Borsuks dohad - Borsuks conjecture - Wikipedia

Příklad a šestiúhelník nakrájíme na tři kusy menšího průměru.

The Borsukův problém v geometrii, z historických důvodů^{[poznámka 1]} nesprávně volal Borsuk dohad, je otázka v diskrétní geometrie. Je pojmenován po Karol Borsuk.

Problém

V roce 1932 Karol Borsuk ukázal^[2] že obyčejný 3-dimenzionální míč v Euklidovský prostor lze snadno rozdělit na 4 pevné látky, z nichž každá má menší průměr než míč a obecně n-dimenzionální koule může být pokryta n + 1 kompaktní sady průměrů menších než koule. Zároveň to dokázal n podmnožiny obecně nestačí. Důkaz je založen na Borsuk – Ulamova věta. To vedlo Borsuka k obecné otázce:

Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ v (n + 1) Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat?^[2]

To lze přeložit jako:

Následující otázka zůstává otevřená: Může každý ohraničený podmnožina E prostoru ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ být rozdělené do (n + 1) sady, z nichž každá má menší průměr než E?

Na otázku bylo kladně odpovězeno v následujících případech:

• n = 2 - což je původní výsledek Karola Borsuka (1932).
• n = 3 - ukazuje Julian Perkal (1947),^[3] a nezávisle, o 8 let později, H. G. Eggleston (1955).^[4] Jednoduchý důkaz našel později Branko Grünbaum a Aladár Heppes.
• Pro všechny n pro hladký konvexní těla - zobrazeno Hugo Hadwiger (1946).^[5][6]
• Pro všechny n pro centrálně symetrický těla - zobrazeno A.S. Ryzlink rýnský (1971).^[7]
• Pro všechny n pro těla revoluce - ukazuje Boris Dekster (1995).^[8]

Problém byl nakonec vyřešen v roce 1993 Jeff Kahn a Gil Kalai, který ukázal, že obecná odpověď na Borsukovou otázku je Ne.^[9] Tvrdí, že to ukazuje jejich konstrukce n + 1 kusy nestačí n = 1325 a pro každého n > 2014. Jak však uvedl Bernulf Weißbach,^[10] první část tohoto tvrzení je ve skutečnosti nepravdivá. Ale po zdokonalení neoptimálního závěru v rámci odpovídající derivace lze skutečně ověřit jednu z vytvořených množin bodů jako protipříklad pro n = 1325 (stejně jako všechny vyšší rozměry až do 1560).^[11]

Jejich výsledek vylepšili v roce 2003 Hinrichs a Richter, kteří konstruovali konečné sady pro n ≥ 298, na které nelze rozdělit oddíly n + 11 části menšího průměru.^[1]

V roce 2013 Andriy V. Bondarenko ukázal, že Borsukova domněnka je falešná pro všechny n ≥ 65.^[12][13] Krátce nato Thomas Jenrich odvodil 64-dimenzionální protiklad z Bondarenkovy konstrukce, čímž dal doposud to nejlepší.^[14][15]

Kromě zjištění minimálního počtu n rozměrů tak, aby počet kusů ${ displaystyle alpha (n)> n + 1}$, matematiky zajímá zjištění obecného chování funkce ${ displaystyle alpha (n)}$. Kahn a Kalai to ukazují obecně (tj. Pro n dostatečně velký), jeden potřebuje ${ displaystyle alpha (n) geq (1.2) ^ { sqrt {n}}}$ mnoho kusů. Citují také horní hranici Oded Schramm, který ukázal, že pro každého ε, pokud n je dostatečně velký, ${ displaystyle alpha (n) leq left ({ sqrt {3/2}} + varepsilon right) ^ {n}}$.^[16] Správné pořadí α(n) je stále neznámý.^[17] Předpokládá se však, že existuje konstanta C > 1 takhle ${ displaystyle alpha (n)> c ^ {n}}$ pro všechny n ≥ 1.

Viz také

• Hadwigerova domněnka na zakrytí konvexních těl menšími kopiemi

Poznámka

Reference

Další čtení

• Oleg Pikhurko, Algebraické metody v kombinatorice, poznámky k kurzu.
• Andrei M. Raigorodskii, Problém rozdělení Borsuk: sedmdesáté výročí, Matematický zpravodaj 26 (2004), č. 3, 4–12.
• Raigorodskii, Andreii M. (2008). "Tři přednášky o problému rozdělení na Borsuk". V Young, Nicholas; Choi, Yemon (eds.). Průzkumy v současné matematice. Série přednášek London Mathematical Society. 347. Cambridge University Press. 202–247. ISBN  978-0-521-70564-6. Zbl  1144.52005.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Borsukova domněnka“. MathWorld.