Věrně plochý sestup - Faithfully flat descent

Věrně plochý sestup je technika od algebraická geometrie, umožňující člověku vyvodit závěry o objektech na cíli a věrně plochý morfismus. Takové morfismy, které jsou ploché a surjektivní, jsou běžné, jeden příklad vychází z otevřeného obalu.

V praxi z afinního hlediska umožňuje tato technika prokázat určité tvrzení o prstenu nebo schématu po věrně ploché změně základny.

„Vanilka“ věrně plochého původu je obecně nepravdivá; místo toho je věrně plochý sestup platný za určitých podmínek konečnosti (např. kvazi-kompaktní nebo místně konečné prezentace).

Věrně plochý sestup je zvláštním případem Beckova věta o monadicitě.^[1]

Základní forma

Nechat ${displaystyle A o B}$ být věrně homomorfismus s plochým prstencem. Vzhledem k ${displaystyle A}$ -modul ${displaystyle M}$ , dostaneme ${displaystyle B}$ -modul ${displaystyle N = Motimes _ {A} B}$ a protože ${displaystyle A o B}$ je věrně plochá, máme inkluzi ${displaystyle Mhookrightarrow Motimes _ {A} B}$ . Navíc máme izomorfismus ${displaystyle varphi: Notimes B {overet {sim} {o}} Notimes B}$ z ${displaystyle B ^ {otimes 2}}$ -modulů, které jsou indukovány izomorfismem ${displaystyle B ^ {otimes 2} simeq B ^ {otimes 2}, xotimes ymapsto yotimes x}$ a který splňuje podmínku cocycle:

{displaystyle varphi ^ {1} = varphi ^ {0} cirkus varphi ^ {2}}

kde ${displaystyle varphi ^ {i}: Notimes B ^ {otimes 2} {overet {sim} {o}} Notimes B ^ {otimes 2}}$ jsou uvedeny jako:^[2]

{displaystyle varphi ^ {0} (notimes botimes c) = ho ^ {1} (b) varphi (notimes c)}

{displaystyle varphi ^ {1} (notimes botimes c) = ho ^ {2} (b) varphi (notimes c)}

{displaystyle varphi ^ {2} (notimes botimes c) = varphi (notimes b) otimes c}

s ${displaystyle ho ^ {i} (x) (y_ {0} otimes cdots otimes y_ {r}) = y_ {0} cdots y_ {i-1} otimes xotimes y_ {i} cdots y_ {r}}$ . Všimněte si izomorfismů ${displaystyle varphi ^ {i}: Notimes B ^ {otimes 2} {overet {sim} {o}} Notimes B ^ {otimes 2}}$ jsou určeny pouze ${displaystyle varphi}$ a nezahrnují ${displaystyle M.}$

Nyní nejzákladnější forma věrně plochého sestupu říká, že výše uvedená konstrukce může být obrácena; tj. vzhledem k ${displaystyle B}$ -modul ${displaystyle N}$ a a ${displaystyle B ^ {otimes 2}}$ -izomorfismus modulu ${displaystyle varphi: Notimes B {overet {sim} {o}} Notimes B}$ takhle ${displaystyle varphi ^ {1} = varphi ^ {0} cirkus varphi ^ {2}}$ , neměnný submodul:

{displaystyle M = {nin N | varphi (notimes 1) = notimes 1} podmnožina N}

je takový ${displaystyle Motimes B = N}$ .^[3]

Zariski sestup

The Zariski sestup odkazuje jednoduše na skutečnost, že kvazi-koherentní svazek lze získat lepením těchto na (Zariski-) otevřený kryt. Jedná se o speciální případ věrně plochého sestupu, ale často se používá ke snížení problému sestupu na afinní případ.

