Von Neumann domněnka - Von Neumann conjecture

v matematika, von Neumannova domněnka uvedl, že a skupina G je ne-přístupný kdyby a jen kdyby G obsahuje a podskupina to je volná skupina na dva generátory. Domněnka byla vyvrácena v roce 1980.

V roce 1929, během své práce na Banach – Tarski paradox, John von Neumann definoval pojem přístupné skupiny a ukázal, že žádná přístupná skupina neobsahuje a bezplatná podskupina hodnosti 2. Návrh, který by mohl platit obráceně, to znamená, že každá skupina, která není přístupná, obsahuje volnou podskupinu na dvou generátorech, předložila řada různých autorů v 50. a 60. letech. Ačkoli von Neumannovo jméno je populárně připojeno k domněnce, jeho první písemná podoba se zdá být způsobena Mahlon Marsh Day v roce 1957.

The Prsa alternativa je základní věta, která zejména zakládá domněnku v rámci třídy lineární skupiny.

Historicky první potenciální protipříklad je Skupina Thompson F. I když je jeho přístupnost široce otevřeným problémem, ukázalo se, že obecná domněnka byla v roce 1980 nepravdivá Alexander Ol'shanskii; to prokázal Tarski skupiny příšer Postavený jím, u kterého je snadno vidět, že nemá volné podskupiny 2. úrovně, nelze použít. O dva roky později, Sergej Adian ukázal to jistě Burnside skupiny jsou také protiklady. Žádný z těchto protipříkladů není konečně představen a po několik let se považovalo za možné, že domněnka platí pro konečně prezentované skupiny. V roce 2003 však Alexander Ol'shanskii a Mark Sapir vystavil soubor definitivně prezentovaných skupin, které nevyhovují domněnce.

V roce 2013, Nicolas Monod našel snadný protiklad k domněnce. Vzhledem k dílčím projektivním homeomorfismům linie je skupina pozoruhodně jednoduchá na pochopení. I když to není přístupné, sdílí mnoho známých vlastností přístupných skupin přímo. V roce 2013 Yash Lodha a Justin Tatch Moore izoloval konečně prezentovanou nepřizpůsobivou podskupinu Monodovy skupiny. To poskytuje první konečně prezentovaný protiklad bez zkroucení a připouští prezentaci se 3 generátory a 9 vztahy. Lodha později ukázal, že tato skupina uspokojuje vlastnictví ${ displaystyle F _ { infty}}$, což je silnější vlastnost konečnosti.

Reference

• Adian, Sergej (1982), „Náhodné procházky volnými periodickými skupinami“, Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. Rohož. (v Rusku), 46 (6): 1139–1149, 1343, Zbl  0512.60012
• Day, Mahlon M. (1957), „Opravitelné poloskupiny“, Ill. J. Math., 1: 509–544, Zbl  0078.29402
• Ol'shanskii, Alexander (1980), „K otázce existence invariantního průměru ve skupině“, Uspekhi Mat. Nauk (v Rusku), 35 (4): 199–200, Zbl  0452.20032
• Ol'shanskii, Alexander; Sapir, Mark (2003), „Neodstraňovatelné konečně prezentované torzní cyklické skupiny“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 96 (1): 43–169, arXiv:matematika / 0208237, doi:10.1007 / s10240-002-0006-7, Zbl  1050.20019
• Monod, Nicolasi (2013), „Skupiny po částech projektivních homeomorfismů“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 110 (12): 4524–4527, arXiv:1209.5229, Bibcode:2013PNAS..110,4524M, doi:10.1073 / pnas.1218426110, Zbl  1305.57002
• Lodha, Yash; Moore, Justin Tatch (2016), „Nezměnitelná konečně představená skupina po částech projektivních homeomorfismů“, Skupiny, geometrie a dynamika, 10 (1): 177–200, arXiv:1308,4250v3, doi:10,4171 / GGD / 347, PAN  3460335
• Lodha, Yash (2020), „Nepřeměnitelný typ ${ displaystyle F _ { infty}}$ skupina po částech projektivních homeomorfismů ", Časopis topologie, 13 (4): 1767–1838, doi:10.1112 / topo.12172