Gilbreathovy dohady - Gilbreaths conjecture - Wikipedia

Gilbreathova domněnka je dohad v teorie čísel týkající se sekvence generované použitím operátor dopředného rozdílu za sebou prvočísla a ponechání výsledků nepodepsaných a následné opakování tohoto procesu za sebou ve výsledné sekvenci atd. Výkaz je pojmenován po Norman L. Gilbreath který ji v roce 1958 představil matematické komunitě poté, co náhodně sledoval vzor při provádění aritmetiky na ubrousku.^[1] V roce 1878, osmdesát let před Gilbreathovým objevem, François Proth zveřejnil však stejná pozorování spolu s pokusem o důkaz, který se později ukázal jako nepravdivý.^[1]

Motivující aritmetika

Gilbreath sledoval vzor při hraní s uspořádanou řadou prvočísel

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

Výpočet absolutní hodnota rozdílu mezi termínem n+1 a termín n v této sekvenci se získá sekvence

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...

Pokud se provede stejný výpočet pro pojmy v této nové posloupnosti a posloupnost, která je výsledkem tohoto procesu, a znovu ad infinitum pro každou posloupnost, která je výstupem takového výpočtu, je následujících pět posloupností v tomto seznamu

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 2, ...

Gilbreath - a François Proth před ním - si všimli, že první člen v každé sérii rozdílů se zdá být 1.

Domněnka

Formální vyjádření Gilbreathova pozorování je podstatně snazší po vytvoření notace pro sekvence v předchozí části. Za tímto účelem, pojďme ${ displaystyle {p_ {n} }}$ označit seřazenou posloupnost prvočísel ${ displaystyle p_ {n}}$a definujte každý termín v pořadí ${ displaystyle {d_ {n} ^ {1} }}$ podle

${ displaystyle d_ {n} ^ {1} = p_ {n + 1} -p_ {n}}$

kde ${ displaystyle n}$ je pozitivní. Také pro každé celé číslo ${ displaystyle k}$ větší než 1, nechte podmínky v ${ displaystyle {d_ {n} ^ {k} }}$ být dán

${ displaystyle d_ {n} ^ {k} = | d_ {n + 1} ^ {k-1} -d_ {n} ^ {k-1} |}$.

Gilbreathova domněnka uvádí, že každý výraz v pořadí ${ displaystyle a_ {k} = {d_ {1} ^ {k}}}$ pro pozitivní ${ displaystyle k}$ je 1.

Ověření a pokus o důkazy

Od roku 2013^{[Aktualizace]}, nebyl publikován žádný platný důkaz domněnky. Jak bylo zmíněno v úvodu, François Proth vydal to, co považoval za důkaz prohlášení, které se později ukázalo jako chybné. Andrew Odlyzko to ověřil ${ displaystyle d_ {1} ^ {k}}$ je 1 pro ${ displaystyle k leq n = 3,4 krát 10 ^ {11}}$ v roce 1993,^[2] ale domněnka zůstává otevřeným problémem. Místo hodnocení n řádky, Odlyzko vyhodnotil 635 řádků a zjistil, že 635. řádek začínal 1 a pokračoval jen s 0s a 2s pro další n čísla. To znamená, že další n řádky začínají 1.

Zobecnění

V roce 1980 Martin Gardner zveřejnil domněnku od Hallard Croft který uvedl, že vlastnost Gilbreathova domněnky (mající 1 v prvním členu každé rozdílové sekvence) by měla platit obecněji pro každou sekvenci, která začíná 2, následně obsahuje pouze lichá čísla a má dostatečně nízkou vazbu na mezery mezi po sobě jdoucími prvky v pořadí.^[3] Tato domněnka byla také opakována pozdějšími autory.^[4][5] Je to však falešné: pro každou počáteční posloupnost 2 a lichých čísel a každou nekonstantní rychlost růstu existuje pokračování posloupnosti lichými čísly, jejichž mezery poslouchají rychlost růstu, ale jejichž rozdílné sekvence nezačínají nekonečně 1 často.^[6] Odlyzko (1993) je opatrnější, psaní určitých heuristických důvodů pro domněnku Gilbreathova domněnky, že „výše uvedené argumenty platí pro mnoho dalších sekvencí, ve kterých je první prvek 1, ostatní dokonce, a kde mezery mezi po sobě následujícími prvky nejsou příliš velké a jsou dostatečně náhodný."^[2] Neuvádí však formální definici toho, co znamená „dostatečně náhodné“.

Viz také

• Operátor rozdílu
• Prime gap
• Pravidlo 90, a buněčný automat který řídí chování částí řádků, které obsahují pouze hodnoty 0 a 2

Reference