Tsirelsonův prostor - Tsirelson space

v matematika, speciálně v funkční analýza, Tsirelsonův prostor je prvním příkladem a Banachův prostor ve kterém ani jeden ℓ ^str prostor ani a C₀ prostor lze vložit. Tsirelsonův prostor je reflexní.

To bylo představeno B. S. Tsirelson ve stejném roce, Figiel a Johnson publikovali související článek (Figiel & Johnson (1974) ) kde použili notaci T pro dvojí Tsirelsonova příkladu. Dnes dopis T je standardní notace^[1] pro duální původního příkladu, zatímco původní příklad Tsirelson je označen T*. v T* nebo v T, žádný podprostor není izomorfní, jako Banachův prostor, do ℓ ^str prostor, 1 ≤str <∞ nebo do C₀.

Všechny klasické Banachovy prostory známé Banach (1932), mezery spojité funkce, z diferencovatelné funkce nebo integrovatelné funkce a všechny Banachovy prostory používané ve funkční analýze na příštích čtyřicet let některé obsahují ℓ ^str nebo C₀. Také nové pokusy na začátku 70. let^[2] prosazování geometrické teorie Banachových prostorů vedlo k otázce ^[3] jestli ano nebo ne každý nekonečně rozměrný Banachův prostor má pro některé izomorfní podprostor ℓ ^str nebo do C₀.

Radikálně nová konstrukce Tsirelson je kořenem několika dalších vývojů v Banachově vesmírné teorii: the libovolně deformovatelný prostor Schlumprechtu (Schlumprecht (1991) ), na kterých závisí Gowers ' řešení Banachova problému s hyperplánem^[4] a řešení Odell – Schlumprecht pro problém se zkreslením. Také několik výsledků Argyros et al.^[5] jsou založeny na pořadové číslo zdokonalení Tsirelsonovy konstrukce, které vyvrcholilo řešením problému skalárního plus kompaktního Argyros-Haydona.^[6]

Tsirelsonova konstrukce

Na vektorovém prostoru ℓ^∞ vázaných skalárních sekvencí  X = {X_j} _j∈N, nechť P_n označit lineární operátor který vynuluje všechny souřadnice X_j z X pro který j ≤ n.

Konečná posloupnost ${ displaystyle {x_ {n} } _ {n = 1} ^ {N}}$ vektorů v ℓ^∞ je nazýván bloková disjunkce pokud existují přirozená čísla ${ displaystyle textstyle {a_ {n}, b_ {n} } _ {n = 1} ^ {N}}$ aby ${ displaystyle a_ {1} leq b_ {1}$a tak ${ displaystyle (x_ {n}) _ {i} = 0}$ když ${ displaystyle i$ nebo ${ displaystyle i> b_ {n}}$, pro každého n od 1 do N.

The jednotková koule  B_∞ z ℓ^∞ je kompaktní a měřitelný pro topologii bodová konvergence (dále jen topologie produktu ). Zásadním krokem při konstrukci Tsirelsonu je nechat to K. být nejmenší bodově uzavřená podmnožinaB_∞ splňující následující dvě vlastnosti:^[7]

A. Pro každé celé čísloj v N, jednotkový vektor E_j a všechny násobky ${ displaystyle lambda e_ {j}}$, pro | λ | ≤ 1, patří K..

b. Pro jakékoli celé číslo N ≥ 1, pokud ${ displaystyle textstyle (x_ {1}, ldots, x_ {N})}$ je blokově disjunktní sekvence v K., pak ${ displaystyle textstyle {{1 nad 2} P_ {N} (x_ {1} + cdots + x_ {N})}}$ patříK..

Tato sada K. splňuje následující vlastnosti stability:

C. Spolu s každým prvkem X z K., sada K. obsahuje všechny vektory y v ℓ^∞ takové, že |y| ≤ |X| (pro bodové srovnání).

To se pak ukazuje K. je ve skutečnosti podmnožinou C₀, Banachův podprostor ℓ^∞ skládající se ze skalárních sekvencí směřujících k nule v nekonečnu. Toho se dosahuje tím, že se to prokazuje

d: pro každý prvek X v K., existuje celé číslo n tak, že 2P_n(X) patříK.,

a opakování této skutečnosti. Od té doby K. je bodově kompaktní a obsažený v C₀, to je slabě kompaktní v C₀. Nechat PROTI být uzavřen konvexní obal z K. v C₀. Je také slabě kompaktní C₀. Je prokázáno, že PROTI splňuje b, C a d.

