Formulace bez použití generalizovaného kmene - Generalized-strain mesh-free formulation

The bez generalizovaného napětí (GSMF) formulace je lokální metoda meshfree v oboru numerická analýza, zcela bez integrace, fungující jako vážená reziduální slabá forma kolokace. Tuto metodu poprvé představili Oliveira a Portela (2016),^[1] za účelem dalšího zlepšení výpočetní efektivity metody meshfree v numerické analýze. Místní metody bez mřížky jsou odvozeny prostřednictvím váženého zbytkového přípravku, který vede k místní slabé formě, která je dobře známá pracovní věta teorie struktur. V libovolné lokální oblasti stanoví pracovní věta energetický vztah mezi staticky přípustným napěťovým polem a nezávislým kinematicky přípustným napěťovým polem. Na základě nezávislosti těchto dvou oborů má tato formulace za následek lokální formu pracovní věty, která je redukována pouze na běžné hraniční výrazy, bez integrace a bez objemové zamykání.

Výhody přes metody konečných prvků spočívá v tom, že GSMF se nespoléhá na mřížku a je přesnější a rychlejší při řešení dvojrozměrných problémů. Ve srovnání s jinými bezsíťovými metodami, jako je např posunutí tuhého těla bez síťoviny (RBDMF) formulace Galerkin bez prvků (EFG)^[2] a místní bez sítě Petrov-Galerkin metoda konečných objemů (MLPG FVM);^[3] Ukázalo se, že GSMF je lepší nejen z hlediska výpočetní účinnosti, ale také z hlediska přesnosti.^[4]

The pohybující se nejméně čtverců (MLS) aproximace elastického pole se používá u této lokální bezsíťové formulace.

Formulace

V místní formě pracovní věty platí rovnice:

{ displaystyle int _ { Gamma _ {Q}} mathbf {t} ^ {T} mathbf {u} ^ {*} d Gamma + int _ { Omega _ {Q}} mathbf { b} ^ {T} mathbf {u} ^ {*} d Omega = int _ { Omega _ {Q}} { boldsymbol { sigma}} ^ {T} { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*} d Omega.}

Pole posunutí ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ , byla považována za spojitou funkci vedoucí k pravidelné integrovatelné funkci, kterou je kinematicky přípustné pole přetvoření ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*}}$ . Tento předpoklad kontinuity však ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ , vynucená v místní formě pracovní věty, není bezpodmínečně nutná, ale lze ji uvolnit pohodlím za předpokladu ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*}}$ může být užitečná jako zobecněná funkce ve smyslu teorie distribucí, viz Gelfand a Shilov.^[5] Tato formulace proto uvažuje, že pole posunutí ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ , je po částech spojitá funkce, definovaná ve smyslu Heavisideovy skokové funkce a tedy odpovídajícího pole napětí ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*}}$ , je zobecněná funkce definovaná ve smyslu Diracova delta funkce.

Kvůli jednoduchosti zvažte při práci s delta funkcemi Heaviside a Dirac v dvourozměrném souřadnicovém prostoru zvážte skalární funkci ${ displaystyle d}$ , definováno jako:

{ displaystyle d = lVert mathbf {x} - mathbf {x} _ {Q} rVert}

což představuje funkci absolutní hodnoty vzdálenosti mezi polním bodem ${ displaystyle mathbf {x}}$ a konkrétní referenční bod ${ displaystyle mathbf {x} _ {Q}}$ , v místní doméně ${ displaystyle Omega _ {Q} pohár Gamma _ {Q}}$ přiřazený uzlu pole ${ displaystyle Q}$ . Proto tato definice vždy předpokládá ${ displaystyle d = d ( mathbf {x}, mathbf {x} _ {Q}) geq 0}$ , jako kladná nebo nulová hodnota, v tomto případě kdykoli ${ displaystyle mathbf {x}}$ a ${ displaystyle mathbf {x} _ {Q}}$ jsou shodné body.

Pro skalární souřadnici ${ displaystyle d supset d ( mathbf {x}, mathbf {x} _ {Q})}$ , Funkce Heaviside step lze definovat jako

{ Displaystyle H (d) = 1 , , , , , , pokud , , , , , d leq 0 , , , , , , (d = 0 , , , pro , , , mathbf {x} equiv mathbf {x} _ {Q})}

{ Displaystyle H (d) = 0 , , , , , , pokud , , , , , d> 0 , , , , , , ( mathbf {x} neq mathbf {x} _ {Q})}

ve kterém se diskontinuita předpokládá v ${ displaystyle mathbf {x} _ {Q}}$ a následně Diracova delta funkce je definován s následujícími vlastnostmi

{ Displaystyle delta (d) = H '(d) = infty , , , , , , pokud , , , , , d = 0 , , , že , , je , , , mathbf {x} equiv mathbf {x} _ {Q}}

