Domněnka Ganea - Ganea conjecture

Ganeina domněnka je nárok v algebraická topologie, nyní vyvráceno. Uvádí to

${displaystyle operatorname {cat} (X imes S ^ {n}) = operatorname {cat} (X) +1}$

pro všechny ${displaystyle n> 0}$, kde ${displaystyle operatorname {cat} (X)}$ je Kategorie Lusternik – Schnirelmann a topologický prostor X, a Sⁿ je n-dimenzionální koule.

Nerovnost

${displaystyle operatorname {cat} (X imes Y) leq operatorname {cat} (X) + operatorname {cat} (Y)}$

drží pro jakýkoli pár prostorů, ${displaystyle X}$ a ${displaystyle Y}$. Dále ${displaystyle operatorname {cat} (S ^ {n}) = 1}$, pro jakoukoli sféru ${displaystyle S ^ {n}}$, ${displaystyle n> 0}$. Domněnka tedy činí ${displaystyle operatorname {cat} (X imes S ^ {n}) geq operatorname {cat} (X) +1}$.

Domněnku formuloval Tudor Ganea v roce 1971. Bylo prokázáno mnoho konkrétních případů této domněnky, až nakonec Norio Iwase uvedl protiklad v roce 1998. V návazné práci z roku 2002 uvedl Iwase ještě silnější protiklad, s X uzavřený, hladké potrubí. Tento protipříklad také vyvrátil související domněnku a uvedl to

${displaystyle operatorname {cat} (Msetminus {p}) = operatorname {cat} (M) -1,}$

pro uzavřené potrubí ${displaystyle M}$ a ${displaystyle p}$ bod dovnitř ${displaystyle M}$.

Tato práce vyvolává otázku: Pro které prostory X je podmínka Ganea, ${displaystyle operatorname {cat} (X imes S ^ {n}) = operatorname {cat} (X) +1}$, spokojený? Předpokládalo se, že to jsou přesně ty prostory X pro který ${displaystyle operatorname {cat} (X)}$ rovná se související invariant, ${displaystyle operatorname {Qcat} (X).}$^{[kým? ]}

Reference

• Ganea, Tudor (1971). "Některé problémy s numerickými homotopy invarianty". Symposium on Algebraic Topology (Battelle Seattle Res. Center, Seattle Wash., 1971). Přednášky z matematiky. 249. Berlín: Springer. str. 23–30. doi:10.1007 / BFb0060892. PAN  0339147.
• Hess, Kathryn (1991). „Důkaz domněnky Ganea pro racionální prostory“. Topologie. 30 (2): 205–214. doi:10.1016 / 0040-9383 (91) 90006-P. PAN  1098914.
• Iwase, Norio (1998). „Ganea je domněnka o kategorii Lusternik – Schnirelmann“. Bulletin of London Mathematical Society. 30 (6): 623–634. CiteSeerX  10.1.1.509.2343. doi:10.1112 / S0024609398004548. PAN  1642747.
• Iwase, Norio (2002). "A_∞-metoda v kategorii Lusternik – Schnirelmann “. Topologie. 41 (4): 695–723. arXiv:matematika / 0202119. doi:10.1016 / S0040-9383 (00) 00045-8. PAN  1905835.
• Vandembroucq, Lucile (2002). „Odpružení Fibrewise a kategorie Lusternik – Schnirelmann“. Topologie. 41 (6): 1239–1258. doi:10.1016 / S0040-9383 (02) 00007-1. PAN  1923222.