Hauptvermutung - Hauptvermutung
The Hauptvermutung (Němec pro hlavní domněnka) z geometrická topologie je otázka, zda nějaké dva triangulace a trojúhelníkový prostor mít dělení, která jsou kombinatoricky ekvivalentní, tj. rozdělené triangulace jsou vytvořeny ve stejném kombinatorickém vzoru.
To bylo původně formulováno jako domněnka v roce 1908 Ernst Steinitz a Heinrich Franz Friedrich Tietze, ale nyní je známo, že je špatně.
Verze bez potrubí byla vyvrácena uživatelem John Milnor v roce 1961 pomocí Reidemeister torze.[1]
Dějiny
The potrubí verze platí v rozměry . Případy a byly prokázány Tibor Radó a Edwin E. Moise ve 20. a 50. letech.[2][3][4]
Překážku pro variantní verzi formuloval Andrew Casson a Dennis Sullivan v letech 1967–69 (původně v jednoduše připojeno případ), pomocí Rochlinův invariant a kohomologická skupina .
A homeomorfismus z m-dimenzionální po částech lineární potrubí má neměnný takové, že pro , je izotopový na po částech lineární (PL) homeomorfismus právě tehdy . V jednoduše připojeném případě a s , je homotopický k homeomorfismu PL, pokud a jen pokud .
Překážka potrubí Hauptvermutung je nyní považována za relativní verzi triangulační překážky Robion Kirby a Laurent C. Siebenmann, získané v roce 1970. The Kirby – Siebenmann obstrukce je definován pro všechny kompaktní m-dimenzionální topologické potrubí M
opět pomocí Rochlinova invariantu. Pro , potrubí M má strukturu PL (tj. může být triangulován PL potrubím) právě tehdy , a pokud je tato překážka 0, jsou struktury PL parametrizovány pomocí . Zejména existuje pouze konečný počet v podstatě odlišných struktur PL M.
Pro kompaktní jednoduše připojené rozdělovače dimenze 4, Simon Donaldson našel příklady s nekonečným počtem nerovností PL struktury, a Michael Freedman našel Rozdělovač E8 který nejenže nemá PL strukturu, ale (z práce Cassona) není ani homeomorfní pro zjednodušený komplex.[5]
V roce 2013, Ciprian Manolescu dokázal, že existují kompaktní topologické rozmanitosti dimenze 5 (a tedy jakékoli dimenze větší než 5), které nejsou homeomorfní pro zjednodušený komplex.[6] Cassonův příklad tak ilustruje obecnější jev, který se neomezuje pouze na dimenzi 4.
Reference
- ^ Milnor, John W. (1961). "Dva komplexy, které jsou homeomorfní, ale kombinatoricky odlišné". Annals of Mathematics. 74 (2): 575–590. doi:10.2307/1970299. JSTOR 1970299. PAN 0133127.
- ^ Radó, Tibor (1925). „Über den Begriff der Riemannschen Fläche“. Acta Scientarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis. 2 (1): 96–114. doi:10.2307/1969769. JSTOR 1969769. PAN 0048805.
- ^ Moise, Edwin E. (1952). "Afinní struktury ve 3-varietách. V. Věta o triangulaci a Hauptvermutung". Annals of Mathematics. 56 (2): 101–121. doi:10.2307/1969769. JSTOR 1969769.
- ^ Moise, Edwin E. (1977). Geometrická topologie v dimenzích 2 a 3. New York: New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90220-3.
- ^ Akbulut, Selmane; McCarthy, John D. (1990). Cassonův invariant pro 3 sféry orientované homologie. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08563-3. PAN 1030042.
- ^ Manolescu, Ciprian (2016) [2015]. „Pin (2) -ekvivariantní Seiberg – Witten Floer homologie a Triangulační domněnka“. Journal of the American Mathematical Society. 29: 147–176. arXiv:1303.2354. doi:10.1090 / džemy829.
externí odkazy
- http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/haupt Dodatečný materiál, včetně původních zdrojů
- Yuli Rudyak "Kusové lineární struktury na topologických rozdělovačích" ISBN 978-981-4733-78-6
- Andrew Ranicki (vyd.) Hauptvermutung Book ISBN 0-7923-4174-0
- Andrew Ranicki Vysokodimenzionální potrubí dříve a nyní