{ Displaystyle delta (d) = H '(d) = 0 , , , , , , pokud , , , , , d neq 0 , , , ( d> 0 , , , pro , , , mathbf {x} neq mathbf {x} _ {Q})}

a

{ displaystyle int limity _ {- infty} ^ {+ infty} delta (d) , dd = 1}

ve kterém ${ displaystyle H '(d)}$ představuje distribuční derivát z ${ displaystyle H (d)}$ . Všimněte si, že derivace ${ displaystyle H (d)}$ , s ohledem na souřadnici ${ displaystyle x_ {i}}$ , lze definovat jako

{ Displaystyle H (d) _ {, i} = H '(d) , , d _ {, i} = delta (d) , , d _ {, i} = delta (d) , , n_ {i}}

Protože výsledek této rovnice není ovlivněn žádnou konkrétní hodnotou konstanty ${ displaystyle n_ {i}}$ , tato konstanta bude později pohodlně předefinována.

Zvažte to ${ displaystyle d_ {l}}$ , ${ displaystyle d_ {j}}$ a ${ displaystyle d_ {k}}$ představují funkci vzdálenosti ${ displaystyle d}$ , pro odpovídající kolokační body ${ displaystyle mathbf {x} _ {l}}$ , ${ displaystyle mathbf {x} _ {j}}$ a ${ displaystyle mathbf {x} _ {k}}$ . Pole posunutí ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*} ( mathbf {x})}$ , lze pohodlně definovat jako

{ displaystyle mathbf {u} ^ {*} ( mathbf {x}) = { Bigg [} { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} , součet _ {l = 1 } ^ {n_ {i}} H (d_ {l}) + { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} , sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} H (d_ {j}) + { frac {S} {n _ { Omega}}} , sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} H (d_ {k}) { Bigg] } mathbf {e}}

ve kterém ${ displaystyle mathbf {e} = [1 , , , , 1] ^ {T}}$ představuje metriku ortogonálních směrů a ${ displaystyle n_ {i}}$ , ${ displaystyle n_ {t}}$ a ${ displaystyle n _ { Omega}}$ představují počet kolokačních bodů, respektive na místní vnitřní hranici ${ displaystyle Gamma _ {Qi} = Gamma _ {Q} - Gamma _ {Qt} - Gamma _ {Qu}}$ s délkou ${ displaystyle L_ {i}}$ , na místní statické hranici ${ displaystyle Gamma _ {Qt}}$ s délkou ${ displaystyle L_ {t}}$ a v místní doméně ${ displaystyle Omega _ {Q}}$ s oblastí ${ displaystyle S}$ . Toto předpokládalo pole posunutí ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*} ( mathbf {x})}$ , diskrétní posun jednotky tuhého těla definovaný v kolokačních bodech. Pole napětí ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*} ( mathbf {x})}$ , darováno

{ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*} ( mathbf {x}) = mathbf {L} , mathbf {u} ^ {*} ( mathbf {x}) = { Bigg [} { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} , sum _ {l = 1} ^ {n_ {i}} mathbf {L} , H (d_ {l}) + { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} , sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} mathbf {L} , H (d_ {j}) + { frac {S} {n _ { Omega}}} , sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} mathbf {L} , H (d_ {k}) { Bigg]} mathbf {e} = { Bigg [} { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} , sum _ {l = 1} ^ {n_ {i}} , delta (d_ { l}) , mathbf {n} ^ {T} , + { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} , sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} , delta (d_ {j}) , mathbf {n} ^ {T} , + { frac {S} {n _ { Omega}}} , sum _ {k = 1} ^ { n _ { Omega}} , delta (d_ {k}) , mathbf {n} ^ {T} { Bigg]} mathbf {e}}

Po definování složek posunutí a přetvoření kinematicky přípustného pole lze místní pracovní větu napsat jako

{ displaystyle { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} součet _ {l = 1} ^ {n_ {i}} , int limity _ { gama _ {Q} - Gamma _ {Qt}} ! ! ! ! ! ! Mathbf {t} ^ {T} H (d_ {l}) mathbf {e} , d Gamma + { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} , int limits _ { Gamma _ {Qt}} ! { overline { mathbf { t}}} ^ {T} H (d_ {j}) mathbf {e} , d Gamma + { frac {S} {n _ { Omega}}} sum _ {k = 1} ^ { n _ { Omega}} , int limity _ { Omega _ {Q}} mathbf {b} ^ {T} H (d_ {k}) mathbf {e} , d Omega = { frac {S} {n _ { Omega}}} sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} , int limits _ { Omega _ {Q}} { boldsymbol { sigma} } ^ {T} delta (d_ {k}) , mathbf {n} ^ {T} mathbf {e} , d Omega.}

