Metoda konečných bodů - Finite point method - Wikipedia

The metoda konečných bodů (FPM) je metoda meshfree k řešení parciální diferenciální rovnice (PDE) na rozptýleném rozdělení bodů. FPM byl navržen v polovině devadesátých let v roce (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz & Taylor, 1996a),[1] (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b)[2] a (Oñate & Idelsohn, 1998a)[3] s cílem usnadnit řešení problémů zahrnujících složité geometrie, volné povrchy, pohybující se hranice a adaptivní zdokonalování. Od té doby se FPM značně vyvinul a vykazoval uspokojivou přesnost a schopnosti řešit různé problémy mechaniky tekutin a těles.

Dějiny

Podobně jako u jiných metod meshfree pro PDE má metoda konečných bodů (FPM) svůj původ v technikách vyvinutých pro přizpůsobení a interpolaci rozptýlených dat, v zásadě v řadě vážené nejmenší čtverce metody (WLSQ). Posledně uvedené lze považovat za zvláštní formy pohybující se nejmenšími čtverci metoda (MLS) navržená Lancasterem a Salkauskasem.[4] Metody WLSQ byly široce používány v technikách meshfree, protože umožňují zachování většiny MLS, ale jsou efektivnější a snadno implementovatelné. S ohledem na tyto cíle bylo v roce zahájeno vynikající vyšetřování, které vedlo k rozvoji FPM (Oñate, Idelsohn & Zienkiewicz, 1995a)[5] a (Taylor, Zienkiewicz, Oñate & Idelsohn, 1995).[6] Navrhovaná technika byla charakterizována aproximacemi WLSQ na lokálních mračnech bodů a diskretizačním postupem rovnic založeným na kolokaci bodů (v linii Batinových prací, 1989,[7] 1992[8]). První aplikace FPM se zaměřily na problémy s adaptivním stlačitelným tokem (Fischer, Onate & Idelsohn, 1995;[9] Oñate, Idelsohn & Zienkiewicz, 1995a;[5] Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz a Fisher, 1995b[10]). Účinky na aproximaci lokálních mraků a váhové funkce byly také analyzovány pomocí lineárních a kvadratických polynomiálních bází (Fischer, 1996).[11] Další studie v kontextu konvekce-difúze a problémů s nestlačitelným tokem poskytly FPM pevnější základnu; srov. (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz & Taylor, 1996a)[1] a (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b).[2] Tyto práce a (Oñate & Idelsohn, 1998)[3] definoval základní techniku ​​FPM používanou dnes.

Numerická aproximace

Schéma numerické aproximace FPM

Aproximaci v FPM lze shrnout následovně. Za každý bod v oblasti analýzy (hvězdný bod), přibližné řešení je lokálně konstruováno pomocí podmnožiny okolních podpůrných bodů , které patří do problémové domény (lokální mrak bodů ). Aproximace se počítá jako lineární kombinace cloudových neznámých uzlových hodnot (nebo parametrů) a určitých metrických koeficientů. Ty jsou získány řešením problému WLSQ na úrovni cloudu, ve kterém jsou vzdálenosti mezi uzlovými parametry a aproximovaným řešením minimalizovány ve smyslu LSQ. Jakmile jsou známy metrické koeficienty aproximace, u každého se vzorkuje problém řídící PDE hvězdný bod pomocí a kolokační metoda. Spojité proměnné (a jejich deriváty) jsou ve vzorkovaných rovnicích nahrazeny diskrétními aproximovanými formami a řešení výsledného systému umožňuje výpočet neznámých uzlových hodnot. Lze tedy získat aproximované řešení splňující řídící rovnice problému. Je důležité si uvědomit, že díky vysoce lokálnímu charakteru FPM je metoda vhodná pro implementaci efektivních schémat paralelního řešení.

