Metoda viskózních vírových domén - Viscous vortex domains method

The viskózní vírové domény (VVD) metoda je bez síťoviny metoda výpočetní dynamika tekutin pro přímé numerické řešení 2D Navier-Stokesovy rovnice v Lagrangeovy souřadnice^[1]^[2]Neimplementuje žádné model turbulence a bez libovolných parametrů. Hlavní myšlenkou této metody je představit vířivost pole s diskrétními oblastmi (doménami), které se pohybují difuzní rychlostí relativně k tekutině a konzervují je oběh. Stejný přístup byl použit v metodě Diffusion Velocity od Ogami a Akamatsu,^[3] ale VVD používá jiné diskrétní vzorce

Funkce

Metoda VVD se zabývá viskózní nestlačitelný tekutina. Viskozita a hustota kapaliny se považují za konstantní. Metodu lze rozšířit na simulaci toků tepelně vodivých tekutin (metoda viskózních vířivých a tepelných domén )

Hlavní rysy jsou:

Přímé řešení Navier-Stokesových rovnic (DNS )
Výpočet třecí síly na povrchu těla
Správný popis mezní vrstvy (dokonce turbulentní)
Nekonečná výpočetní oblast
Pohodlná simulace deformujících hranic^[4]
Vyšetřování interakce tok-struktura,^[5] i v případě nulové hmotnosti
Odhadovaná kritéria numerické difúze a stability ^[6]

Řídící rovnice

Schéma metody VVD

Metoda VVD je založena na větě,^[1] že cirkulace ve viskózní tekutině je zachována na konturách pohybujících se rychlostí

{ displaystyle mathbf {u} = mathbf {V} + mathbf {V} _ {d}; ~~~ mathbf {V} _ {d} = - nu { dfrac { nabla mathbf { Omega}} {| mathbf { Omega} |}}; ~~~ mathbf { Omega} = [ nabla times mathbf {V}]}

,

kde PROTI je rychlost tekutiny, PROTI_d - difúzní rychlost, ν - kinematická viskozita Tato věta ukazuje podobnost s Kelvinova cirkulační věta, ale funguje to pro viskózní toky.

Na základě této věty je oblast toku s nenulovou cirkulací prezentována počtem domén (malé oblasti s konečnými objemy), které se pohybují rychlostí u a tím i jejich oběh ${ displaystyle gamma}$ zůstává neměnný. Skutečné hranice každé domény nejsou sledovány, ale jsou uloženy souřadnice jediného sledovacího bodu v každé doméně. Pole souřadnic a oběhů domén je známé buď z okrajové podmínky nebo z počáteční podmínky. Výsledkem takového pohybu je vývoj vířivosti a splnění Navier-Stokesových rovnic.

Diskrétní vzorce

Difúzní interakce vír-vír

Difúzní interakce tělo-vír

Rychlost kapaliny PROTI v bodě r lze vypočítat pomocí Zákon Biot-Savart

{ displaystyle mathbf {V} ( mathbf {r}) = { dfrac {1} {2 pi}} sum _ {i} gamma _ {i} cdot left [ mathbf {e} _ {z} times { dfrac { mathbf {r} - mathbf {r} _ {i}} {( mathbf {r} - mathbf {r} _ {i}) ^ {2} + delta ^ {2}}} vpravo]}

kde i indexuje domény v toku, r_i - sledovací bod domény a γ_i - jeho oběh.δ je takzvaný „poloměr diskrétnosti“ - malá hodnota, která vyhlazuje vír a pomáhá zbavit se singularity v bodě sledování domény.^[6] Znamená to znamenat vzdálenost mezi doménami.

Výpočet rychlosti difúze je obtížnější^[1]^[4]

{ displaystyle mathbf {V} _ {d} ( mathbf {r}) = nu left ({ dfrac { mathbf {I} _ {2} ( mathbf {r})} {I_ {1 } ( mathbf {r})}} + { dfrac { mathbf {I} _ {3} ( mathbf {r})} {2 pi varepsilon ^ {2} -I_ {0} ( mathbf {r})}} vpravo)}

První frakce produkuje interakci vír-vír (i - vírový index).

{ displaystyle mathbf {I} _ {2} ( mathbf {r}) = součet limity _ {i} { dfrac { mathbf {r} - mathbf {r} _ {i}} { varepsilon left | mathbf {r} - mathbf {r} _ {i} right |}} cdot gamma _ {i} cdot exp (- left | mathbf {r} - mathbf { r} _ {i} doprava | / varepsilon)}

{ displaystyle I_ {1} ( mathbf {r}) = { sum limity _ {i} gamma _ {i} cdot exp (- left | mathbf {r} - mathbf {r} _ {i} doprava | / varepsilon)}}

A druhá frakce představuje odpor na hranici víru. Pomáhá vypočítat ∇Ω poblíž povrchu těla a správně popsat mezní vrstvu.

