Rotační invariance - Rotational invariance

v matematika, a funkce definované na vnitřní produktový prostor se říká, že má rotační invariance pokud se jeho hodnota nemění, když je libovolná rotace jsou použity na jeho argument.

Matematika

Funkce

Například funkce

${ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}$

je invariantní pod rotacemi roviny kolem počátku, protože pro rotovanou sadu souřadnic skrz libovolné úhel θ

${ displaystyle x '= x cos theta -y sin theta}$

${ displaystyle y '= x sin theta + y cos theta}$

funkce má po určitém zrušení podmínek přesně stejnou podobu

${ displaystyle f (x ', y') = {x} ^ {2} + {y} ^ {2}}$

Rotaci souřadnic lze vyjádřit pomocí matice formulář pomocí rotační matice,

${ displaystyle { begin {bmatrix} x ' y' end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}}.}$

nebo symbolicky X′ = Rx. Symbolicky je invariance rotace funkce se skutečnými hodnotami dvou reálných proměnných

${ displaystyle f ( mathbf {x} ') = f ( mathbf {Rx}) = f ( mathbf {x})}$

Slovy, funkce otočených souřadnic má přesně stejnou podobu jako u počátečních souřadnic, jediným rozdílem je, že otočené souřadnice nahrazují počáteční. Pro reálná funkce tří nebo více reálných proměnných, tento výraz lze snadno rozšířit pomocí vhodných rotačních matic.

Koncept se vztahuje i na a funkce s vektorovou hodnotou F jedné nebo více proměnných;

${ displaystyle mathbf {f} ( mathbf {x} ') = mathbf {f} ( mathbf {Rx}) = mathbf {f} ( mathbf {x})}$

Ve všech výše uvedených případech jsou rotovány argumenty (zde označované jako „souřadnice“ pro konkrétnost), nikoli samotná funkce.

Operátoři

Pro funkce

${ displaystyle f: X rightarrow X}$

který mapuje prvky z a podmnožina X z skutečná linie ℝ pro sebe, rotační invariance může také znamenat, že funkce dojíždí s rotací prvků v X. To platí také pro operátor který na takové funkce působí. Příkladem je dvojrozměrný Operátor Laplace

${ displaystyle nabla ^ {2} = { frac { částečné ^ {2}} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2}} { částečné y ^ {2 }}}}$

který působí na funkci F získat další funkci ∇²F. Tento operátor je při rotacích neměnný.

Li G je funkce G(str) = F(R(str)), kde R je libovolná rotace, pak (∇²G)(str) = (∇²F )(R(str)); to znamená, že otočení funkce pouze otočí její Laplacian.

Fyzika

v fyzika, pokud se systém chová stejně bez ohledu na to, jak je orientován v prostoru, pak jeho Lagrangian je rotačně neměnný. Podle Noetherova věta, pokud akce (integrál v čase jeho Lagrangeova) fyzického systému je tedy při rotaci neměnný moment hybnosti je zachován.

Aplikace na kvantovou mechaniku

v kvantová mechanika, rotační invariance je vlastnost, která po a otáčení nový systém se stále řídí Schrödingerova rovnice. To je

${ displaystyle [R, E-H] = 0}$

pro jakoukoli rotaci R. Protože rotace nezávisí výslovně na čase, dojíždí s energetickým operátorem. Takže pro rotační invariance musíme mít [R, H] = 0.

Pro nekonečně malé rotace (v xy- letadlo pro tento příklad; lze to udělat také pro jakoukoli rovinu) o úhel dθ operátor (nekonečně malé) rotace je

${ displaystyle R = 1 + J_ {z} d theta ,,}$

pak

${ displaystyle left [1 + J_ {z} d theta, { frac {d} {dt}} right] = 0 ,,}$

tím pádem

${ displaystyle { frac {d} {dt}} J_ {z} = 0 ,,}$

jinými slovy moment hybnosti je zachována.

Viz také

• Izotropie
• Maxwellova věta
• Rotační symetrie
• Axiální symetrie

Reference

• Stenger, Victor J. (2000). Nadčasová realita. Knihy Prometheus. Zvláště chpt. 12. Netechnické.