Silný monad - Strong monad

v teorie kategorií, a silná monáda přes monoidní kategorie (C, Is, I) je a monad (T, η, μ) společně s a přirozená transformace t_{A, B} : A ⊗ TB → T(A ⊗ B), volala (tenzorový) síla, tak, že diagramy

,

,

, a

dojíždět za každý objekt A, B a C (viz Definice 3.2 v ^[1]).

Pokud je monoidní kategorie (C, Is, I) je Zavřeno pak silná monáda je to samé jako a C- obohacený monad.

Komutativní silné monády

Pro každý silný monad T na symetrická monoidní kategorie, a nákladová síla přirozenou transformaci lze definovat pomocí

{displaystyle t '_ {A, B} = T (gama _ {B, A}) cirkulační t_ {B, A} cirkulační gama _ {TA, B}: TAObdobí B o T (Aotimes B)}

.

Silný monad T se říká, že je komutativní když diagram

dojíždí za všechny objekty ${displaystyle A}$ a ${displaystyle B}$ .^[2]

Jedním zajímavým faktem o komutativních silných monádách je, že jsou „stejné jako“ symetrický monoidní monády. Přesněji řečeno,

komutativní silná monáda ${displaystyle (T, eta, mu, t)}$ definuje symetrickou monoidní monádu ${displaystyle (T, eta, mu, m)}$ podle

{displaystyle m_ {A, B} = mu _ {Aotimes B} cirku Tt '_ {A, B} cirku t_ {TA, B}: TAotimes TB o T (Aotimes B)}

a naopak symetrický monoidní monad ${displaystyle (T, eta, mu, m)}$ definuje komutativní silnou monádu ${displaystyle (T, eta, mu, t)}$ podle

{displaystyle t_ {A, B} = m_ {A, B} circ (eta _ {A} další 1_ {TB}): Aotimes TB o T (Aotimes B)}

a převod mezi jednou a druhou prezentací je bijektivní.

^ Moggi, Eugenio (červenec 1991). „Pojmy výpočtu a monád“ (PDF). Informace a výpočet. 93 (1): 55–92. doi:10.1016/0890-5401(91)90052-4.
^ (ed.), Anca Muscholl (2014). Základy softwarové vědy a výpočetní struktury: 17. (Aufl.2014 ed.). [S.l.]: Springer. 426–440. ISBN 978-3-642-54829-1.CS1 maint: další text: seznam autorů (odkaz)

Anders Kock (1972). „Silní funktory a monoidní monády“ (PDF). Archiv der Mathematik. 23: 113–120. doi:10.1007 / BF01304852.
Jean Goubault-Larrecq, Slawomir Lasota a David Nowak (2005). "Logické vztahy pro monadické typy". Matematické struktury v informatice. 18 (06): 1169. arXiv:cs / 0511006. doi:10.1017 / S0960129508007172.