Konstrukce typické aproximace FPM je popsána v (Oñate & Idelsohn, 1998).[3] Analýzu aproximačních parametrů lze nalézt v (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2007)[12] a komplexnější studie se provádí v roce (Ortega, 2014).[13] Byly navrženy i jiné přístupy, viz například (Boroomand, Tabatabaei a Oñate, 2005).[14] Rozšíření aproximace FPM je uvedeno v (Boroomand, Najjar & Oñate, 2009).[15]

Aplikace

Mechanika tekutin

Rané linie výzkumu a aplikací FPM na problémy s prouděním tekutin jsou shrnuty v (Fischer, 1996).[11] Tam byly studovány konvektivně-difuzní problémy s využitím polynomiálních aproximací LSQ a WLSQ. Studie se zaměřila na účinky mračna bodů a váhových funkcí na přesnost lokální aproximace, což pomohlo pochopit základní chování FPM. Výsledky ukázaly, že aproximace 1D FPM vede k diskrétním derivátovým formám podobným formám získaným s aproximacemi centrálních rozdílů, které jsou přesné druhého řádu. Přesnost se však v případě nesymetrických mraků zhoršuje na první řád, v závislosti na váhové funkci. Rovněž byla definována předběžná kritéria pro výběr bodů vyhovujících lokálním mrakům s cílem zlepšit špatnou úpravu problému minimalizace. Řešič toku použitý v této práci byl založen na dvoustupňovém Taylor-Galerkinově schématu s výslovným umělým rozptylem. Numerické příklady zahrnovaly neviditelné podzvukové, transonické a nadzvukové dvourozměrné problémy, ale byl poskytnut také testovací případ s nízkým Reynoldsovým číslem. Obecně byly výsledky získané v této práci uspokojivé a ukázaly, že zavedení vážení v minimalizaci LSQ vede k lepším výsledkům (byly použity lineární základy).

V podobné linii výzkumu je reziduální stabilizační technika odvozená z hlediska vyvažování toku v konečné doméně, známá jako Finite Increment Calculus (FIC) (Oñate, 1996,[16] 1998[17]), byl představen. Výsledky byly srovnatelné s výsledky získanými s výslovným umělým rozptylem, ale s výhodou, že stabilizace ve FIC je zavedena konzistentním způsobem, viz (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b)[2] a (Oñate & Idelsohn, 1998a).[3]

Z tohoto vývoje se problematice generování bodů nejprve zabývala (Löhner & Oñate, 1998).[18] Na základě postupující přední techniky autoři ukázali, že diskretizace bodů vhodná pro výpočty bez mřížky lze generovat efektivněji tím, že se vyhneme obvyklým kontrolám kvality potřebným při konvenčním generování mřížky. Bylo dosaženo velmi konkurenceschopných generačních časů ve srovnání s tradičními mřížkami, které poprvé ukázaly, že metody bez sítí jsou proveditelnou alternativou ke zmírnění problémů s diskretizací.

Nekompresní 2D toky byly poprvé studovány v (Oñate, Sacco & Idelsohn, 2000)[19] používat metoda projekce stabilizována technikou FIC. Podrobná analýza tohoto přístupu byla provedena v (Sacco, 2002).[20] Vynikající výsledky této práce poskytly FPM pevnější základnu; mezi nimi definice lokálních a normalizovaných aproximačních bází, postup pro konstrukci lokálních mračen bodů na základě lokální Delaunayovy triangulace a kritérium pro hodnocení kvality výsledné aproximace. Prezentované numerické aplikace se zaměřovaly hlavně na dvourozměrné (viskózní a inviscidní) nestlačitelné toky, ale byl poskytnut také trojrozměrný příklad aplikace.

Předběžná aplikace FPM v Lagrangeově rámci, představená v (Idelsohn, Storti & Oñate, 2001),[21] také stojí za zmínku. Přes zajímavé výsledky získané pro nestlačitelné volný povrch toků, tato linie výzkumu nepokračovala v rámci FPM a pozdější formulace byly založeny výhradně na Eulerianových popisech toků.

První aplikace FPM na řešení 3D stlačitelných toků byla představena v průkopnické práci autorem (Löhner, Sacco, Oñate & Idelsohn, 2002).[22] Tam byl vyvinut spolehlivý a obecný postup pro konstrukci lokálních mračen bodů (založený na Delaunayově technice) a vhodné schéma pro řešení rovnic toku. V navrhovaném schématu řešení jsou diskrétní deriváty toku psány podél okrajů spojujících body mraku jako centrální rozdílný výraz plus výraz předpětí, který poskytuje konvektivní stabilizaci. Pro tento účel byl použit přibližný Riemannov řešič štěpení vektorů toku Roe a van Leer. Navrhovaný přístup je přesnější (také dražší) než metody umělého rozptylu a navíc nevyžaduje definici geometrických měr v místním cloudu a parametrech závislých na problému. Časová integrace rovnic byla provedena pomocí vícestupňového explicitního schématu v souladu s metodami Runge-Kutta.

