množin". Transakce na hrubých sadách II. Přednášky z informatiky. 3135. str. 309. doi:10.1007/978-3-540-27778-1_15. ISBN 978-3-540-23990-1.

[GS11-3] A ^b Gunther Schmidt (2011). Relační matematika. Cambridge University Press. doi:10.1017 / CBO9780511778810. ISBN 9780511778810. Definice 5.8, strana 57.

[4] James Garson (2013) Modální logika pro filozofy, kapitola 11: Vztahy mezi modálními logikami, obrázek 11.1 strana 220, Cambridge University Press doi:10.1017 / CBO97811393421117.014

[R&G-5] A ^b ^C ^d Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas (6. prosince 2012). Vztahy a grafy: Diskrétní matematika pro počítačové vědce. Springer Science & Business Media. str. 54. ISBN 978-3-642-77968-8.

[6] Li S ≠ ∅ a R je tedy sériové ${displaystyle existuje wexists x.wSx}$ naznačuje ${displaystyle existuje wexists xexists y.wSxland xRy}$ , proto ${displaystyle existují wexisty y.w (S; R) y}$ , proto ${displaystyle S; Žádost prázdná}$ . Vlastnost následuje kontrapozicí.

[7] ${displaystyle P = R; L = {(x, z): existuje y.xRyland yLz}}$ Od té doby R je sériový, vzorec v množině porozumění pro P platí pro každého X a z, tak ${displaystyle P = L}$ .

[8] Li R je tedy sériové ${displaystyle L = R; L = R; (Scup {ar {S}}) = (R; S) šálek (R; {ar {S}})}$ , proto ${displaystyle {overline {R; S}} subseteq R; {ar {S}}}$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]