{ displaystyle mathbf {I} _ {3} ( mathbf {r}) = { sum limity _ {k} d mathbf {S} _ {k} cdot exp (- left | mathbf {r} - mathbf {r} _ {k} vpravo | / varepsilon)}}

{ displaystyle I_ {0} ( mathbf {r}) = { varepsilon ^ {2} sum limity _ {k} { dfrac { vlevo | mathbf {r} - mathbf {r} _ { k} vpravo | / varepsilon +1} {( mathbf {r} - mathbf {r} _ {k}) ^ {2}}} cdot (( mathbf {r} - mathbf {r} _ {k}) cdot d mathbf {S} _ {k}) cdot exp (- left | mathbf {r} - mathbf {r} _ {k} right | / varepsilon)} }

Tady k indexuje hraniční segmenty, r_k - jeho střed, dS_k - své normální.

Reference

^ ^A ^b ^C Dynnikova, G. Ya. (1. listopadu 2004). „Lagrangeův přístup k řešení časově závislých Navier-Stokesových rovnic.“ Doklady Physics. 49 (11): 648–652. Bibcode:2004DokPh..49..648D. doi:10.1134/1.1831530.
^ Dynnikova, G.Ya. (16. – 21. Května 2010). „Metoda viskózních vírových domén (VVD) pro nestacionární simulaci viskózního nestlačitelného toku“ (PDF). Sborník ze IV Evropské konference o výpočetní mechanice, Paříž, Francie.
^ Ogami, Yoshifumi; Akamatsu, Teruaki (31. prosince 1990). „Simulace viskózního toku pomocí diskrétního vířivého modelu - metoda difúzní rychlosti“. Počítače a kapaliny. 19 (3–4): 433–441. doi:10.1016 / 0045-7930 (91) 90068-S.
^ ^A ^b Guvernyuk, S. V .; Dynnikova, G. Ya. (31. ledna 2007). "Modelování toku kolem oscilačního profilu křídla metodou viskózních vírových domén". Dynamika tekutin. 42 (1): 1–11. doi:10.1134 / S0015462807010012.
^ Andronov, P. R .; Grigorenko, D. A .; Guvernyuk, S. V .; Dynnikova, G. Ya. (1. října 2007). "Numerická simulace deskové autorotace ve viskózním toku tekutiny". Dynamika tekutin. 42 (5): 719–731. Bibcode:2007FlDy ... 42..719A. doi:10.1134 / S0015462807050055.
^ ^A ^b Dynnikov, Ya. A.; Dynnikova, G. Ya. (12. října 2011). "Numerická stabilita a numerická viskozita v určitých bezsíťových vírových metodách aplikovaných na Navier-Stokesovy a tepelné rovnice". Výpočetní matematika a matematická fyzika. 51 (10): 1792–1804. Bibcode:2011CMMPh..51.1792D. doi:10.1134 / S096554251110006X.

externí odkazy

Kanál YouTube s některými výpočty VVD

[vvd_dan-1] A ^b ^C Dynnikova, G. Ya. (1. listopadu 2004). „Lagrangeův přístup k řešení časově závislých Navier-Stokesových rovnic.“ Doklady Physics. 49 (11): 648–652. Bibcode:2004DokPh..49..648D. doi:10.1134/1.1831530.

[vvd_eccm-2] Dynnikova, G.Ya. (16. – 21. Května 2010). „Metoda viskózních vírových domén (VVD) pro nestacionární simulaci viskózního nestlačitelného toku“ (PDF). Sborník ze IV Evropské konference o výpočetní mechanice, Paříž, Francie.

[dvm-3] Ogami, Yoshifumi; Akamatsu, Teruaki (31. prosince 1990). „Simulace viskózního toku pomocí diskrétního vířivého modelu - metoda difúzní rychlosti“. Počítače a kapaliny. 19 (3–4): 433–441. doi:10.1016 / 0045-7930 (91) 90068-S.

[airfoil_fd-4] A ^b Guvernyuk, S. V .; Dynnikova, G. Ya. (31. ledna 2007). "Modelování toku kolem oscilačního profilu křídla metodou viskózních vírových domén". Dynamika tekutin. 42 (1): 1–11. doi:10.1134 / S0015462807010012.

[plate_fd-5] Andronov, P. R .; Grigorenko, D. A .; Guvernyuk, S. V .; Dynnikova, G. Ya. (1. října 2007). "Numerická simulace deskové autorotace ve viskózním toku tekutiny". Dynamika tekutin. 42 (5): 719–731. Bibcode:2007FlDy ... 42..719A. doi:10.1134 / S0015462807050055.

[vvd_eccm_stability-6] A ^b Dynnikov, Ya. A.; Dynnikova, G. Ya. (12. října 2011). "Numerická stabilita a numerická viskozita v určitých bezsíťových vírových metodách aplikovaných na Navier-Stokesovy a tepelné rovnice". Výpočetní matematika a matematická fyzika. 51 (10): 1792–1804. Bibcode:2011CMMPh..51.1792D. doi:10.1134 / S096554251110006X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]