Codensity monad - Codensity monad

tento článek vyžaduje pozornost odborníka na toto téma. Specifický problém je: Ověření zdrojů a obsahu. Při umisťování této značky zvažte přidružení této žádosti s WikiProject. (Července 2019)

V matematice, zejména v teorie kategorií, codensity monad je základní konstrukce sdružující a monad do široké třídy funktory.

Definice

Monogram hustoty funktoru ${ displaystyle G: D až C}$ je definován jako pravé rozšíření Kan z G sám za předpokladu, že toto rozšíření Kan existuje. Podle definice tedy jde zejména o funktor

${ displaystyle T ^ {G}: C až C.}$ Struktura monády zapnutá ${ displaystyle T ^ {G}}$ vychází z univerzální vlastnosti správného rozšíření Kan.

Monoda codensity existuje kdykoli D je malá kategorie (má pouze sadu, na rozdíl od a správná třída, morfismů) a C má všechny (malé, tj. indexované množinou) limity. Existuje také kdykoli G má levý adjoint.

Obecným vzorcem, který počítá správná rozšíření Kan, pokud jde o končí, hustota monad je dána následujícím vzorcem:

${ displaystyle T ^ {G} (c) = int _ {d v D} G (d) ^ {C (c, G (d))},}$

kde ${ displaystyle C (c, G (d))}$ označuje množinu morfismy v C mezi označenými objekty a integrálem označuje konec. Monogram hustoty se tedy rovná uvažování o mapách z C k objektu v obraze Ga mapy ze sady takových morfismů do G(d), kompatibilní pro všechny možné d. Jak tedy uvádí Avery (2016) codensity monads sdílejí určité příbuzenství s konceptem integrace a dvojí dualizace.

Příklady

Codensity monády pravých sousedních

Pokud funktor G připouští levé adjoint F, je hustota monad dána kompozitem ${ displaystyle G circ F}$, spolu se standardní jednotkou a multiplikačními mapami.

Konkrétní příklady funktorů, kteří nepřipouštějí levé adjungované

V několika zajímavých případech funktor G je zahrnutí a celá podkategorie nepřipustit levé adjoint. Například monost hustoty zahrnutí FinSet do Soubor je ultrafiltrační monad přidružení k libovolné sadě M soubor ultrafiltry na M. To bylo prokázáno Kennison & Gildenhuys (1971), i když bez použití výrazu „codensity“. V této formulaci je prohlášení přezkoumáno Leinster (2013, §3).

Související příklad pojednává Leinster (2013, §7): monogram codensity zahrnutí konečných trojrozměrných vektorových prostorů (přes pevné pole k) do všech vektorových prostorů je dvojitá dualizace monad daný zasláním vektorového prostoru PROTI k jeho dvojitý duální

${ displaystyle V ^ {**} = operatorname {Hom} ( operatorname {Hom} (V, k), k).}$

V tomto příkladu tedy výše uvedený koncový vzorec zjednodušuje uvažování (v notaci výše) pouze o jednom objektu d, jmenovitě jednorozměrný vektorový prostor, na rozdíl od uvažování o všech objektech v D. Adámek & Sousa (2019) ukazují, že v řadě situací je monost hustoty zahrnutí

${ displaystyle D: = C ^ {fp} subseteq C}$

konečně prezentovaných objektů (také známých jako kompaktní objekty ) je dvojitá monologie dualizace s ohledem na dostatečně pěknou kogenerační objekt. Toto obnovuje jak zahrnutí konečných množin do množin (kde kogenerátor je množina dvou prvků), tak také zahrnutí konečně-dimenzionálních vektorových prostorů do vektorových prostorů (kde kogenerátor je pozemní pole).

Sipoş (2018) ukázal, že algebry nad monostou hustoty zahrnutí konečných množin (považováno za diskrétní topologické prostory ) do topologických prostorů jsou ekvivalentní k Kamenné prostory.Avery (2016) ukazuje, že Giry monad vzniká codensity monad přírodních zapomnětlivých funktorů mezi určitými kategoriemi konvexní vektorové prostory na měřitelné prostory.

Vztah k Isbellově dualitě

Di Liberti (2019) ukazuje, že codensity monad úzce souvisí s Isbell dualita: pro danou malou kategorii C„Isbellova dualita odkazuje na adjunkci

${ displaystyle { mathcal {O}}: Nastavit ^ {C ^ {op}} rightleftarrows (Nastavit ^ {C}) ^ {op}: Specifikace}$

mezi kategorií předvádí na C (tj. funktory z opačné kategorie C na množiny) a opačná kategorie souběžně odejde C. Monad

${ displaystyle Spec circ { mathcal {O}}}$

indukovaný touto funkcí se ukazuje jako codensity monad z Yoneda vkládání

${ displaystyle y: C nastavit ^ {C ^ {op}}.}$

Naopak, codensity monad plné malé husté podkategorie K. v kategorii cocomplete C je prokázáno, že je vyvolána Isbellovou dualitou.^[1]

Viz také

• Monadický funktor

Poznámky a odkazy

• Adámek, Jirí; Sousa, Lurdes (2019), D-ultrafiltry a jejich monády, arXiv:1909.04950
• Avery, Tom (2016), „Codensity and the Giry monad“, Journal of Pure and Applied Algebra, 220 (3): 1229–1251, arXiv:1410.4432, doi:10.1016 / j.jpaa.2015.08.017
• Di Liberti, Ivan (2019), Kodenzita: Isbellova dualita, pro-objekty, kompaktnost a přístupnost, arXiv:1910.01014
• Leinster, Tom (2013), „Codensity and the ultrafilter monad“, Teorie a aplikace kategorií, 28: 332–370, arXiv:1209.3606, Bibcode:2012arXiv1209,3606L
• Kennison, J.F .; Gildenhuys, Dion (1971), „Rovnoměrné dokončení, modelem vyvolané trojice a pro-objekty“, Journal of Pure and Applied Algebra, 1 (4): 317–346, doi:10.1016/0022-4049(71)90001-6
• Sipoş, Andrei (2018), „Codensity and stone spaces“, Mathematica Slovaca, 68: 57–70, arXiv:1409.1370, doi:10.1515 / ms-2017-0080