Podrobnosti podrobně ${displaystyle {mathcal {Q}} coh (X)}$ označit kategorii kvazi-koherentních snopů na schématu X. Potom Zariski sestup uvádí, že vzhledem k kvazi-koherentní snopy ${displaystyle F_ {i}}$ u otevřených podmnožin ${displaystyle U_ {i} podmnožina X}$ s ${displaystyle X = igcup U_ {i}}$ a izomorfismy ${displaystyle varphi _ {ij}: F_ {i} | _ {U_ {i} cap U_ {j}} {overset {sim} {o}} F_ {j} | _ {U_ {i} cap U_ {j} }}$ takové, že (1) ${displaystyle varphi _ {ii} = operatorname {id}}$ a (2) ${displaystyle varphi _ {ik} = varphi _ {jk} cirkus varphi _ {ij}}$ na ${displaystyle U_ {i} čepice U_ {j} čepice U_ {k}}$ , pak existuje jedinečný kvazi-koherentní svazek ${displaystyle F}$ na X takhle ${displaystyle F | _ {U_ {i}} simeq F_ {i}}$ kompatibilním způsobem (tj. ${displaystyle F | _ {U_ {j}} simeq F_ {j}}$ omezuje na ${displaystyle F | _ {U_ {i} cap U_ {j}} simeq F_ {i} | _ {U_ {i} cap U_ {j}} {overset {varphi _ {ij}} {underset {sim} {o }}} F_ {j} | _ {U_ {i} čepice U_ {j}}}$ ).^[4]

Ve fantastickém jazyce Zariskiho původ uvádí, že s ohledem na Zariskiho topologii ${displaystyle {mathcal {Q}} coh}$ je zásobník; tj. kategorie ${displaystyle {mathcal {C}}}$ vybavené funktorem ${displaystyle p: {mathcal {C}} o}$ kategorie (relativních) schémat, která má efektivní teorii sestupu. Tady, pojďme ${displaystyle {mathcal {Q}} coh}$ označují kategorii skládající se z párů ${displaystyle (U, F)}$ skládající se z (Zariski) -otevřené podmnožiny U a kvazi-koherentní svazek na něm a ${displaystyle p}$ zapomnětlivý funktor ${displaystyle (U, F) mapsto U}$ .

Sestup pro kvazi-koherentní snopy

Pro hlavní výsledek v této oblasti existuje stručné prohlášení: (předpětí kvazi-koherentních svazků nad schématem S znamená, že pro všechny S-systém X, každý X- bod předbalení je kvazi-koherentní svazek X.)

Teorém — Předpětí kvazi-koherentních svazků přes základní schéma S je stack s ohledem na topologie fpqc.^[5]

Důkaz používá Zariski sestup a věrně plochý sestup v afinním případě.

Zde nelze „kvazi-kompaktní“ vyloučit; vidět https://mathoverflow.net/questions/127362/counter-example-to-faithfully-flat-descent/

Viz také

Poznámky

^ Deligne, Pierre (1990), Kategorie Tannakiennes, Grothendieck Festschrift, sv. IIPokrok v matematice 87, Birkhäuser, str. 111–195
^ Waterhouse 1979, § 17.1.
^ Waterhouse 1979, § 17.2.
^ Hartshorne, Ch. II, cvičení 1.22.; POZN .: protože „kvazi-koherentní“ je místní vlastnost, lepení kvazi-koherentních snopů vede k kvazi-koherentní.
^ Fantechi, Barbara (2005). Základní algebraická geometrie: Grothendieckovo FGA vysvětleno. American Mathematical Soc. p. 82. ISBN 9780821842454. Citováno 3. března 2018.

Reference

SGA 1, Ch VIII - toto je hlavní reference
Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157
Street, Ross (20. března 2003). "Kategorické a kombinatorické aspekty teorie sestupu". arXiv:matematika / 0303175. (podrobná diskuse o 2 kategorii)
Angelo Vistoli, Poznámky k topologiím Grothendieck, vláknitým kategoriím a teorii sestupu (Aktualizováno 2. září 2008)
Waterhouse, William (1979), Úvod do schémat afinních skupin, Postgraduální texty z matematiky, 66, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN 978-0-387-90421-4, PAN 0547117

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] Deligne, Pierre (1990), Kategorie Tannakiennes, Grothendieck Festschrift, sv. IIPokrok v matematice 87, Birkhäuser, str. 111–195

[2] Waterhouse 1979, § 17.1.

[3] Waterhouse 1979, § 17.2.

[4] Hartshorne, Ch. II, cvičení 1.22.; POZN .: protože „kvazi-koherentní“ je místní vlastnost, lepení kvazi-koherentních snopů vede k kvazi-koherentní.

[Fantechi2005-5] Fantechi, Barbara (2005). Základní algebraická geometrie: Grothendieckovo FGA vysvětleno. American Mathematical Soc. p. 82. ISBN 9780821842454. Citováno 3. března 2018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]