O několik let později byl v souvislosti s aproximací 3D FPM proveden další výzkum (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2007).[12] Tato práce se zaměřila na konstrukci robustních aproximací bez ohledu na vlastnosti místní podpory. Za tímto účelem bylo navrženo lokální automatické nastavení funkce vážení a dalších aproximačních parametrů. Další 3D aplikace metody zahrnovaly stlačitelné aerodynamiky proudění s adaptivní zdokonalování (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2009)[23] a pohybující se / deformující se hranice problémy (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2013).[24] V těchto pracích ukázal FPM uspokojivou robustnost a přesnost a schopnosti řešit praktické výpočty. Mezi dalšími úspěchy bylo prokázáno, že úplná regenerace diskretizace modelu může být dostupnou strategií řešení, a to i při velkých simulačních problémech. Tento výsledek představuje nové možnosti pro bezesíťovou analýzu problémů s pohybující / deformující se doménou. FPM byl také úspěšně použit na adaptivní mělká voda problémy v (Ortega, Oñate, Idelsohn & Buachart, 2011)[25] a (Buachart, Kanok-Nukulchai, Ortega & Oñate, 2014).[26] Návrh na využití výhod bez síťování při problémech s viskózním tokem s vysokým Reynoldsem je uveden v (Ortega, Oñate, Idelsohn & Flores, 2014a).[27]

Ve stejné oblasti aplikací byla v roce (Ortega, Oñate, Idelsohn & Flores, 2014b) provedena velká studie přesnosti, výpočtových nákladů a paralelního výkonu FPM.[28] Tam byl FPM srovnáván s ekvivalentním řešičem založeným na konečných prvcích, který poskytoval standard pro hodnocení obou charakteristik řešiče bez mřížky a jeho vhodnosti pro řešení praktických aplikací. V této práci byla navržena některá zjednodušení techniky FPM, aby se zlepšila účinnost a snížila výkonnostní mezera pomocí MKP. Poté byly provedeny studie konvergence mřížky pomocí konfigurace křídla a těla. Výsledky ukázaly srovnatelnou přesnost a výkon, což odhalilo konkurenci FPM s ohledem na jeho protějšek FEM. To je důležité, protože techniky bez sítě jsou často považovány za nepraktické kvůli špatné účinnosti počátečních implementací.

FPM byl také použit v aeroakustika in (Bajko, Cermak & Jicha, 2014).[29] Navrhované schéma řešení je založeno na linearizovaném Riemannově řešiči a úspěšně využívá výhod aproximací FPM vysokého řádu. Získané výsledky svědčí o potenciálu FPM řešit problémy s šířením zvuku.

Mechanika těles

Aktuální linie vyšetřování

Současné úsilí je zaměřeno hlavně na využití schopností FPM pracovat v paralelních prostředích pro řešení rozsáhlých praktických problémů, zejména v oblastech, kde mohou postupy bez mřížek být užitečnými příspěvky, například problémy zahrnující složitou geometrii, doménu pohybu / deformace, adaptivní zdokonalování a multiscale jevy.