Tsirelsonův prostor T* je Banachův prostor, jehož jednotková koule je PROTI. Jednotkový vektorový základ je bezpodmínečný základ pro T* a T* je reflexivní. Proto, T* neobsahuje izomorfní kopiiC₀. Jiný ℓ ^str mezery, 1 ≤str <∞, jsou vyloučeny podmínkoub.

Vlastnosti

Tsirelsonův prostor T * je reflexní (Tsirel'son (1974) ) a konečně univerzální, což znamená, že pro nějakou konstantu C ≥ 1, prostor T * obsahuje C-izomorfní kopie každého konečného trojrozměrného normovaného prostoru, konkrétně pro každý konečný trojrozměrný normovaný prostor X, existuje podprostor Y prostoru Tsirelson s multiplikativní vzdálenost Banach – Mazur na X méně než C. Ve skutečnosti obsahuje každý konečně univerzální Banachův prostor téměř izometrické kopie každého konečného trojrozměrného normovaného prostoru,^[8] znamenající, že C lze nahradit 1 + ε pro každého ε> 0. Také každý nekonečně dimenzionální podprostor T * je konečně univerzální. Na druhou stranu, každý nekonečně dimenzionální podprostor v duálu T z T * obsahuje téměř izometrické kopie souboru ${ displaystyle scriptstyle { ell _ {n} ^ {1}}}$, n-dimenzionální ℓ¹-prostor pro všechnyn.

Tsirelsonův prostor T je deformovatelný, ale není známo, zda je libovolně deformovatelný.

Prostor T * je minimální Banachův prostor.^[9] To znamená, že každý nekonečně dimenzionální Banachův podprostor T * obsahuje další podprostor isomorfní s T *. Před výstavbou T *, jediné známé příklady minimálních prostorů byly ℓ ^str a C₀. Duální prostor T není minimální.^[10]

Prostor T * je polynomiálně reflexivní.

Odvozené mezery

The symetrický Tsirelsonův prostor S(T) je polynomiálně reflexivní a má aproximační vlastnost. Stejně jako u T, je reflexní a ne ℓ ^str do něj lze vložit prostor.

Protože je symetrický, lze jej definovat i na nespočet podpůrná sada s uvedením příkladuoddělitelný polynomiálně reflexivní Banachův prostor.

Viz také

• Problém se zkreslením
• Sekvenční prostor, Schauderův základ
• Jamesův prostor

Poznámky

Reference

• Tsirel'son, B. S. (1974), "'Ne každý Banachův prostor obsahuje vložení ℓ ^str nebo C₀", Funkční analýza a její aplikace, 8: 138–141, doi:10.1007 / BF01078599, PAN  0350378.
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [Teorie lineárních operací] (PDF). Monografie Matematyczne (ve francouzštině). 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Archivovány od originál (PDF) dne 11.01.2014. Citováno 2020-07-11.
• Figiel, T .; Johnson, W. B. (1974), „Rovnoměrně konvexní Banachův prostor, který neobsahuje žádné ℓ ^str", Compositio Mathematica, 29: 179–190, PAN  0355537.
• Casazza, Peter G .; Shura, Thaddeus J. (1989), Tsirelsonův prostorPřednášky z matematiky, 1363, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  3-540-50678-0, PAN  0981801.
• Johnson, William B .; J. Lindenstrauss, Joram, eds. (2001, 2003), Příručka geometrie Banachových prostorů, 1, 2, Elsevier Zkontrolujte hodnoty data v: | datum publikace = (Pomoc).
• Lindenstrauss, Joram (1970), „Některé aspekty teorie Banachových prostorů“, Pokroky v matematice, 5: 159–180, doi:10.1016/0001-8708(70)90032-0.
• Lindenstrauss, Joram (1971), „Geometrická teorie klasických Banachových prostorů“, Actes du Congrès Intern. Math., Nice 1970: 365–372.
• Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior (1977), Klasické Banachovy prostory I, sekvenční prostory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 92, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  3-540-08072-4.
• Milman, V. D. (1970), "Geometrická teorie Banachových prostorů. I. Teorie základních a minimálních systémů", Uspekhi Mat. Nauk (v ruštině), 25 č. 3: 113–174. Anglický překlad do ruštiny Math. Surveys 25 (1970), 111-170.
• Schlumprecht, Th. (1991), „Libovolně deformovatelný Banachův prostor“, Israel Journal of Mathematics, 76: 81–95, arXiv:matematika / 9201225, doi:10.1007 / bf02782845, ISSN  0021-2172, PAN  1177333.

externí odkazy

• Vzpomínky Borise Tsirelsona na jeho webové stránce