S přihlédnutím k vlastnostem Funkce Heaviside step a Diracova delta funkce, tato rovnice jednoduše vede k

{ displaystyle { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} součet _ {l = 1} ^ {n_ {i}} , mathbf {t} _ { mathbf {x} _ { l}} = - , { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} , { overline { mathbf {t}} } _ { mathbf {x} _ {j}} - , { frac {S} {n _ { Omega}}} sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} , mathbf {b} _ { mathbf {x} _ {k}}}

Diskretizaci těchto rovnic lze provést pomocí aproximace MLS pro místní doménu ${ displaystyle Omega _ {Q}}$ , pokud jde o uzlové neznámé ${ displaystyle { hat { mathbf {u}}}}$ , což vede k systému lineárních algebraických rovnic, které lze zapsat jako

{ displaystyle { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} součet _ {l = 1} ^ {n_ {i}} , mathbf {n} _ { mathbf {x} _ { l}} mathbf {D} mathbf {B} _ { mathbf {x} _ {l}} { hat { mathbf {u}}} = - , { frac {L_ {t}} { n_ {t}}} sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} , { overline { mathbf {t}}} _ { mathbf {x} _ {j}} - , { frac {S} {n _ { Omega}}} sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} , mathbf {b} _ { mathbf {x} _ {k}}}

nebo jednoduše

{ displaystyle mathbf {K} _ {Q} , { hat { mathbf {u}}} = mathbf {F} _ {Q}}

Tato formulace uvádí rovnováhu trakcí a tělesných sil, bodově definovanou v kolokačních bodech, samozřejmě jde o bodovou verzi Euler-Cauchyův princip stresu. Toto je rovnice použitá v Formulace GSMF (Generalized-Strain Mesh Free) který je tedy bez integrace. Protože pracovní věta je vážená reziduální slabá forma, lze snadno vidět, že tato formulace bez integrace není nic jiného než kolokace vážené reziduální slabé formy. Vážené zbytkové kolokace ve slabé formě snadno překonává známé obtíže, které představuje vážené zbytkové kolokace ve silné formě,^[6] ohledně přesnosti a stability řešení.

Viz také

Reference

^ Oliveira, T. a A. Portela (2016). „Weak-Form Cololocation - a Local Meshless Method in Linear Elasticity“. Inženýrská analýza s hraničními prvky.
^ Belytschko, T., Y. Y. Lu a L. Gu (1994). "Galerkinovy metody bez prvků". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 37.2, s. 229–256.
^ Atluri, S.N., Z.D. Han a A.M. Rajendran (2004). „Nová implementace metody Meshless Finite Volume prostřednictvím smíšeného přístupu MLPG“. CMES: Počítačové modelování ve strojírenství a vědách. 6, s. 491–513.
^ Oliveira, T. a A. Portela (2016). "Srovnávací studie slabé formy kolokační bezsíťové formulace a dalších bezsíťových metod". Sborník XXXVII Pyrenejského latinskoamerického kongresu o výpočetních metodách ve strojírenství. ABMEC, Brazílie
^ Gelfand, I.M., Shilov, G.E. (1964). Zobecněné funkce. Svazek I, Academic Press, New York.
^ Kansa, E. J., (1990) „Multiquadrics: Schéma aproximace rozptýlených dat s aplikacemi pro výpočetní dynamiku tekutin“, Počítače a matematika s aplikacemi, 19(8-9), 127--145.

[1] Oliveira, T. a A. Portela (2016). „Weak-Form Cololocation - a Local Meshless Method in Linear Elasticity“. Inženýrská analýza s hraničními prvky.

[2] Belytschko, T., Y. Y. Lu a L. Gu (1994). "Galerkinovy metody bez prvků". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 37.2, s. 229–256.

[3] Atluri, S.N., Z.D. Han a A.M. Rajendran (2004). „Nová implementace metody Meshless Finite Volume prostřednictvím smíšeného přístupu MLPG“. CMES: Počítačové modelování ve strojírenství a vědách. 6, s. 491–513.

[4] Oliveira, T. a A. Portela (2016). "Srovnávací studie slabé formy kolokační bezsíťové formulace a dalších bezsíťových metod". Sborník XXXVII Pyrenejského latinskoamerického kongresu o výpočetních metodách ve strojírenství. ABMEC, Brazílie

[5] Gelfand, I.M., Shilov, G.E. (1964). Zobecněné funkce. Svazek I, Academic Press, New York.

[6] Kansa, E. J., (1990) „Multiquadrics: Schéma aproximace rozptýlených dat s aplikacemi pro výpočetní dynamiku tekutin“, Počítače a matematika s aplikacemi, 19(8-9), 127--145.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]