Reference

  1. ^ A b Oñate, E .; Idelsohn, S .; Zienkiewicz, O. C .; Taylor, R. L. (1996). „Metoda konečných bodů pro analýzu problémů mechaniky tekutin. Aplikace na konvektivní transport a tok tekutin“. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 39 (2): 3839–3866. Bibcode:1996 IJNME..39,3839O. doi:10.1002 / (SICI) 1097-0207 (19961130) 39:22 <3839 :: AID-NME27> 3,0.CO; 2-R.
  2. ^ A b C Oñate, E .; Idelsohn, S .; Zienkiewicz, O. C .; Taylor, R.L .; Sacco, C. (1996). "Stabilizovaná metoda konečných bodů pro analýzu problémů mechaniky tekutin". Počítačové metody v aplikované mechanice a strojírenství. 139 (1): 315–346. Bibcode:1996CMAME.139..315O. doi:10.1016 / s0045-7825 (96) 01088-2.
  3. ^ A b C d Oñate, E .; Idelsohn, S. (1998). „Metoda konečných bodů bez síťky pro problémy s difuzním transportem a prouděním tekutin“. Výpočetní mechanika. 24 (4–5): 283–292. Bibcode:1998CompM..21..283O. doi:10,1007 / s004660050304.
  4. ^ Lancaster, P .; Salkauskas, K. (1981). "Plochy generované metodou nejmenších čtverců". Matematika výpočtu. 37 (155): 141–158. doi:10.2307/2007507. JSTOR  2007507.
  5. ^ A b Oñate, E .; Idelsohn, S .; Zienkiewicz, O. C. (1995). "Metody konečných bodů ve výpočetní mechanice". Publikace CIMNE č. 74: Mezinárodní středisko pro numerické metody ve strojírenství.
  6. ^ Taylor, R.L .; Zienkiewicz, O. C .; Oñate, E .; Idelsohn, S. (1995). "Pohyb aproximací nejmenšího čtverce pro řešení diferenciálních rovnic". Publikace CIMNE č. 74 (str. 31): Mezinárodní středisko pro numerické metody ve strojírenství.
  7. ^ Batina, J. T. (1989). "Nestabilní Eulerův algoritmus s nestrukturovanou dynamickou sítí pro aeroelastickou analýzu komplexních letadel". Papír AIAA. 89: 1189.
  8. ^ Batina, J. T. (1992). „Algoritmus řešení Euler / Navier-Stokes bez mřížky pro složité dvourozměrné aplikace“. Nasa-Tm-107631.
  9. ^ Fischer, T .; Oñate, E .; Idelsohn, S. (1995). "Bezsíťová technika pro počítačovou analýzu vysokorychlostních toků". Příspěvek prezentovaný na sympoziu AGARD o pokroku a výzvách v metodách a algoritmech CFD, Sevilla.
  10. ^ Oñate, E .; Idelsohn, S .; Zienkiewicz, O. C .; Fisher, T. (1995). "Metody konečných bodů ve výpočetní mechanice". Konference o metodách konečných prvků v kapalinách, Venize, Itálie, 15. – 21.
  11. ^ A b Fischer, T. (1996). "Příspěvek k adaptivnímu numerickému řešení problémů se stlačitelným tokem". Diplomová práce, Universitat Politècnica de Catalunya.
  12. ^ A b Ortega, E .; Oñate, E .; Idelsohn, S. (2007). "Vylepšená metoda konečných bodů pro trojrozměrné potenciální toky". Výpočetní mechanika. 40 (6): 949–963. Bibcode:2007CompM..40..949O. doi:10.1007 / s00466-006-0154-6.
  13. ^ Ortega, E .; Oñate, E .; Idelsohn, S. (2014). Vývoj a aplikace metody konečných bodů na stlačitelné aerodynamické problémy (PDF). CIMNE Monografie M143. ISBN  978-84-941686-7-3.
  14. ^ Boroomand, B .; Tabatabaei, A. A .; Oñate, E. (2005). Msgstr "Jednoduché úpravy pro stabilizaci metody konečných bodů". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 63 (3): 351–379. Bibcode:2005IJNME..63..351B. doi:10,1002 / nme.1278.
  15. ^ Boroomand, B .; Najjar, M .; Oñate, E. (2009). "Zobecněná metoda konečných bodů". Výpočetní mechanika. 44 (2): 173–190. Bibcode:2009CompM..44..173B. doi:10.1007 / s00466-009-0363-x.
