Racionální kořenová věta - Rational root theorem
v algebra, racionální kořenová věta (nebo racionální kořenový test, racionální věta o nule, racionální test nuly nebo p/q teorém) stanoví omezení na Racionální řešení a polynomiální rovnice
s celé číslo koeficienty a . Řešení rovnice se také nazývají kořeny nebo nuly polynomiální na levé straně.
Věta říká, že každý Racionální řešení X = p⁄q, napsáno v nejnižších termínech tak, že p a q jsou relativně prime, splňuje:
- p je celé číslo faktor z konstantní termín A0, a
- q je celočíselný faktor vedoucího součinitel An.
Racionální kořenová věta je speciální případ (pro jeden lineární faktor) Gaussovo lema o faktorizaci polynomů. The integrální kořenová věta je speciální případ racionální kořenové věty, když je vedoucí koeficientAn = 1.
aplikace
Věta se používá k nalezení všech racionálních kořenů polynomu, pokud existují. Poskytuje konečný počet možných zlomků, které lze zkontrolovat, zda jsou kořeny. Pokud racionální kořen X = r je nalezen, lineární polynom (X – r) lze z polynomu započítat pomocí polynomiální dlouhé dělení, což má za následek polynom nižšího stupně, jehož kořeny jsou také kořeny původního polynomu.
Kubická rovnice
Generál kubická rovnice
s celočíselnými koeficienty má tři řešení v složité letadlo. Pokud test racionálního kořene nenalezne žádná racionální řešení, je to jediný způsob, jak tato řešení vyjádřit algebraicky používá kořeny kostky. Pokud však test najde racionální řešení r, poté se vyřazuje (X – r) listy a kvadratický polynom jehož dva kořeny byly nalezeny u kvadratický vzorec, jsou zbývající dva kořeny krychle, vyhýbejte se kořenům krychle.
Důkazy
První důkaz
Nechat
Předpokládat P(p/q) = 0 pro některé coprime p, q ∈ ℤ:
Nyní obě strany vynásobte qn.
Posunutím konstantního členu (člen obsahující A0) na pravou stranu a vyřazení p na levé straně, produkuje
Tím pádem, p rozděluje A0qn. Ale p je coprime q a proto qn, takže Euklidovo lemma p musí rozdělit zbývající faktor A0 produktu.
Na druhou stranu posunutí vedoucího termínu na pravou stranu a vyřazení q na levé straně dává
Z uvažování, jako dříve, vyplývá, že q rozděluje An.[1]
Důkaz pomocí Gaussova lematu
Pokud by existoval netriviální faktor dělící všechny koeficienty polynomu, lze ho rozdělit podle největší společný dělitel koeficientů tak, aby se získal primitivní polynom ve smyslu Gaussovo lema; to nemění soubor racionálních kořenů a pouze posiluje podmínky dělitelnosti. Toto lemma říká, že pokud polynomiální faktory v Q[X], pak se také zohlední Z[X] jako produkt primitivních polynomů. Nyní jakýkoli racionální kořen p/q odpovídá faktoru stupně 1 v Q[X] polynomu a jeho primitivním zástupcem je pak qx − p, za předpokladu, že p a q jsou coprime. Ale jakýkoli násobek Z[X] z qx − p má vedoucí termín dělitelný q a konstantní člen dělitelný p, což dokazuje tvrzení. Tento argument ukazuje, že obecněji jakýkoli neredukovatelný faktor P lze předpokládat, že mají celočíselné koeficienty a počáteční a konstantní koeficienty dělící odpovídající koeficientyP.
Příklady
za prvé
V polynomu
jakýkoli racionální kořen plně redukovaný by musel mít čitatele, který se dělí rovnoměrně na 1, a jmenovatele, který se dělí rovnoměrně na 2. Jediné možné racionální kořeny jsou tedy ± 1/2 a ± 1; protože žádný z nich nerovná polynom na nulu, nemá žádné racionální kořeny.
Druhý
V polynomu
jediné možné racionální kořeny by měly čitatele, který dělí 6, a jmenovatele, který dělí 1, což by omezovalo možnosti na ± 1, ± 2, ± 3 a ± 6. Z nich 1, 2 a –3 přirovnávají polynom k nule, a proto jsou jeho racionální kořeny. (Ve skutečnosti jsou to jeho jediné kořeny, protože kubický má pouze tři kořeny; polynom obecně může mít nějaké racionální a jiné iracionální kořeny.)
Třetí
Každý racionální kořen polynomu
musí být mezi čísly symbolicky označenými:
Těchto 8 kořenových kandidátů X = r lze otestovat hodnocením P(r), například pomocí Hornerova metoda. Ukázalo se, že existuje přesně jeden s P(r) = 0.
Tento proces může být zefektivněn: pokud P(r) ≠ 0, lze jej použít ke zkrácení seznamu zbývajících kandidátů.[2] Například, X = 1 nefunguje, jako P(1) = 1. Střídání X = 1 + t získá polynom vt s konstantním termínem P(1) = 1, zatímco koeficient t3 zůstává stejný jako koeficient X3. Použitím racionální kořenové věty se tak získají možné kořeny , aby
Pravé kořeny se musí vyskytovat na obou seznamech, takže seznam racionálních kandidátů na kořeny se zmenšil na spravedlivý X = 2 a X = 2/3.
Li k ≥ 1 racionální kořeny jsou nalezeny, Hornerova metoda také získá polynom stupně n − k jehož kořeny jsou spolu s racionálními kořeny přesně kořeny původního polynomu. Pokud žádný z kandidátů není řešením, nemůže existovat racionální řešení.
Viz také
- Integrovaná uzavřená doména
- Descartova vláda znamení
- Gauss – Lucasova věta
- Vlastnosti polynomiálních kořenů
- Obsah (algebra)
- Eisensteinovo kritérium
Poznámky
- ^ Arnold, D .; Arnold, G. (1993). Čtyřjednotková matematika. Edward Arnold. str. 120–121. ISBN 0-340-54335-3.
- ^ King, Jeremy D. (listopad 2006). "Celočíselné kořeny polynomů". Matematický věstník. 90: 455–456.
Reference
- Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Základy vysokoškolské algebry. Scott & Foresman / Little & Brown Higher Education, 3. vydání 1990, ISBN 0-673-38638-4, str. 216–221
- Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: Historické kořeny elementární matematiky. Publikace Dover Courier 1998, ISBN 0-486-25563-8, str. 116–117 (online kopie, str. 116, v Knihy Google )
- Ron Larson: Kalkul: Aplikovaný přístup. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, str. 23–24 (online kopie, str. 23, v Knihy Google )