Perronova metoda - Perron method

V matematické studii o harmonické funkce, Perronova metoda, také známý jako metoda subharmonické funkce, je technika zavedená Oskar Perron pro řešení Dirichletův problém pro Laplaceova rovnice. Metoda Perron funguje tak, že se najde největší subharmonická funkce s hraničními hodnotami pod požadovanými hodnotami; „Perronovo řešení“ se shoduje se skutečným řešením Dirichletova problému, pokud je problém rozpustný.

Dirichletovým problémem je najít harmonickou funkci v doméně, přičemž okrajové podmínky jsou dány spojitou funkcí ${ displaystyle varphi (x)}$. Řešení Perron je definováno převzetím bodového suprema nad rodinou funkcí ${ displaystyle S _ { varphi}}$,

${ displaystyle u (x) = sup _ {v v S _ { varphi}} v (x)}$

kde ${ displaystyle S _ { varphi}}$ je soubor všech subharmonických funkcí takový, že ${ displaystyle v (x) leq varphi (x)}$ na hranici domény.

Řešení Perron u (x) je vždy harmonický; hodnoty, které převezme na hranici, však nemusí být stejné jako požadované hraniční hodnoty ${ displaystyle varphi (x)}$. Bod y hranice splňuje a bariéra podmínka, pokud existuje superharmonická funkce ${ displaystyle w_ {y} (x)}$, definované na celé doméně, tak, že ${ displaystyle w_ {y} (y) = 0}$ a ${ displaystyle w_ {y} (x)> 0}$ pro všechny ${ displaystyle x neq y}$. Volají se body splňující podmínku bariéry pravidelný body hranice pro Laplacian. Jedná se přesně o body, ve kterých je zaručeno získání požadovaných hraničních hodnot: jako ${ Displaystyle x rightarrow y, u (x) rightarrow varphi (y)}$.

Součástí je charakterizace pravidelných bodů na plochách teorie potenciálu. Pravidelné body na hranici domény ${ displaystyle Omega}$ jsou ty body, které splňují Wienerovo kritérium: pro všechny ${ displaystyle lambda v (0,1)}$, nechť ${ displaystyle C_ {j}}$ být kapacita sady ${ displaystyle B _ { lambda ^ {j}} (x_ {0}) cap Omega ^ {c}}$; pak ${ displaystyle x_ {0}}$ je pravidelným bodem právě tehdy

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ { infty} C_ {j} / lambda ^ {j (n-2)}}$

rozchází se.

Wienerovo kritérium bylo poprvé navrženo Norbert Wiener; rozšířil ji Werner Püschel jednotně eliptický rovnice divergence ve formě s hladkými koeficienty a odtud rovnice eliptické divergence ve formě rovnic s omezenými měřitelnými koeficienty Waltera Littmana, Guido Stampacchia, a Hans Weinberger.

Reference

• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-41160-4
• Littman, W .; Stampacchia, G.; Weinberger, H. (1963), "Pravidelné body pro eliptické rovnice s nespojitými koeficienty", Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 3, Pisa, Itálie: Scuola Normale Superiore di Pisa, 17 (1–2), s. 43–77 PAN161019

Další čtení

• Conway, John B. (1996-06-13), Funkce jedné komplexní proměnné II, Postgraduální texty z matematiky, 159, Springer-Verlag, str. 376–383, ISBN  978-0-387-94460-9
• Kellogg, O. D. (1953), Základy teorie potenciálu, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-60144-1
• Landkof, N. S. (1972), Základy teorie moderního potenciálu, Berlín, New York: Springer-Verlag, PAN  0350027
• Perron, O. (Prosinec 1923), „Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu = 0“, Mathematische Zeitschrift, 18 (1): 42–54, doi:10.1007 / BF01192395, ISSN  0025-5874
• Püschel, Werner (1932), „Die erste Randwertaufgabe der allgemeinen selbstadjungierten elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung im Raum für beliebige Gebiete“, Mathematische Zeitschrift, 34 (1): 535–553, doi:10.1007 / BF01180608, ISSN  0025-5874, PAN  1545272
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], „Perronova metoda“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.