  16. ^ Oñate, E. (1996). "Ke stabilizaci numerického řešení konvekčního transportu a problémů s prouděním tekutin". Výzkumná zpráva č. 81: Mezinárodní středisko pro numerické metody ve strojírenství.
  17. ^ Oñate, E. (1998). "Odvození stabilizovaných rovnic pro numerické řešení problémů s difuzním transportem a prouděním tekutin". Počítačové metody v aplikované mechanice a strojírenství. 151 (1): 233–265. Bibcode:1998CMAME.151..233O. doi:10.1016 / s0045-7825 (97) 00119-9.
  18. ^ Löhner, R .; Oñate, E. (1998). "Postupující technika generování front pointů". Komunikace v numerických metodách ve strojírenství. 14 (12): 1097–1108. doi:10.1002 / (sici) 1099-0887 (199812) 14:12 <1097 :: aid-cnm183> 3.0.co; 2-7.
  19. ^ Oñate, E .; Sacco, C .; Idelsohn, S. (2000). "Metoda konečných bodů pro problémy s nestlačitelným tokem". Výpočetní technika a vizualizace ve vědě. 3 (1–2): 67–75. doi:10,1007 / s007910050053.
  20. ^ Sacco, C. (2002). „Desarrollo del método de puntos finitos en mecánica de fluidos“. Diplomová práce, Universitat Politècnica de Catalunya.
  21. ^ Idelsohn, S .; Storti, M .; Oñate, E. (2001). "Lagrangeovy formulace k řešení volného povrchu nestlačitelných toků neviditelné tekutiny". Počítačové metody v aplikované mechanice a strojírenství. 191 (6): 583–593. Bibcode:2001CMAME.191..583R. doi:10.1016 / s0045-7825 (01) 00303-6.
  22. ^ Löhner, R .; Sacco, C .; Oñate, E .; Idelsohn, S. (2002). "Metoda konečných bodů pro stlačitelný tok". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 53 (8): 1765–1779. Bibcode:2002IJNME..53.1765L. doi:10,1002 / nme.334. hdl:2117/167123.
  23. ^ Ortega, E .; Oñate, E .; Idelsohn, S. (2009). "Metoda konečných bodů pro adaptivní trojrozměrné výpočty stlačitelného toku". International Journal for Numerical Methods in Fluids. 60 (9): 937–971. Bibcode:2009IJNMF..60..937O. doi:10.1002 / fld.1892. hdl:2117/24488.
  24. ^ Ortega, E .; Oñate, E .; Idelsohn, S .; Flores, R. (2013). "Metoda konečných bodů bez sítě pro trojrozměrnou analýzu problémů stlačitelného toku zahrnujících pohybující se hranice a adaptivitu". International Journal for Numerical Methods in Fluids. 73 (4): 323–343. Bibcode:2013IJNMF..73..323O. doi:10.1002 / fld.3799. hdl:2117/86276.
  25. ^ Ortega, E .; Oñate, E .; Idelsohn, S .; Buachart, C. (2011). "Adaptivní metoda konečných bodů pro rovnice mělké vody". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 88 (2): 180–204. Bibcode:2011IJNME..88..180O. doi:10,1002 / nme.3171.
  26. ^ Buachart, C .; Kanok-Nukulchai, W .; Ortega, E .; Oñate, E. (2014). Msgstr "Model mělké vody metodou konečných bodů". International Journal of Computational Methods. 11 (1): 1350047. doi:10.1142 / S0219876213500473.
  27. ^ Ortega, E .; Oñate, E .; Idelsohn, S .; Flores, R. (2014). "Aplikace metody konečných bodů na problémy stlačitelného toku s vysokým Reynoldsovým číslem". International Journal for Numerical Methods in Fluids. 74 (10): 732. Bibcode:2014IJNMF..74..732O. doi:10.1002 / fld.3871.
  28. ^ Ortega, E .; Oñate, E .; Idelsohn, S .; Flores, R. (2014). "Srovnávací přesnost a hodnocení výkonu metody konečných bodů v problémech stlačitelného toku". Počítače a kapaliny. 89: 53–65. doi:10.1016 / j.compfluid.2013.10.024.
  29. ^ Bajko, J .; Cermák, L .; Jícha, M. (2014). "Metoda konečných bodů vysokého řádu pro řešení problémů s šířením zvuku". Počítačové metody v aplikované mechanice a strojírenství. 280: 157–175. Bibcode:2014CMAME.280..157B. doi:10.1016 / j.cma.2014.07.022.